Dr. Mecânica do Vôo (ITA/Howard University)

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CMC INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Prof. Ijar M. Fonseca Dr. Mecânica do Vôo (ITA/Howard University) 1. INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO, HISTÓRICO Importância do controle automático: propicia meios para desempenho ótimo de sistemas, melhoria de qualidade, redução de custos, aumento de produtividade, automação de atividades em geral Aplicações: sistemas de pilotagem de aviões, mísseis, navios, sistemas de controle de veículos espaciais, operações industriais,etc 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6
Breve Histórico: James Watt: construção do regulador centrífugo para controle de velocidade de uma máquina a vapor no século XVIII Minorsky, 1.922: sistema de pilotagem de navios. Estabilidade - Equações Diferenciais Nyquist, 1.932: procedimento para determinar estabilidade de sistemas em malha fechada Hazen, 1.934: Introdução da termo “servomecanismo” para sistemas de controle de posição. Projeto de servomecanismos e relés capazes de seguir uma entrada variável. Década de 40: Métodos de resposta em frequência tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de controle lineares com realimentação. Coração da Teoria de Controle Classico, : Desenvolvimento do método do lugar das raízes em projeto de sistema de controle (SISO) Evolução para sistemas MIMO a partir de 1.960 Estado da arte: controle ótimo, utilização de computadores, desenvolvimento da computação evolucionária permitindo sistemas com apredizado e treinamento. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Terminologia Básica Planta (Plant): Parte de um equipamento ou conjunto de partes de uma máquinaque funcionam integrados como um sistema. No contexto deste curso estaremosusando o termo planta como qualquer objeto físico a ser controlado. Processo: Neste curso estaremos utilizando este termo para identificar qualqueroperação a ser controlada Perturbação (distúrbio): Sinal que tende a afetar adversamente o comportamento da saída do sistema. Uma perturbação pode ser externa, funcionando como uma entrada, ou interna ao sistema. Sistema de controle realimentado: sistema que tende a manter uma relação prescrita entre a entrada e a saída, por comparação. Servomecanismo: sistema de controle com realimentação no qual a saída pode ser uma posição, velocidade ou aceleração. Sistema regulador automático: sistema no qual a entrada de referência, ou a saída desejada, ou é constante ou varia lentamente no tempo. O principal objetivo é manter a a saída real em um valor desejado, na presença de perturbações. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

2. BASE MATEMÁTICA - TRANSFORMADA DE LAPLACE Método operacional que pode ser usado para solução de sistemas de equações diferenciais lineares Características da Transformada de Laplace: Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo. A solução da equação diferencial (ED) pode ser encontrada através de uma tabela de transformadas de Laplace ou pelo uso de técnicas de expansão em frações parciais. Vantagens: Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho de um sistema sem necessidade de resolução do sistema de Eds. Quando se resolve um Sistema de Equacões Diferenciais (SED) pode ser obter simultaneamente as soluções correspondentes aos regimes transitório e permanente. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

2.1. BREVE REVISÃO SOBRE VARIÁVEIS COMPLEXAS Seja s uma variável complexa, que pode ser representada como a soma de uma componente real mais uma componente complexa, na forma: Considere a figura 1 que se segue, ilustrando o plano s e um ponto representativo O Fig. 1 Plano s e um ponto representativo 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Seja uma função G de s, com uma parte real e uma parte imaginária, dada por onde Gx e Gy reais Considere o plano complexo mostrado na figura 2 onde é ilustrado o ângulo q de (Gx+Gy,), G e suas componentes. O ângulo q é medido a partir do eixo real positivo e é dado por O q Positivo Negativo Uma rotação anti-horária é definida como a direção positiva para fins de medição de ângulos. O módulo da grandeza complexa (Gx+jGy) é dado por Fig. 2 Plano complexo e duas grandezas complexas representativas 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

O complexo conjugado de G(s)= Gx+jGy é dado por G(s)= Gx-jGy Uma função G(s) é dita analítica em uma região se G(s) e suas derivadas existem naquela região. A derivada de uma função analítica G(s) é dada por O valor da derivada é independente da trajetória Ds. Uma vez que Ds = Ds + jDw, Ds pode se aproximar de zero ao longo de um número infinito de trajetórias. Se ao longo de duas trajetórias particulares Ds= Ds e Ds= jDw são iguais, então a derivada é única para qualquer outra trajetória Ds= Ds + jDw. Seja o caso particular para a trajetória Ds= Ds (trajetória paralela ao eixo real). A derivada é dada por: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Para outra trajetória particular Ds=jDw ou seja, trajetória paralela ao eixo imaginário: Se os dois valores das deriadas são iguais então: Em outras palavras, se a condição for satisfeita então a Derivada de G(s) em relação a s é univocamente determinada. Estas duas condições são conhecidas como condições de Cauchy-Riemann. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Considere o seguinte exemplo: Então Onde Note que exceto no ponto s=-1, ou seja, s=-1e w=0 satisfaz a condição de Cauchy-Riemann é satisfeita: Portanto é analítica em todo o plano s, exceto para s=-1 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

A derivada de G(s) em relação a s é: Pontos Ordinários e Singulares - Pólos e Zeros Pontos no plano s em que a função G(s) é analítica são chamados de pontos oridinários. Os pontos do plano s em que a função G(s) não é analítica são chamados pontos singulares. Polos são pontos singulares nos quais a função G(s) ou suas derivadas se aproximam do infinito Exemplo: Tem dois polos em s = -p1 e s= -p2 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Zeros são pontos ordinários nos quais a função G(s) é zero são chamados zeros. Existem pontos no infinito e no finito que podem levar G(s) para zero. Se pontos no infinito são levados levados em conta a G(s) tera o mesmo número de pólos e zeros Por exemplo, esta função tem um zero em s=-z. Se pontos no inifinito são tambem considerados G(s) tem o mesmo número de polos e zeros. No exemplo acima G(s) tem 2 zeros no infinito em adição ao zero finito dado por –z. Note que: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Note que Portanto temos 3 pólos e 3 zeros Mapeamento Conforme Um mapeamento que preserva tanto o tamanho quanto o sentido dos ângulos é chamado conforme. Seja uma função analítica z = F(s) . A relação funcional z = F(s) pode ser interpretada como um mapeamento de pontos do plano s sobre o plano z. Para qualquer ponto p do plano s em que F(s) é regular (não-singular) corresponde um ponto P’ . P’ é chamado imagem de P sendo dado por z = F(s) . Significado do Mapeamento Conforme: duas curvas do plano s que se interceptam e formam um ângulo  sãomapeadas sobre duas curvas suaves no plano F(s) que se interceptam e formam o mesmo ângulo . Se G(s) é contínua em um domínio  então a imagem de um curva contínua em  mapeada por z = F(s) também é uma curva contínua. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Para provar que o mampeamento conforme associado a uma função analítica z = F(s) é conforme, considere-se uma curva suave s = s(), que passa por um ponto ordinário s0 . Seja z = F(s0) . Podemos escrever Portanto Onde s-s0 é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor apontando de s0 para s Se s aproxima de s0 ao longo de uma curva s = s(), então s-s0 é o ângulo 1entre o eixo real positivo e a tangente a curva em . De forma similar se z aproxima de z0, z-z0 tende ao âsngulo 1, ângulo entre o eixo real positivo e a tangente em F(s) em z0, ou seja 1= F’(s0) + 1, para F’(s0)  0, ou seja 1 - 1 = F’(s0) 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Usando outra curva suave s = s2() e fazendo uma análise similar obtém-se 2.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE Considere as definições: f(t) é uma função do tempo tal que f(t) = 0 para t < 0 s é uma variável complexa é um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa é transformada pela integral de Laplace F(s) transformada de Laplace de f(t) 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

A transformada de Laplace de f(t) é definida por Exemplo 1 – Considere a função exponencial Onde A e  são constantes. A transformada de Laplace de f(t) é dada por 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

A transformada de Laplace de f(t) existe se f(t) é continua seccionalmente em todo em todo o intervalo finito da região t > 0 e se a função é de ordem exponencial quando t tende a infinito, isto é, a integral de Laplace deve convergir. Uma função f(t) é de ordem exponencial se existe uma constante real positiva, tal que a função tende a zero quando t . Se o limite de f(t)e-t tende a zero para  c c de abscissa de convergência 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Considere a função A integral Converge somente se , a parte real de s for maior do que a abscissa de convergência c, portanto o operador s tem que ser escolhido como uma constante de tal forma que a integral seja convergente. Em termos de pólos da função F(s), a abscissa de convergência c corresponde à parte real do pólo localizado mais distante, a direita no plano s. Exemplo: Seja a função: a abscissa de convergência é –1. Para funções do tipo t, sin(t) e tect.sin(t) a abscissa de convergência é igual a zero. Para funcões do tipo e-ct, te-ct, e-ct sin(t) a abscissa de convergência é –c. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Se o limite de f(t)e-t possui uma transformada de Laplace, então a transformada de Laplace de Af(t), onde A é uma constante, é dada por Similarmente se f1 e f2 possuem transformadas de Laplace, então a transformada de Laplace da função f1 + f2 é dada por Transformadas de Laplace para algumas funções encontradas com frequência Exemplo 2 – Função degrau Considere a seguinte função degrau A transformada de Laplace é Nota: Assumindo a parte real de s > 0, garantindo a convergência, ou seja A transformada de Laplace é válida em to s, exceto para s=0 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Para A = 1 a função degrau é chamada função degrau unitário, ocorrendo em t = t0 é frequentemente representada por u(t-t0) ou 1(t-t0). A função degrau de amplitude A pode ser escrita como A.1(t-t0). A transformada de Laplace da função degrau unitário que é definida por Significado físico de uma função degrau em t=0: corresponde a um sinal constante aplicado subtamente ao sistema no instante t=0. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exemplo 3 – Função rampa Considere a seguinte função rampa: A sua transformada de Laplace é dada por (integrando por partes) Nota: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exemplo 3 – Função senoidal Considere a seguinte função senoidal: Como 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

2.3. TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 1 : Homogeneidade Seja uma constante independente de s e de t e seja f(t) transformável. Então Teorema 1 : Aditividade Se f1(t) e f2(t) são ambas transformáveis, aplica-se o princípio da superposição 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 3 : Translação no tempo Função transladada: Seja a transformada transladada de Laplace f(t-a)  t t Fig. 3 - Função f(t) Fig. 4 - Função f(t-) Seja f(t) = 0 para t < 0 e f(t-) = 0 para t < , representadas nas duas figuras acima 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Como f(t-) = 0 para 0 < t <  Portanto Esta equação mostra que a translação fe f(t) de um valor de  unidades é equivalente multiplicar F(s) por e-t 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Considere o seguinte exemplo Exemplo 5 – Função Pulso 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Função Impulso: Trata-se de um caso limite especial de uma função pulso Exemplo 6 – Função impulso Como a amplitude da função impulso é e a duração é t0 a área sob o impulso é igual a A. Como a duração t0 tende a 0, a altura tende ao infinito. O tamanho de um impulso é medido pelo sua área. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

A transformada de Laplace da função impulso é f(t) pode ser obtida como se segue Portanto: a transformada de Laplace da função impulso é área sob o impulso. A funçõ impulso cuja A=1 denomina-se impulso unitário ou função delta de Dirac. A função impulso unitário, ocorrendo em t = t0, é normalmente indicada por (t-t0) e satisfaz as seguintes condições: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 4: Derivada complexa Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s), então A multiplicação por t no domínio real implica a derivação com relação a s no domínio de s Exemplo 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 5: Translação no domínio s Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s) e a é real ou complexa, então L[e-atf(t)]= F(s+a) Exemplo: Considere a transformada de Laplace que segue Aplicando o teorema de translação no domíno s: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 6 : Diferenciação Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s) e se a primeira derivada de f(t) com relação ao tempo Df(t) é transformável, então L[Df(t)] = sF(s)-f(0+) Demostrando, considere: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 6 : Diferenciação (Cont.) A transformada da derivada segunda D2f(t) é L[D2f(t)] = s2F(s)-sf(0)-Df(0) onde Df(0) é valor do limite da derivada de f(t) quando a origem t=0 é aproximada pela direita. Para demonstrar este caso considere a definição 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 6 : Diferenciação (Cont.) De forma similar obtem-se a transformada da derivada de ordem n, Dnf(t): Nota: A transformada inclui as condições iniciais, enquanto que no no método clássico as condições iniciais são introduzidas separadamente a fim de se calcular os coeficientes da solução da ED. A demonstração segue a mesma linha da demonstração anterior. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 7: Integração Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s), sua integral é transformável: O termo D-1f(0+) é igual ao valor da integral na origem, aproximada pela direita Demonstração: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 7: Integração (Cont.) A transformada da integral envolvendo derivada de segunda ordem é Para a integral envolvendo derivadas de ordem n 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 8: Valor Inicial Se a função f(t) e sua primeira derivada são transformáveis, se a transformada de Laplace de f(t) é F(s), e se Este teorema estabelece que o comportamento de f(t) nas vizinhanças de t=0 está relacionado com o comportamento de sF(s) nas vizinhanças de |s| = . Não há limitações quanto aos pólos de sF(s). 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 8: Valor final Se f(t) e Df(t) admitem transformada de Laplace, se a transformada de Laplace de f(t) é F(s) e se existe o limite de f(t) quando t, ou seja Este teorema estabelece que o comportamento de f(t) nas vizinhanças de t =  está relacionado com o comportamento de sF(s) nas proximidades de s=0. Se F(s) possui pólos (valores de s para os quais F(s) se torna infinito) sobre o eixo imaginário ou no semiplano s da direita, nao existe valor final de f(t) e oteorema não pode ser aplicado. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 9: Multiplicação de f(t) por e-t Se f(t) é transformável por Laplace, com sua transformada sendo F(s), então a transformada de Laplace A multiplicação de f(t) por e-t tem o efeito de substituir s por s+ . Esta relação é útil para se determinar a transformada de Laplace de funções do tipo e-t sent e e-t cost como mostrado a seguir Considere agora e-t sent 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 9: Mudança de escala de tempo As vezes numa análise de sistemas físicos ou análise dinâmica muda-se a escala de tempo ou normaliza-se uma dada função do tempo. O resultado normalizado é importante porque pode ser aplicado a diferentes sistemas desde que tenham modelos matemáticos similares. Considere a mudança de escala no tempo dada por Então f(t) pode ser escrito em termos da nova escala de tempo de modo que 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Teorema 9: Mudança de escala de tempo (Cont.) Considere o exemplo Portanto Este resultado pode ser verificado fazendo-se a transformada de e-0.2t 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

2.4. TRANSFORMAÇÃO INVERSA DE LAPLACE O processo de passar de uma expressão com variáveis complexas para o domínio do tempo é chamada transformação inversa e é denotada por L-1. Matematicamente L-1[F(s)] = f(t) para t > 0 Matematicamente f(t) é determinada a partir de F(s) pela expressão Onde c é a abscissa de convergência, real, escolhida com valor real maior do que as partes reais de todos os pontos singulares de F(s). A integração da equação acima é complicada. Se a F(s) estiver disponível numa tabela de transformadas é facil determinar f(t). Caso contrário tem-se que usar métodos de expansão para achar f(t) 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Método de expansão emfrações parciais para determianar transformada inversa de Laplace. Separando a F(s) em componentes Se as Fi(s) são conhecidas então onde as fi são transformadas inversas das Fi(s). Para problemas em controle F(s) é frequentemente representada na forma: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Considerações sobre os polinômioas A(s) e B(s) O grau de B(s) não é maior do que o grau de A(s) . E necessário conhecer de antemão as raízes de A(s) para se aplicar o método (o método não é aplicado enquanto o denominador não for fatorado). A vantagem do método é que as Fi(s) são funções muito simples de s. Considere F(s) escrito na forma fatorada: Onde os pi zi são grandezas reais ou complexas. É importante que a maior potênca de s em A(s) seja maior do que a maior potência de s em B(s). Caso o grau de s em A(s) não satisfaça a condição acima deve-se dividir os polinômios. 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Expansões em frações parciais quando F(s) tem apenas pólos distintos Se os polos são distintos F(s) pode sempre ser expandida em soma simples de frações parciais Onde B(s) e A(s) são polinômios em s, ak são constantes chamadas resíduo no pólo s = -pk. O valor de ak pode ser encotrado multiplicando-se ambos os lados desta equação por (s+pk) e fazendo s = -pk.: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Expansões em frações parciais quando F(s) tem apenas pólos distintos (Cont.) Temos que Como 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exemplo: Determinar a transformada inversa de Expandindo em franções parciais: Usando a fórmula 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exemplo (Cont) Vimos que 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exemplo 2 : Achar a transformada inversa de Laplace de Portanto 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Note que o o último termo à direita se refere ao exemplo anterior Então Cuja solução é Portanto 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Frações parciais quando F(s) envolve polos complexos conjugados Determinação de 1 e 2 multiplicar por (s+p1) (s+p2) e fazer s = -p1: fornecendo 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exemplo: Encontrar a transformada inversa de Laplace de Expandindo F(s) Note que Multiplicando ambos os lados por (s2+s+1) e substituindo em ambos os lados da F(s) expandida obtem-se 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

ou Equacionando as partes reais e imaginárias tem-se e 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Para determinar a multiplica-se ambos os lados da equação por s e faz-se s=0 Seja s2+s+1 na forma Então pode-se escrever Nesta forma pode-se usar a tabela de conversão para obter a inversa da transformada de Laplace (13 e 14, Ogata): 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Frações parciais quando a F(s) envolve polos múltiplos Seja onde A(s)=0 possui p pólos commultiplicidade r A(s), neste caso, pode ser escrito como: A expansão em frações parciais de F(s) é: onde br, br-1, …, b1 são dados por 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Estas relações para os bs podem ser obtidas da seguinte forma: multiplica-se ambos os lados da equação por (s+p1)r e faz-se s = -p1 obtendo-se Se multiplicarmos ambos os lados da F(s) por (s+p1)r derivarmos em relação a s teremos O primeiro termo do lado direito desaparece. O segundo termo se torna br-1. Quando se faz s-p1os outros termos se tornam nulos, de modo que Fazendo-se assim sucessivamente, obtem-se as equações para br-j 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

A transformada inversa de Laplace de é dada por As constantes ar+1, ar+2, …, an são determinadas a partir de A transformada inversa de Laplace de F(s) é então obtida como segue: para t0 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exemplo: Achar a transformada inversa da F(s): Expandindo em frações parciais obtem-se: Temos então t  0 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

2.5. Solução de EDO lineares pelo método da transformada de Laplace O método da transformada de Laplace fornece a solução completa da EDO linear, ou seja as soluções, num só processo, da homogênea mais a particular, incluindo as constantes de integração associadas às ainda as condições iniciais. Se as condições iniciais são nulas então a transformada de Laplace da EDO é obtida substituindo-se a derivada primeira por s, a derivada segunda por s2, e assim por diante até a n-ésima derivada, substituída por sn. Na solução de EDO pelo método de Laplace seguimos os seguinte passos: fazemos a transformada de Laplace para cada termo da ED, convertendo a ED numa equação algébrica em s. A solução da ED no tempo é obtida pela transformada inversa de Laplace da variável dependente 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exemplo: Seja a ED de um sistema massa-mola, incluindo uma excitação externa (entrada), ou seja um termo forçante dado por f(t): A transformada de Laplace de cada termo temos Portanto: de onde 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

A solução x(t) pode ser obtida agora pela transformada inversa de Laplace: Consideremos f(t) a excitação ou entrada, como uma função degrau unitário, então F(s)= 1/s . Portanto Temos então onde 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

Exercícios 1. Ache os polos da seguinte F(s) Solução: Os pólos estão localizados em e-s=1. Note que s = (+j) Portanto os pólos estão localizados em s =  j2n 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

2. A derivada da função impulso unitário (t) é chamada função doublet unitária. A integral de (t) é chamada função impulso unitário. Matematicamente a função doublet unitária pode ser dada na foma Obter a transformada de Laplace de u2(t). Solução: A transformada de Laplace de u2(t) é dada por 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

3. Determine a transformada de Laplace de Obter também a transforma inversa de Laplace uma vez encontrda X(s) Solução: Substituindo as condições iniciais: Substituindo em X(s) Note que Nesa forma, consultando tabela temos: 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

4. Considere uma função periódica fp(t) com período T. Seja f(t) uma função tal que f(t) = fp(t) no intervalo 0 < t <T. Então fp(t) pode ser expressa como: Determine a transformada de Laplace de fp(t). Solução: Seja transformada de Laplace L[fp(t)] = Fp(s). Lembrando que a transformada de Laplace de f(t) é L[f(t)] = F(s) temos: Ou seja a transformada de Laplace de fp(t) é obtida pela multiplicação d F(s) por (1-e-sT)-1 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

4. Considere o sistema mecânico mostra na figura que se segue. Suponha que o sistema é acionado por uma impulso unitário. Determine a oscilaçõ resultante. Suponha que o sistema está inicialmente em repouso. x A ED que representa o sistema é dada por Impulso (t) k m Onde (t) é a entrada impulsiva (excitação impulsiva). Note que a transformada de Laplace do impulso é L[(t) ]=1. Portanto 9/17/2018 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

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