MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Sistemas de Numeração.

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1 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Sistemas de Numeração

2 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Por que Binário? Primeiros computadores projetados eram decimais –Mark I e ENIAC John von Neumann propôs processamento com dados binários (1945) –Simplificava o projeto de computadores –Usado tanto por instruções como por dados Relação natural entre comutadores on/off e cálculos com lógica Booleana

3 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Contagem e Aritmética Decimal ou sistema de base 10 –Origem: contando nos dedos –“Dígito” vem do Latim digitus, que significa “dedo” Base: o número de dígitos diferentes no sistema numérico, incluindo zero Decimal ou base 10: 10 dígitos, 0 até 9 Binário ou base 2: 2 dígitos, 0 e 1 –Bit (dígito binário) Octal ou base 8: 8 dígitos, 0 até 7 Hexadecimal ou base 16: 16 dígitos, 0 até F –Exemplos: 10 10 = A 16 ; 11 10 = B 16

4 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Considerando os Bits Bits são normalmente armazenados e manipulados em grupos –8 bits = 1 byte –4 bytes = 1 palavra (em sistemas de 32 bits) Número de bits usados em cálculos –Afetam a precisão dos resultados –Limitam o tamanho dos números manipulados pelo computador

5 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Números: Representação Física Diferentes numerais, mesmo número de laranjas –Homem das cavernas: IIIII –Romano: V –Arábico: 5 Diferentes bases, mesmo número de laranjas –5 10 –101 2 –12 3

6 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Sistemas de Numeração Romanos: independentes da posição Moderno: baseado na notação posicional (valor posicional) –Decimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 10. –Binário: sistema de notação posicional baseado potências de 2 –Octal : sistema de notação posicional baseado em potências de 8 –Hexadecimal: sistema de notação posicional baseado em potências de 16

7 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Sistemas Numéricos mais Comuns

8 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Quantidades / Contagem (1 de 3)

9 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Quantidades / Contagem (2 de 3)

10 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Quantidades / Contagem (3 de 3) Etc.

11 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Conversão Entre Bases Possibilidades: DecimalOctal Binário Hexadecimal

12 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 25 10 = 11001 2 = 31 8 = 19 16 Base

13 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Decimal para Decimal (só para entender) DecimalOctal Binário Hexadecimal

14 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC 125 10 =>5 x 10 0 = 5 2 x 10 1 = 20 1 x 10 2 = 100 125 Base Peso

15 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Binário para Decimal DecimalOctal Binário Hexadecimal

16 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Binário para Decimal Técnica –Multiplique cada bit por 2 n, onde n é o “peso” do bit –O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita –Adicione os resultados

17 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 101011 2 => 1 x 2 0 = 1 1 x 2 1 = 2 0 x 2 2 = 0 1 x 2 3 = 8 0 x 2 4 = 0 1 x 2 5 = 32 43 10 Bit “0”

18 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Octal para Decimal DecimalOctal Binário Hexadecimal

19 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Octal para Decimal Técnica –Multiplique cada bit por 8 n, onde n é o “peso” do bit –O peso é a posição do bit, começando em 0 à direita –Adicione os resultados

20 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 724 8 => 4 x 8 0 = 4 2 x 8 1 = 16 7 x 8 2 = 448 468 10

21 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Hexadecimal para Decimal DecimalOctal Binário Hexadecimal

22 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Hexadecimal para Decimal Técnica –Multiplique cada bit por 16 n, onde n é o “peso” do bit –O peso é a posição do bit, começando de 0 à direita –Adicione os resultados

23 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo ABC 16 =>C x 16 0 = 12 x 1 = 12 B x 16 1 = 11 x 16 = 176 A x 16 2 = 10 x 256 = 2560 2748 10

24 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Decimal para Binário DecimalOctal Binário Hexadecimal

25 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Decimal para Binário Técnica –Divida por dois, guardando os restos –Primeiro resto é o bit 0 (bit menos significativo) –Segundo resto é o bit 1 –Etc.

26 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 125 10 = ? 2 2 125 62 1 2 31 0 2 15 1 2 7 1 2 3 1 2 1 1 2 0 1 125 10 = 1111101 2

27 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Octal para Binário DecimalOctal Binário Hexadecimal

28 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Octal para Binário Técnica –Converta cada dígito octal para uma representação binária equivalente de 3 bits

29 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 705 8 = ? 2 7 0 5 111 000 101 705 8 = 111000101 2

30 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Hexadecimal para Binário DecimalOctal Binário Hexadecimal

31 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Hexadecimal para Binário Técnica –Converta cada dígito hexadecimal para uma representação binária equivalente de 4 bits.

32 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 10AF 16 = ? 2 1 0 A F 0001 0000 1010 1111 10AF 16 = 0001000010101111 2

33 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Decimal para Octal DecimalOctal Binário Hexadecimal

34 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Decimal para Octal Técnica –Divida por 8 –Guarde os restos

35 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 1234 10 = ? 8 8 1234 154 2 8 19 2 8 2 3 8 0 2 1234 10 = 2322 8

36 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Decimal para Hexadecimal DecimalOctal Binário Hexadecimal

37 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Decimal para Hexadecimal Técnica –Divida por 16 –Guarde os restos

38 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 1234 10 = ? 16 1234 10 = 4D2 16 16 1234 77 2 16 4 13 = D 16 0 4

39 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Binário para Octal DecimalOctal Binário Hexadecimal

40 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Binário para Octal Técnica –Divida os bits em grupos de três, começando à direita –Converta para dígitos octais

41 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 1011010111 2 = ? 8 1 011 010 111 1 3 2 7 1011010111 2 = 1327 8

42 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Binário para Hexadecimal DecimalOctal Binário Hexadecimal

43 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Binário para Hexadecimal Técnica –Divida os bits em grupos de quatro, começando à direita –Converta para dígitos hexadecimais

44 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 1010111011 2 = ? 16 10 1011 1011 2 B B 1010111011 2 = 2BB 16

45 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Octal para Hexadecimal DecimalOctal Binário Hexadecimal

46 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Octal para Hexadecimal Técnica –Use Binário como uma representação intermediária

47 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 1076 8 = ? 16 1 0 7 6 001 000 111 110 2 3 E 1076 8 = 23E 16

48 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Hexadecimal para Octal DecimalOctal Binário Hexadecimal

49 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Hexadecimal para Octal Técnica –Use Binário como uma representação intermediária

50 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo 1F0C 16 = ? 8 1 F 0 C 0001 1111 0000 1100 1 7 4 1 4 1F0C 16 = 17414 8

51 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exercício – Converta... Pule a resposta Resposta Não use calculadora!

52 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exercício – Converta … Resposta

53 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Potências mais Comuns (1 de 2) Base 10

54 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Potências mais Comuns (2 de 2) Base 2 O que são os valores de “k”, “M”, e “G”? Em computação, em particular com memórias, a interpretação de base-2 geralmente se aplica

55 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exemplo / 2 30 = No laboratório… 1. Clique duplo em Meu Computador 2. Clique com o botão direito em C: 3. Clique em Propriedades

56 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exercício – Espaço Livre Determine o “espaço livre” de todos os drives de um computador do laboratório

57 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Revisão – multiplicando potências Para bases comuns, adicione os expoentes 2 6  2 10 = 2 16 = 65,536 ou … 2 6  2 10 = 64  2 10 = 64k a b  a c = a b+c

58 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Adição Binária (1 de 2) Dois valores de 1-bit “dois”

59 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Adição Binária (2 de 2) Dois valores de n-bits –Adicione os bits individualmente –Propague as sobras –E.g., 10101 21 + 11001 + 25 101110 46 11

60 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Multiplicação (1 de 3) Decimal (só para entender) 35 x 105 175 000 35 3675

61 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Multiplicação (2 de 3) Binário, dois valores de 1-bit

62 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Multiplicação (3 de 3) Binário, dois valores de n-bits –Como no caso de valores decimais –E.g., 1110 x 1011 1110 1110 0000 1110 10011010

63 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Frações Decimal para decimal (só para entender) 3.14 =>4 x 10 -2 = 0.04 1 x 10 -1 = 0.1 3 x 10 0 = 3 3.14

64 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Frações Binário para decimal 10.1011 => 1 x 2 -4 = 0.0625 1 x 2 -3 = 0.125 0 x 2 -2 = 0.0 1 x 2 -1 = 0.5 0 x 2 0 = 0.0 1 x 2 1 = 2.0 2.6875

65 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Frações Decimal para Binário 3.14579 11.001001....14579 x 2 0.29158 x 2 0.58316 x 2 1.16632 x 2 0.33264 x 2 0.66528 x 2 1.33056 etc.

66 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exercício – Converta... Pule a resposta Resposta Não use calculadora!

67 MAB 124 Sistemas de Numeração PRC Exercício – Converta … Resposta