Aulas 17 e 18 Limites, limites laterais, limites infinitos, assíntota vertical e propriedades do limite.

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1 Aulas 17 e 18 Limites, limites laterais, limites infinitos, assíntota vertical e propriedades do limite

2 Paradoxo de Zeno Numa competição, o corredor mais rápido nunca poderá superar o corredor mais lento à sua frente, posto que aquele que persegue quem está à frente, precisa primeiro alcançar o ponto de onde o perseguido saiu. Desta forma, o mais lento sempre estará estará à frente do mais veloz. Aristóteles, Phisica – VI:9 Zeno: 495 a.C. – 430 a.C.

3 Aquiles e a tartaruga Aquiles é 10 vezes mais rápido que a tartaruga No instante inicial, a tartaruga está 100 metros à frente de Aquiles 20 40 60 80 100 120 140

4 Aquiles e a tartaruga Aquiles começa a correr e, após alguns Instantes, percorre os 100 metros que o separavam da tartaruga Enquanto Aquiles percorre 100 metros, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, percorre apenas 10 metros 98 100 102 104 106 108 110 120 140

5 Aquiles e a tartaruga Aquiles continua perseguindo a tartaruga e percorre os 10 metros que os separavam Enquanto Aquiles percorre 10 metros, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, percorre apenas 1 metro 109,8 110 110,2 110,4 110,6 110,8 111 111,2

6 Aquiles e a tartaruga Aquiles continua perseguindo a
Tartaruga, percorrendo a distância que os separa Enquanto Aquiles percorre a distância que os separa, a tartaruga, 10 vezes mais lenta, avança 1/10 dessa distância posição anterior + a distância que separava Aquiles da tartaruga posição anterior + 1/10 da distância que separava Aquiles da tartaruga

7 Aquiles e a tartaruga Enquanto Aquiles percorre a distância que o separa da tartaruga, a tartaruga, muito mais lenta, avança um pouco. Assim, mesmo que por uma pequena porção de espaço, a tartaruga estará sempre à frente de Aquiles.

8 Aquiles e a tartaruga Logo, por mais que Aquiles tente alcançar a tartaruga, percorrendo a distância que os separa - posto que durante o tempo que Aquiles leva para avançar esta distância, a tartaruga também se move . Aquiles NUNCA alcançará a tartaruga !

9 Aquiles e a tartaruga Como sabemos que Aquiles acabará alcançando a tartaruga, há algo que está nos confundindo. O que é?

10 Aquiles e a tartaruga A solução está em calcular o comprimento total do caminho percorrido pela tartaruga. Quem sabe dizer qual é este comprimento? Calcule, em seguida, o tempo necessário para percorrê-lo, sabendo que a velocidade da tartaruga é constante. Quem sabe calcular o referido tempo? O que isso significa?

11 Comprimento do caminho

12 Paradoxo de Zeno O paradoxo de Zeno é um dos primeiros exemplos históricos sobre o problema dos limites. Nesse curso aprenderemos a entender o que o conceito de limite significa. Vamos começar com trêis exemplos.

13 Exemplo 1 B n A

14 Exemplo 1 B n A

15 Exemplo 1 B n A

16 Exemplo 1 B n A É possível mostrar que

17 Exemplo 1 B n A

18 Exemplo 1 Podemos assim dizer que o “limite”
da soma das áreas dos retângulos, quando o comprimento da base de cada retângulo “tende” a zero, é igual à área do trapézio. Escreve-se

19 Exemplo 1 Podemos também dizer, equivalentemente, que o “limite” da soma das áreas dos retângulos, quando o número dos retângulos “tende” a infinito, é também igual à área do trapézio. Escreve-se

20 Gráfico para b

21 Gráfico para n

22 Limites Uma esfera, como uma bola, pode ter sua forma aproximada por uma coleção de pentágonos e hexágonos justapostos

23 Exemplo 2 Uma circunferência pode ser aproximada por uma seqüência de polígonos regulares inscritos na circunferência. Quanto maior o número de lados, mais “próximo” da circunferência o polígono estará. Assim, por exemplo, o octógono (polígono de 8 lados), desenhado em verde ao lado, está “mais próximo” da circunferência do que está o quadrado, desenhado em azul.

24 Exemplo 2 Poderíamos dizer, em linguagem informal, que
“o limite dos polígonos regulares de n lados, inscritos na circunferência, é igual à própria circunferência”, quando o número de lados n for muito grande ou “tender a infinito”. Isto é

25 Exemplo 2 Assim, se soubermos calcular o perímetros de tais polígonos, poderemos ter uma boa aproximação do comprimento da circunferência. Vamos começar com o cálculo do perímetro do quadrado inscrito na circunferência.

26 Exemplo 2 Considere o triângulo cujos vértices são:
O, o centro do círculo e P, Q, dois vértices consecutivos do quadrado. Os lados deste triângulo são dois raios da circunferência e um lado do quadrado.

27 Exemplo 2 Note que o ângulo do triângulo formado pelos raios da circunferência mede

28 Exemplo 2 Trace, agora, o segmento
que une o centro da circunferência ao ponto médio do lado do triângulo dado pelo lado do quadrado. Obtém-se assim um triângulo menor ,

29 Exemplo 2 O triângulo tem o ângulo

30 Exemplo 2 Assim o perímetro p(4) é dado por Em geral temos

31 Exemplo 2 (R = 4)

32 Exemplo 3 Suponha uma placa de alumínio quadrada, que quando aquecida, expande uniformemente de acordo com a animação a seguir .

33 Aquecedor

34 Exemplo 3 Se é o comprimento do lado do quadrado, logo a área da placa é calculada por .

35 Exemplo 3 Evidentemente , quando mais o valor de se aproxima de
mais o valor da área se aproxima a , isto é,

36 Exemplo 3 Expressamos isto dizendo que quando se aproxima de , se aproxima de como um limite. Simbolicamente escrevemos: Onde a notação“ ” indica tende a e “ ” significa o limite de.

37 ??Questionamento?? Será que, à medida que se aproxima de um número real , então fica cada vez mais próxima de algum número real ?

38 ??Questionamento?? Se a resposta for afirmativa, dizemos que
limite de ,quando tende para , é igual a .

39 Limite de Função Se é uma função e é um ponto de acumulação do domínio da aplicação, entende-se a notação como o limite de quando tende é , isto é, se aproxima do número quando tende a , isto é,

40 Limite de Funções

41 Limite de Funções

42 Limite de Funções

43 Investigação Qual o possível resultado para o seguinte limite , sendo a função constante e um ponto qualquer do domínio.

44 Solução Em primeiro lugar, vamos visualizar a
a representação geométrica do gráfico da função constante , supondo que o valor de seja positivo.

45 Representação Geométrica

46 Conclusão Observe que para todo valor de próximo de , teremos .
Sendo assim podemos concluir que

47 Formalizando Se é uma função constante definida por , então para todo .

48 Investigação Qual o possível resultado para o seguinte limite , sendo a função identidade e um ponto qualquer do seu domínio.

49 Solução Em primeiro lugar, vamos a visualizar a
representação geométrica do gráfico da função identidade.

50 Idéia da Representação Geométrica

51 Formalizando Se é a função identidade , então para todo .

52 Atividade Considere tal que . Determine .
No processo investigativo vamos construir uma tabela com valores menores e maiores que

53 Tabela

54 Representação Geométrica

55 Formalizando Se definida por é a função polinomial do 1º grau, então para todo sendo e .

56 Representação Geométrica

57 Limite da Função Polinomial
Se definida por é a função polinomial de grau n, então para todo sendo para todo

58 Exemplos

59 Limite no Infinito

60 Limite no Infinito

61 Limite Infinito

62 Limite Infinito

63 Limite Infinito

64 Limite Infinito

65 Formalizando Se definida por , então:

66 Formalizando

67 Atividade Determine caso exista os limites abaixo:

68 Atividade Determine caso exista os limites abaixo: