Resistência dos Materiais 2

Resistência dos Materiais 2
Aula – Flambagem de Colunas Prof.: Kaio dutra

Flambagem de Colunas Quando se projeta um elemento, é necessário que ele satisfaça requisitos de tensão, deflexão e estabilidade. Elementos compridos e esbeltos sujeitos a uma força axial de compressão são chamados colunas e a deflexão lateral que sofrem é chamda flambagem. Prof.: Kaio Dutra

Flambagem de Colunas Carga Crítica
A carga axial máxima que uma coluna pode suportar quando está no limite da flambagem é chamda carga crítica Pcr. Qualquer carga adicional provocará flambagem na coluna e, portanto, deflexão lateral. Prof.: Kaio Dutra

Considere duas barras acopladas a uma mola. Quando estas barras estão na posição vertical, a mola, com rigidez k, está sem deformação e uma força na posição vertical P é aplicada no topo de uma das barras. Podemos alterar a posição de equilíbrio deslocando o pino em A uma pequena quantidade Δ. Prof.: Kaio Dutra

Como mostra o diagrama de corpo livre do pino quando as barras são deslocadas, a mola produzirá uma força de recuperação F=kΔ, enquanto a carga aplicada P desenvolverá duas componentes horizontais Px, que tendem a empurrar o pino ainda mais para fora do equilíbrio. Como θ é pequeno, Δ=θ(L/2). Assim, a força de restaurção da mola torna-se F=kθL/2 e a força pertubadora 2Px=2Pθ. Prof.: Kaio Dutra

Se a força de restauração superar a pertubadora, isto é, kLθ/2>2Pθ, podemos ajusta da seguinte forma: Essa é uma condição de equilíbrio estável. Por outro lado, se kLθ/2<2Pθ, teremos: Então o mecanismo estará um equilíbrio instável. Prof.: Kaio Dutra

O valor intermediário de P, definido desde que kLθ/2=2Pθ, é a carga crítica. Aqui: Essa carga representa o caso de um mecânismo em equilíbrio neutro. Esses três estados de equilíbrio diferentes estão representados graficamente. Fisicamente, Pcr, representa a carga para a qual o mecanismo está no limite da flambagem. Prof.: Kaio Dutra

Flambagem de Colunas Coluna Ideal com Apoios de Pino
A coluna a ser considerada é uma coluna ideal, isto é, perfeitamente reta antes do carregamento, feita de material homogêneo e sobre a qual a carga é aplicada através do centroide da seção transversal. Admite-se ainda que o material comporta-se de maneira linear- elástica e a coluna flete-se em um único plano. Prof.: Kaio Dutra

Como a coluna ideal é perfeitamente reta, em teoria a carga axial P pode aer aumentada até que a carga crítica Pcr é atinginda, a coluna está no limite de tornar-se instável. Prof.: Kaio Dutra

O fato de a coluna permanecer estável ou tornar-se instável quando submetida a carga axial depende de sua própria habilidade de restauração, que por sua vez, baseia-se em sua resistência à flexão. Para determinar a carga crítica e a forma de flambagem da coluna, aplicaremos a equação que relaciona o momento interno da coluna e sua forma fletida, isto é: Prof.: Kaio Dutra

Quando a coluna está na posição fletida, o momento fletor interno é determinado pelo método das seções. Essa é uma equação diferencial homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que adimite a seguinte solução: Prof.: Kaio Dutra

As duas constantes de integração são determinadas pelas condições de contorno nas extremidades da coluna. Como v=0 em x=0, então C2=0. E como v=0 em x=L, então: Essa relação é satisfeita se C1=0, neste caso v=0, uma solução trivial cuja validade depende de a coluna permanecer sempre reta, mesmo que a carga torne instável. Prof.: Kaio Dutra

A outra possibilidade é para: O menor valor de é obtido quando n=1, e a carga crítica para a coluna é, portanto: Prof.: Kaio Dutra

A forma fletida correspondente é definida pela equiação: Valores espefícos de C1 não podem ser obtidos, pois se desconhece a forma fletida exta da coluna, uma vez que ela sofreu flambagem. Prof.: Kaio Dutra

Entenda que n na equação apresentada, também conhecida como carga de Euler, representa o número de ondas na forma fletida da coluna. Por exemplo, se n=2, então aparecerão duas ondas na forma flambada e a coluna suportará uma carga crítica que é 4Pcr imediatamente antes da flambagem. Como esse valor é quatro vezes a carga crítica e a forma fletida é instável, essa forma de flambagem não existe. Prof.: Kaio Dutra

É importante entender que a coluna sofrerá flambagem em torno do eixo principal da seção transversal de menor momento de inércia. Prof.: Kaio Dutra

Para fins de projeto, a carga crítica de Euler será mais conveniente se expressar o momento de inércia por I=Ar², onde A é a área da seção transversal e r é o raio de giração da área da seção transversal. Assim: Prof.: Kaio Dutra

A relação geométrica L/r é denominada índice de esbeltez. É possível traçar o gráfico ao lado usando eixos que representam a tensão crítica e o índice de esbeltez para dois mateiais. Prof.: Kaio Dutra

Flambagem de Colunas Exemplo 13.1
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Flambagem de Colunas Coluna com Vários Tipos de Apoio
Consideremos o caso de uma coluna fixa na base e livre no topo. Para determinar a carga de flambagem nessa coluna, seguimos o mesmo procedimento usado para a coluna com pino. Consequentemente, a equação diferencial para a curva de deflexão é: Prof.: Kaio Dutra

Ajustando a equação diferencial, teremos: Essa equação é não-homogênea devido ao termo não nulo. A solução consiste tanto em uma solução complementar como em uma solução particular. Prof.: Kaio Dutra

As coonstantes são determinadas pela condições de controno. Em x=0, v=0, de modo que C2=0. Além disso: Em x=0, dv/dx=0, de modo que C1=0. A curva da deflexão é, portanto: Prof.: Kaio Dutra

Como a deflexão no topo da coluna é δ, isto é, em x=L, v=δ, é necessáro que: A solução trivial δ=0 indica que não ocorre flambagem, independentemente da carga P. Em vez disso: Prof.: Kaio Dutra

A menor carga crítica ocorre quando n=1, de modo que: Comparando essa equação com a obtida para uma barra com dois pinos, vê-se que uma coluna com apoio fixo só na base suporta apenas um quarto da carga crítica que pode ser aplicada a uma coluna apoiada por pino nas extremidades. Prof.: Kaio Dutra

Como apresentado, a formula de Euler foi desenvolvida para colunas cujas extremidades estejam presas por pinos ou livre para girar. Nessa equação L representa a distância sem apoio entre os pontos de momento nulo. Se a coluna for apoiada de outras maneiras, a formula de Euler poderá ser usada para determinar a carga crítica desde que L represente a distência entre pontos de momento fletor nulo. Essa distância é chamada comprimento efetivo da coluna Le. Prof.: Kaio Dutra

Em vez de especificar o comprimento efetivo da coluna, muitas normas de projeto fornecem fórmulas que empregam um coeficiente adimencional K chamado fator de comprimento efetivo K é definido por: Prof.: Kaio Dutra

Desta forma podemos escrever as equações: Nesse caso, (KL/r) é o indice de esbeltez efetivo da coluna. Prof.: Kaio Dutra

Flambagem de Colunas Exemplo 13.3
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