Sistemas de Controle III N8SC3

Apresentação em tema: "Sistemas de Controle III N8SC3"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Controle III N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa 6.a Aula: Matriz de Transição de Estado

2 Matriz de Transição de Estado
Consideremos a equação vetorial de estado (1) e de saída (2) no dominio da frequência: (1) (2) No domínio do tempo, a equação de estado é uma equação diferencial vetorial linear, que pode ser resolvida analiticamente por integração ou numericamente com auxílio de um programa de computador. Já no domínio da frequência, a equação de estado torna-se uma equação vetorial algébrica no campo complexo, cuja solução (determinação de X(s)) depende essencialmente da inversão de uma matriz simbólica.

3 Matriz de Transição de Estado
De fato, a equação de estados (1 ), previamente apresentada, pode ser reescrita: (3) Onde I é a matriz identidade de n linhas por n colunas, sendo n a ordem do sistema:

4 Matriz de Transição de Estado
Assim sendo, a matriz X(s) pode ser posta em evidência à direita, no primeiro membro: (4) O determinante da matriz é um polinômio de grau n em s, denominado polinômio característico da matriz A do sistema ou, simplesmente, polinômio característico do sistema. (5)

5 Matriz de Transição de Estado
A equação que se obtem igualando a zero o determinante de denomina-se equação caracteristica do sistema ou da matriz A. (6) As raizes s1, s2, …sn da equação característica são os autovalores da matriz A. Os autovalores da matriz A são também os polos do sistema.

6 Autovalores de uma Matriz A (n x n)
Os autovalores de uma Matriz (n x n) são as raízes da Equação característica: (7) Onde I é a matriz (n x n) identidade de A. Os autovalores são as vezes chamados de raízes características .

7 Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
Determinante de uma matriz A de 1ª ordem: Dada uma matriz quadrada A de 1ª ordem A = [a11], seu determinante será o número a11. Ou seja: det A = a11 (8) Determinante de uma matriz A de 2ª ordem. Dada uma matriz quadrada A de 2ª ordem, seu determinante será obtido fazendo a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Ou seja: (9)

8 Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
Determinante de uma matriz A de 3ª ordem. Para calcular o determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 utilizamos o método de Sarrus. Observe como se dá esse processo: Considere a matriz quadrada de 3ª ordem a seguir:

9 Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
O método de Sarrus consiste em: 1º: Repetir as duas primeiras colunas da matriz ao lado da última coluna. 2º: Somar o produto dos elementos da diagonal principal com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à principal.

10 Cálculo do determinante de uma matriz quadrada
3º: Somar o produto dos elementos da diagonal secundária com o produto dos elementos das duas diagonais paralelas à secundária: 4º: O determinante será a diferença entre os resultados obtidos nos passos 2 e 3, ou seja: (10)

11 Cálculo do determinante de uma matriz quadrada

12 Autovalores de uma Matriz A (n x n)
Exemplo 1: Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de A. Resolvendo-se a equação característica :

13 Autovalores de uma Matriz A (nxn)

14 Autovalores de uma Matriz A (nxn)
Exemplo 2: Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de A. Resolvendo-se a equação característica :

15 Autovalores de uma Matriz A (nxn)

16 Autovalores de uma Matriz A (nxn) Autovalores de uma Matriz A (nxn)
Exemplo 3: Considere, por exemplo, a seguinte matriz A. Determine os autovalores de A. Resolvendo-se a equação característica :

17 Autovalores de uma Matriz A (n x n)

18 Exemplo 4: Determine o polinômio característico do sistema cuja equação de estado é: Determine também os autovalores da matriz do sistema.

19 A matriz (A) do sistema é:
Solucao: A matriz (A) do sistema é: Portanto: A equação característica será: Os autovalores da matriz A (ou polos do sistema) são as raízes dessa equação característica: e

20 Matriz de Transição de Estado
Para isolar a variável X(s) na equação: Deve-se pre-multiplicar ambos os membros da expressão pela inversa da matriz , que resulta em: (11) Essa é a solução completa da equação de estado no domínio da frequência. Note que ela apresenta dois componentes: uma primeira parcela que só depende do estado inicial x0 e outra que é função apenas do vetor de entrada X(s). Então, se U(t) for nulo, teremos: (12)

21 Matriz de Transição de Estado
Vemos que, no caso estudado, a matriz aplicada ao estado inicial x0 resulta no estado atual X(s). Essa é a razão pela qual a matriz é denominada matriz de transição de estado. Essa primeira parcela da solução completa da equação de estado denomina-se solução de entrada zero (pois é obtida com o sinal de entrada u(t)=0).

22 Matriz de Transição de Estado
A segunda parcela da solução complete da equação de estado denomina-se solução de estado zero (pois é obtida da condição de estado inicial nula: x(0)=x0=0). A matriz de transição de estado é comumente representada pela seguinte notação: (13) Com essa notação, a solução completa da equação de estado fica sendo: (14)

23 Matriz de Transição de Estado
A solução dessa equação é, conforme vimos: Levando esse valor de X(s) na equação de saída, resulta: (Equação de saída) Substituindo-se pelo valor de X(s): (15) Ou: (16)

24 Matriz de Transição de Estado
Essa é a resposta completa do sistema à excitação U(s) e ao estado inicial x0: (17) Como acontece com a solução completa da equação de estado, a resposta completa tambem apresenta duas parcelas distintas: Resposta a entrada zero, que é aquela que não depende de U(s) (tambem denominada resposta livre). Resposta ao estado zero, que é aquela que não depende do estado inicial x0.

25 Matriz de Transição de Estado
Resposta a entrada zero: (18) Resposta ao estado zero: (19) Resposta complete do sistema: (20) Ou seja: (21)

26 Matriz de Transição de Estado
Na expressão da resposta de estado zero, pode-se definir a matriz transferência (de dimensões q x p): (22) Que permite escrever: (23) A matriz G(s) assim definida denomina-se matriz de transferência (ou matriz das funções de transferência) do sistema. No caso dos sistemas escalares, isto é, com uma só variável escalar de entrada e outra de saída, a matriz de transferência se reduz à função de transferência do sistema.

27 Exercício: O comportamento dinâmico de um sistema é descrito pela equação de estado: a) Determine o vetor de estado x(t) para o caso em x01= 3 e x02= -1 e as variáveis de entrada são nulas (u1(t)=0 e u2(t)= 0 ). b) Determine o vetor de estado x(t) para o caso em que x0= 0 e u1(t)=0 e u2(t)=h(t)=degrau unitário. c) Sendo a saída y(t)= x1(t). Determine a matriz de transferência G(s).

28 (u1(t)=0 e u2(t)= 0 ) Solucao: a) Neste caso, o estado inicial ‘e:
O vetor de entrada ‘e nulo (u1(t)=0 e u2(t)= 0 ) A solucao da equacao de estado se reduz a, pois, o comportamento livre, a saber:

29 Invertendo a matriz obtemos:
Solucao: Calculemos : Invertendo a matriz obtemos:

30 Solucao: Logo: No dominio do tempo (aplicando-se a transformada inversa de Laplace), tem-se:

31 Solucao: Os itens b e c devem ser entregues na proxima lista de exercicios.