Lógica matemática FACVLDADE MAURICIO DE NASSAU – FAP PARNAIBA

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1 Lógica matemática FACVLDADE MAURICIO DE NASSAU – FAP PARNAIBA
Bacharelado em Sistemas de Informação Bloco: I Lógica matemática Aula 01 Prof. Ricardo Anderson

2 Ementa Indução matemática. Conjuntos. Álgebra de Conjuntos. Relações Binárias. Funções. Estruturas algébricas. Reticulados. Álgebra Booleana. Técnicas de demonstração de teoremas. Análise Combinatória: Distribuição, permutação e combinação. Enumeração por recursão. Cardinalidade da união de conjuntos. Enumeração de um conjunto relativo a um grupo de permutação. Linguagem de conjuntos.

3 Competências Especificas
Efetuar mudanças de base em sistemas de Numeração. Efetuar Operações Aritméticas com Binários. Compreender Codificação e Operações da álgebra de Boole com simplificações do mapa de Karnaugh. Conhecer analise combinatória. Entender a cardinalidade da união de conjuntos.

4 Unidade I SISTEMAS NUMÉRICOS
OPERAÇÕES ARITMÉTICAS COM NÚMEROS BINÁRIOS INTRODUÇÃO À CODIFICAÇÃO ÁLGEBRA DE BOOLE PORTAS LÓGICAS E SIMBOLOGIA MINIMIZAÇÃO DE FUNÇÕES BOOLEANAS MAPA DE KARNAUGH

5 Unidade II NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA PROPOSIÇÕES LÓGICAS

6 Bibliografia Irei Pesquisar na Biblioteca Livros Relacionados a Disciplina.

7 Dúvidas?

8 Sistemas de Numeração O número é um conceito abstrato que representa a idéia de quantidade. Sistema de numeração é o conjunto de símbolos utilizados para a representação de quantidades e as regras que definem a forma de representação. Não posicional Posicional

9 1. Sistemas de Numeração Não Posicional
O valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição no número. Exemplo: sistema de algarismos romanos. Símbolos: I, V, X, L, C, D, M. Regras: Cada símbolo colocado à direita de um maior é adicionado a este. Cada símbolo colocado à esquerda de um maior tem o seu valor subtraído do maior.

10 1. Sistemas de Numeração Não Posicional
Sistema de numeração egípcio

11 2. Sistemas de Numeração Posicional
O valor de cada símbolo é determinado de acordo com a sua posição no número. Um sistema de numeração é determinado fundamentalmente pela BASE, que indica a quantidade de símbolos e o valor de cada símbolo. Do ponto de vista numérico, o homem lida com o Sistema Decimal.

12 2.1. Sistema Decimal Base: 10 (quantidade de símbolos).
Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Embora o Sistema Decimal possua somente dez símbolos, qualquer número acima disso pode ser expresso usando o sistema de peso por posicionamento, conforme o exemplo a seguir: 3 x x x x 100 = 3546

13 2.1. Sistema Decimal Obs.: Dependendo do posicionamento, o digito terá peso. Quanto mais próximo da extrema esquerda do número estiver o digito, maior será a potência de dez que estará multiplicando o mesmo, ou seja, mais significativo será o digito.

14 2.2 Sistema Binário É o sistema de numeração mais utilizado em processamento de dados digitais, pois utiliza apenas dos algarismos (0 e 1), sendo portanto mais fácil de ser representado por circuitos eletrônicos (os dígitos binários podem ser representados pela presença ou não de tensão). Base: 2. (quantidade de símbolos) Elementos: 0 e 1.

15 2.2 Sistema Binário Os dígitos binários chamam-se BITS (Binary Digit). Assim como no sistema decimal, dependendo do posicionamento, o algarismo ou bit terá um peso. O da extrema esquerda será o bit mais significativo e o da extrema direita será o bit menos significativo. O Conjunto de 8 bits é denominado Byte.

16 2.3. Sistema Octal O Sistema Octal foi criado com o propósito de minimizar a representação de um número binário e facilitar a manipulação humana. Base: 8. (quantidade de símbolos) Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

17 2.3. Sistema Octal O Sistema Octal (base 8) é formado por oito símbolos ou digitos, para representação de qualquer digito em octal, necessitamos de três digitos binários. Os números octais têm, portanto, um terço do comprimento de um número binário e fornecem a mesma informação.

18 2.4. Sistema Hexadecimal Base: 16. (quantidade de símbolos)
Elementos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E e F. O Sistema Hexadecimal ( base 16 ) fo criado com o mesmo propósito do Sistema Octal, o de minimizar a representação de um número binário.

19 2.4. Sistema Hexadecimal Se considerarmos quatro dígitos binários, ou seja, quatro bits, o maior número que se pode expressar com esses quatro bits é 1111, que é, em decimal 15. Como não existem símbolos dentro do sistema arábico, que possam representar os números decimais entre 10 e 15, sem repetir os símbolos anteriores, foram usados símbolos literais: A, B, C, D, E e F.

20 Conversões entre os Sistemas de Numeração
Teorema Fundamental da Numeração Relaciona uma quantidade expressa em um sistema de numeração qualquer com a mesma quantidade no sistema decimal N = dn - 1x bn d1 x b1 + d0 x b0 + d-1 x b-1 + d-2 x b Onde: d é o dígito, n é a posição e b é a base.

21 Exemplos 128(base10) = 1 x 102 + 2 x 101 + 8 x 100
54347(base10) = 5 x x x x x 100 100(base2) = 1 x x X 20 = 4 101(base2) = 1 x x X 20 = 5 24(base8) = 2 x x 80 = = 20 16(base8) = 1 x x 80 = = 14

22 Tabela de conversão de números
Decimal Binário Octal Hexadecimal 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 110 7 111 8 1000 9 1001 1010 12 A 1011 13 B 1100 14 C 1101 15 D 1110 16 E 1111 17 F Tabela de conversão de números

23 Conversão Decimal-Binário
Dividir sucessivamente por 2 o número decimal e os quocientes que vão sendo obtidos, até que o quociente de uma das divisões seja 0. O resultado é a seqüência de baixo para cima de todos os restos obtidos.

24 Conversão Decimal-Binário

25 Conversão Decimal-Binário
Caso exista fração: a parte inteira não muda. Aplica-se multiplicações sucessivas na parte à direita da vírgula.

26 Exercícios Converta em binário: a) 13,5 b) 21,75 c) 8,710

27 Conversão Binário-Decimal
Aplica-se Teorema Fundamental da Numeração

28 Conversão Decimal-Octal
Divisões sucessivas por 8. Multiplicações sucessivas por 8 (parte fracionária). O resultado é a seqüência de baixo para cima de todos os restos obtidos.

29 Conversão Octal-Decimal
Aplica-se Teorema Fundamental da Numeração

30 Conversão Decimal-Hexa
Divisões sucessivas por 16. Multiplicações sucessivas por 16 (parte fracionária).

31 Conversão Hexa-Decimal
Aplica-se Teorema Fundamental da Numeração

32 Conversão Hexa-Binário
Agrupamento de 4 bits.

33 Conversão Binário-Hexa
Agrupamento de 4 bits.

34 Conversão Octal-Binário
Agrupamento de 3 bits.

35 Conversão Binário-Octal
Agrupamento de 3 bits.

36 Conversão Octal-Hexa Dois passos: Converter octal para binário.
Converter binário para hexa.

37 Conversão Hexa-Octal Dois passos: Converter hexa para binário.
Converter binário para octal.

38 Operações Aritméticas no Sistema binário
Adição A adição no sistema binário é realizada exatamente da mesma forma que uma adição no sistema decimal. Vamos inicialmente realizar uma adição na base 10 e posteriormente outra na base 2. Seja a operação 85 +18 103

39 Adição Somamos por colunas à partir da direita, temos 8+5=13, como a soma excedeu o maior dígito disponível, usamos a regra do transporte para a próxima coluna. Assim, dizemos que dá 3 e “vai um”. Este transporte “vai um” é computado na soma da próxima coluna, que passa a ser 8+1+1=10, novamente usamos o transporte e dizemos que dá 0 e “vai um” abrindo uma nova coluna que é =1. Obtemos desta forma o resultado 103.

40 Adição Nos casos “a”,”b” e “c” não houve transporte.
Vamos agora para o sistema base 2, como temos apenas dois dígitos, vamos verificar quais os possíveis casos que ocorrerão na soma por colunas: a) b) c) d) e) 1 11 Nos casos “a”,”b” e “c” não houve transporte.

41 Adição No caso “d” houve transporte, o resultado é 0 e “vai um” e no caso “e” realizamos a soma de três parcelas incluindo um transporte, o resultado é 1 e “vai um”. Vamos agora efetuar , temos:

42 Adição Outro exemplo, efetuar 111012 + 10012
Ainda outro exemplo, efetuar

43 Subtração em binário Como o método também é análogo ao da subtração no sistema decimal, vamos ver quais os possíveis casos que ocorrerão na subtração por colunas. a) b) c) d) 1

44 Subtração No caso “b”, o resultado será 1, mas ocorrerá um transporte para a coluna seguinte, que deve ser acumulado no subtraendo. Exemplificando, vamos efetuar – 10012

45 Subtração Outro exemplo, vamos efetuar

46 Multiplicação no sistema binário
Novamente análoga ao caso decimal. Agora os casos possíveis são: a) 0x0 = 0 b) 0x1 = 0 c) 1x0 = 0 e d) 1x1 = 1

47 Multiplicação no sistema binário
Exemplificando, efetuar x 112

48 Multiplicação no sistema binário
Outro exemplo, efetuar x 102

49 Notação de números Binários Positivos e Negativos
Em aplicações práticas, os números binários devem ser representados com sinal. Uma maneira de fazer isto é adicionar um bit de sinal ao número. Este bit é adicionado à esquerda do número, por convenção se for 0, o número em questão é positivo, caso seja 1, o número é negativo. Este processo é denominado sinal-módulo.

50 Notação de números Binários Positivos e Negativos
Vamos ver alguns exemplos: Representar em binários sinal-módulo os números 2310 , , 1110 e usando palavras de 8 bits. 2310 = usando 8 bits temos: 1510 = usando 8 bits temos: como o sinal é negativo vem – 1510 = 1110 = usando 8 bits temos: 910 = usando 8 bits temos: , como o sinal é negativo vem – 910 =

51 Notação de números Binários Positivos e Negativos
Outra forma de representação de números negativos bastante utilizada é o complemento de 2. Para obtermos o complemento de 2 de um número binário, precisamos inicialmente converter o número em seu complemento de 1.

52 Notação de números Binários Positivos e Negativos
O complemento de 1 de um número binário obtém-se trocando cada bit pelo seu complemento (01 e 1 0). A seguir, soma-se 1 ao complemento de 1, obtendo assim o complemento de 2.

53 Notação de números Binários Positivos e Negativos
Vamos exemplificar obtendo os complementos de 2 dos números binários abaixo: binário compl de compl de 2

54 Notação de números Binários Positivos e Negativos
Devemos observar que devido ao seu emprego em hardware os números binários são representados sempre com um número fixo de bits. A conversão inversa, ou seja, de um número em representação complemento de 2 para a notação binária original é feita obtendo-se novamente o seu complemento de 2.

55 Pra saber mais... Faça 10 – 5 utilizando complemento a 2.
Suponha que seu processador trabalhe com números de 5 bits Na verdade, deve-se fazer 10 + (-5) 10, em binário é: 01010 5, em binário é: 00101

56 Pra saber mais... Aplicando o complemento a 2, obteremos -5:
Invertendo seus bits, temos: 11010 Fazendo , temos 11011 Agora, basta somar: Assim, obtemos Como o processador é de 5 bits, o bit mais à esquerda a mais será desprezado. Assim, o número que obtive como resultado foi De fato, o resultado é 5.

57 Representação no Computador
O computador trabalha com grupos de bits (palavra). Em geral, essas palavras são de 32 ou 64bits. Em geral, ele usa uma palavra para representar os números inteiros (INT, LONG, SHORT...) e um bit é utilizado para indicar o sinal do número (0 positivo e 1 negativo).

58 Utilização do complemento de 2 em operações aritméticas.
Exercícios Efetue as operações binárias a) b) c) d) e) f) g) h) i) x101 j) x110 k) 11110x111 Represente os números em notação sinal-módulo 8bits a) 97 b) c) d) Represente os números do exercício anterior em complemento de 2. Efetue as operações utilizando complemento de 2. a) b)

59 Por hoje é só pessoal! Obrigado pela atenção!