19/11/2009. Trigonometria 2 O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da conjunção de três palavras: Tri – três Gonos – ângulo Metrein.

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1 19/11/2009

2 Trigonometria 2 O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da conjunção de três palavras: Tri – três Gonos – ângulo Metrein - medir Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.

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4 4 Algumas aplicações da Trigonometria

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7 Triângulo retângulo 7 Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°. cateto hipotenusa cateto hipotenusa A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo; Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°; Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°; Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.

8 Teorema de Pitágoras 8 Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. c = 4 b = 3 a = 5

9 Aplicação do Teorema de Pitágoras 9

10 Teorema de Tales 10 Um feixe de retas paralelas, intersectado por duas transversais, determina, sobre essas transversais segmentos proporcionais. Exemplo de aplicação:

11 11 Solução:

12 Relações Trigonométricas num triângulo retângulo 12 Seno

13 13 Exemplo de aplicação:

14 14 Cosseno

15 15 Exemplo de aplicação:

16 16 Tangente

17 Exemplo de aplicação: 17

18 Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º 18 2

19 Seno, cosseno e tangente de 45° 19

20 Construção da Tabela Trigonométrica 20

21 Relações entre seno, cosseno e tangente 21

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23 23 Observe a situação a seguir: Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio necessário para a instalação? Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com senos e cossenos de ângulos obtusos ( maiores que 90°).

24 Teorema ou Lei dos Senos 24 A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triângulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar sen 90° = 1.

25 Aplicação da Lei dos Senos 25 A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.

26 Teorema ou Lei dos Cossenos 26 A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de dois lados e o ângulo formado por eles.

27 27 Exemplo:

28 Área de um triângulo 28

29 29 Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a área pode ser calculada de duas maneiras diferentes: 1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles.

30 30 2ª maneira: Fórmula de Heron

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32 32 ARCOS E ÂNGULOS

33 33 ÂNGULO CENTRAL Todo ângulo central possui um arco correspondente, e reciprocamente, a todo arco corresponde um ângulo central. A medida de um arco é entendida como a medida do seu ângulo central. Para medir um arco, usamos o grau ou o radiano. O comprimento de um arco é a sua medida linear e é expresso em centímetros, metros... IMPORTANTE Os arcos AB e A’B’ têm a mesma “abertura”, ou seja, a mesma medida (mesmo ângulo), mas possuem comprimentos diferentes.

34 34 MEDIDA DE ARCOS: O GRAU O grau é definido, dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais. Cada uma dessas partes, corresponde a um arco de um grau (1°). Transferidor: usado para medir ângulos.

35 35 MEDIDA DE ARCOS: O RADIANO Observe o arco AB da circunferência, em que o comprimento é igual a medida do raio: Dizemos que, a medida do arco AB ou do ângulo central BÔA, é igual a 1 radiano (1 rad). Assim, dizemos que um arco AB que possui comprimento igual ao raio da circunferência, mede 1 radiano.

36 36 Qual é o comprimento de uma circunferência? Qual é a medida em radianos de um arco de 360°?

37 37 Quantos graus mede um arco de 1 radiano? Portanto, temos que:

38 38 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

39 40 CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA: Arcos Simétricos

40 41 SENO, COSSENO E TANGENTE NA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA Sinal SENO: = 30° = 45° = 60° 90° 120° = 135° = 150° = 210° = 225° = 240° = 270° = 300° = 315° = 330° Seno

41 42 Sinal COSSENO: = 30° = 45° = 60° 90° 120° = 135° = 150° = 210° = 225° = 240° = 270° = 300° = 315° = 330° Cosseno

42 43 Sinal TANGENTE: = 30° = 45° = 60° 90° 120° = 135° = 150° = 210° = 225° = 240° = 270° = 300° = 315° = 330° Tangente

43 44 = 30° = 45° = 60° 90° 120° = 135° = 150° = 210° = 225° = 240° = 270° = 300° = 315° = 330° Tangente Seno Cosseno

44 45 DEMAIS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do seno Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da tangente.