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Prática de Ensino em Matemática I Aula 12
Curso de Licenciatura em Matemática Prof. M.S.c. Fabricio Eduardo Ferreira
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Decomposição em fatores primos (Árvore de fatores)
Decomponha o número 36 em fatores primos: 36 36 36 4 9 6 6 2 18 2 2 3 3 2 3 2 3 2 2 9 2 2 3 3 36=2×2×3×3= 2 2 × 3 2 36=2×3×2×3= 2 2 × 3 2 36=2×2×3×3= 2 2 × 3 2
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Decomposição em fatores primos (Dispositivo prático)
Decomponha o número 36 em fatores primos: P= 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ⋯ 36 2 18 2 Decomponha o número 220 em fatores primos: 9 3 3 3 220 2 1 110 2 36= 2 2 × 3 2 55 5 Decomponha o número 105 em fatores primos: 11 11 1 105 3 220= 2 2 ×5×11 35 5 7 7 1 105=3×5×7
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Divisores Luciano tem 12 figurinhas repetidas. Ele quer dividí-las com um grupo de amigos, de forma que todos recebam a mesma quantidade de figurinhas. Quantos amigos poderá ter este grupo? 1 12 para cada 2 6 para cada 3 4 para cada Reunindo os divisores de um número formamos o conjunto dos divisores deste número. 4 3 para cada 6 2 para cada 12 1 para cada D 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
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Obtenção dos divisores
Obtenha todos os divisores do número 12: Obtenha todos os divisores do número 36: 1 1 36 2 2 12 2 2 18 2 4 6 2 4 9 3 3, 6, 12 3 3 3, 6, 12 3 3 9, 18, 36 1 1 D 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 D 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 36 Para determinar os divisores de um número basta fatorarmos o mesmo, escrevermos o número 1 acima de seus fatores e multiplicarmos cada fator pelos números acima deles.
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Maior Divisor Comum (M.D.C.)
Pedro possui 20 selos e 36 figurinhas todos repetidos. Ele quer dividir os selos e as figurinhas com um grupo de amigos, de modo que todos recebam a mesma quantidade, sem sobrar nenhum. Qual é o maior número de amigos que Pedro pode ter em seu grupo? D 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20 D 36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 24, 36 D.C. 20, 36 = 1, 2, 4 M.D.C. 20, 36 = 4 Maior dos divisores comuns Resposta: O maior número de amigos que Pedro poderá ter em seu grupo é 4 amigos.
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Processo prático para obtenção do M.D.C.
Determine o M.D.C. (18, 45): Determine o M.D.C. (120, 90): Determine o M.D.C. (15, 28): 18 2 45 3 120 2 90 2 15 3 28 2 9 3 15 3 60 2 45 3 5 5 14 2 3 3 5 5 30 2 15 3 1 7 7 1 1 15 3 5 5 1 5 5 1 M.D.C. 18,45 = 3 × 3= 9 M.D.C. 15,28 = 1 1 M.D.C. 120,90 = 2 × 3 × 5= 30 Para determinar o M.D.C. entre dois ou mais números primeiramente os fatoramos e depois procuramos seus fatores em comum. O M.D.C. é dado pelo produto dos fatores comuns.
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Números Primos entre Si
Determine o M.D.C. (15, 28): 15 3 28 2 5 5 14 2 1 7 7 1 M.D.C. 15,28 = 1 Quando dois ou mais números não possuem divisores em comum (exceto o 1 que é divisor universal), eles são chamados números primos entre si e o M.D.C. entre eles vale 1.
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Menor Múltiplo Comum (M.M.C.)
Mariana está muito doente. Seu médico receitou que tomasse um comprimido de 6 em 6 horas e uma colher de xarope de 4 em 4 hora. Sabendo que Mariana tomou um comprimido e uma colher de xarope à meia-noite (zero hora) qual será o próximo horário que ela tomará os dois remédios juntos? M 6 = 0, 6, 12, 18, 24, 32, 40, ⋯ M 4 = 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, ⋯ M.C. 6, 4 = 0, 12, 24, ⋯ M.M.C. 6, 4 = 12 Menor dos múltiplos comuns Resposta: Mariana deverá tomar os dois remédios juntos depois de 12 horas, ou seja, ao meio dia.
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Processo prático para obtenção do M.M.C.
Determine o M.M.C. (5, 6): Determine o M.M.C. (9, 55): Determine o M.M.C. (14, 20): 5, 6 2 9, 55 3 14, 20 2 5, 3 3 3, 55 3 7, 10 2 5, 1 5 1, 55 5 7, 5 5 1, 1 1, 11 11 7, 1 7 2×3×5=30 1, 1 1, 1 3×3×5×11=495 2×2×5×7=140 M.M.C. 5,6 =30 M.M.C. 9,55 =495 M.M.C. 14,20 =140 Para determinar o M.M.C. entre dois ou mais números fazemos a decomposição simultânea dos números. O M.M.C. é dado pelo produto de fatores primos obtidos.
