Utilidade Tradução: Sergio Da Silva

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Preferência: Revisão p f ~
x y: x é estritamente preferida a y. x ~ y: x e y são igualmente preferidas. x y: x é pelo menos tão boa quanto y. p ~ f

Preferência: Revisão f ~ f ~ Completude:
para duas cestas quaisquer x e y sempre ocorre x y ou y x. ~ f ~ f

Preferência: Revisão f ~ Reflexividade:
qualquer cesta x é pelo menos tão boa quanto ela mesma: x x. ~ f

Preferência: Revisão f f f ~ ~ ~ Transitividade:
se x for pelo menos tão boa quanto y e y for pelo menos tão boa quanto z então x será pelo menos tão boa quanto z: x y e y z x z. ~ f ~ f ~ f

Função Utilidade Uma relação de preferência que é completa, reflexiva, transitiva e contínua pode ser representada por uma função utilidade contínua. Continuidade significa que pequenas alterações em uma cesta de consumo provocam apenas pequenas variações no nível de preferência.

Função Utilidade Uma função utilidade U(x) representa uma relação de preferência se e somente se x’ x” U(x’) > U(x”) x’ x” U(x’) < U(x”) x’ ~ x” U(x’) = U(x”). ~ f p p

Função Utilidade Utilidade é um conceito ordinal: refere-se ao ordenamento. Exemplo: se U(x) = 6 e U(y) = 2 então a cesta x é estritamente preferida à cesta y. Mas x não é três vezes mais preferida em relação a y.

Função Utilidade & Curva de Indiferença
Considere as cestas (4, 1), (2, 3) e (2, 2). Suponha que (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). Atribua a estas cestas quaisquer números que preservem o ordenamento de preferência, por exemplo, U(2, 3) = 6 > U(4, 1) = U(2, 2) = 4. Chame estes números de níveis de utilidade. p

Uma curva de indiferença contém cestas igualmente preferidas. Preferência igual  mesmo nível de utilidade. Portanto, todas as cestas de uma curva de indiferença possuem o mesmo nível de utilidade.

Então, as cestas (4, 1) e (2, 2) estão na curva de indiferença com o nível de utilidade U º 4 Mas a cesta (2, 3) está na curva de indiferença com o nível de utilidade U º 6. O diagrama da curva de indiferença que contém essa informação sobre as preferências é dado como segue.

x2 (2, 3) (2, 2) ~ (4, 1) p U º 6 U º 4 x1

Outra maneira de visualizar a mesma informação é plotar o nível de utilidade no eixo vertical.

Gráfico em 3D do consumo e níveis de utilidade para as três cestas Utility U(2, 3) = 6 U(2, 2) = 4 U(4, 1) = 4 x2 x1

Esta visualização em 3D das preferências pode ficar mais informativa adicionando-se as duas curvas de indiferença a ela.

Utility U º 6 U º 4 x2 Higher indifference curves contain more preferred bundles. x1

Comparando mais cestas permite-nos criar uma coleção maior de curvas de indiferença e fornecer uma melhor descrição das preferências do consumidor.

x2 U º 6 U º 4 U º 2 x1

Como antes, isto pode ser visualizado em 3D plotando cada curva de indiferença na altura de seu índice de utilidade.

Utility U º 6 U º 5 U º 4 x2 U º 3 U º 2 U º 1 x1

Comparando todas as possíveis cestas de consumo temos a coleção completa das curvas de indiferença do consumidor, cada uma com seu nível de utilidade. Esta coleção completa de curvas de indiferença representa completamente as preferências do consumidor.

x2 x1

x1

A coleção de todas as curvas de indiferença para uma dada relação de preferência é um mapa de indiferença. Um mapa de indiferença é equivalente a uma função utilidade.

Função Utilidade Não existe uma única representação através da função utilidade de uma relação de preferência. Suponha que U(x1, x2) = x1x2 represente uma relação de preferência. De novo, considere as cestas (4, 1), (2, 3) e (2, 2).

Função Utilidade U(x1, x2) = x1x2, e então U(2, 3) = 6 > U(4, 1) = U(2, 2) = 4; ou seja, (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). p

Função Utilidade p U(x1, x2) = x1x2 (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2).
(2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). Defina V = U2. p

Função Utilidade p p U(x1, x2) = x1x2 (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2).
(2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). Defina V = U2. Então V(x1, x2) = x12x22 e V(2, 3) = 36 > V(4, 1) = V(2, 2) = 16 e, de novo, (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). V preserva a mesma ordem de U e assim representa as mesmas preferências. p p

Função Utilidade p U(x1, x2) = x1x2 (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2).
(2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). Defina W = 2U + 10. p

Função Utilidade p p U(x1, x2) = x1x2 (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2).
(2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). Defina W = 2U + 10. Então W(x1, x2) = 2x1x e assim W(2, 3) = 22 > W(4, 1) = W(2, 2) = 18. Novamente, (2, 3) (4, 1) ~ (2, 2). W preserva o mesmo ordenamento de U e V e assim representa as mesmas preferências. p p

Função Utilidade f ~ f ~ Se
U for uma função utilidade que representa a relação de preferência e f for uma função estritamente crescente, então V = f(U) será também uma função utilidade que representa ~ f ~ f

Bens, Males e Neutros Um bem é uma unidade de mercadoria que aumenta a utilidade (cesta mais preferida). Um mal é uma unidade de mercadoria que reduz a utilidade (cesta menos preferida). Um neutro é uma unidade de mercadoria que não altera a utilidade (cesta igualmente preferida).

Bens, Males e Neutros Utilidade Função utilidade Água x’ Unidades de
água são bens Unidades de água são males Água x’ Por volta de x’ unidades, um pouco mais de água é um neutro.

Outras Funções Utilidade e Suas Curvas de Indiferença
Em vez de U(x1, x2) = x1x2 considere V(x1, x2) = x1 + x2. Como são as curvas de indiferença desta função utilidade de “substitutos perfeitos”?

Curva de Indiferença de Substitutos Perfeitos
x2 x1 + x2 = 5 13 x1 + x2 = 9 9 x1 + x2 = 13 5 V(x1, x2) = x1 + x2. 5 9 13 x1

Curva de Indiferença de Substitutos Perfeitos
x2 x1 + x2 = 5 13 x1 + x2 = 9 9 x1 + x2 = 13 5 V(x1, x2) = x1 + x2. 5 9 13 x1 Todas são lineares e paralelas.

Em vez de U(x1, x2) = x1x2 ou V(x1, x2) = x1 + x2, considere W(x1, x2) = min{x1, x2}. Como são as curvas de indiferença desta função utilidade de “complementares perfeitos”?

Curva de Indiferença de Complementares Perfeitos
x2 45o W(x1, x2) = min{x1, x2} 8 min{x1, x2} = 8 5 min{x1, x2} = 5 3 min{x1, x2} = 3 3 5 8 x1

Curva de Indiferença de Complementares Perfeitos
x2 45o W(x1, x2) = min{x1, x2} 8 min{x1, x2} = 8 5 min{x1, x2} = 5 3 min{x1, x2} = 3 3 5 8 x1 Todas possuem ângulos retos com vértices sobre o raio que sai da origem.

Uma função utilidade da forma U(x1, x2) = f(x1) + x2 é linear apenas em x2 e é chamada de quase-linear. Por exemplo, U(x1, x2) = 2x11/2 + x2.

Curvas de Indiferença Quase-Lineares
x2 Cada curva é uma cópia verticalmente deslocada das outras. x1

Qualquer função utilidade da forma U(x1, x2) = x1a x2b com a > 0 e b > 0 é uma função utilidade Cobb-Douglas. Exemplo: U(x1, x2) = x11/2 x21/2 (a = b = 1/2) V(x1, x2) = x1 x (a = 1, b = 3)

Curva de Indiferença Cobb-Douglas
x2 Todas as curvas são hiperbólicas e assintóticas em relação aos eixos, sem tocá-los. x1

Utilidade Marginal Marginal significa “incremental”.
A utilidade marginal da mercadoria i é a taxa de variação da utilidade total quando a quantidade consumida da mercadoria i se altera, ou seja,

Utilidade Marginal Exemplo: se U(x1, x2) = x11/2 x22 então

Utilidade Marginal & Taxa Marginal de Substituição
A equação geral de uma curva de indiferença é U(x1, x2) º k, uma constante. Diferenciando totalmente esta identidade:

ou Esta é a TMS.

Exemplo: U(x1, x2) = x1x2. Então então

U(x1, x2) = x1x2; x2 8 TMS(1, 8) = - 8/1 = TMS(6, 6) = - 6/6 = -1. 6 U = 36 U = 8 x1 1 6

Taxa Marginal de Substituição da Função Utilidade Quase-Linear
Para a função utilidade quase-linear U(x1, x2) = f(x1) + x2. e, assim,

TMS = - f (x1) não depende de x2 e então a inclinação das curvas de indiferença da função utilidade quase-linear é constante ao longo de qualquer linha para a qual x1 seja constante. Com que se parece o mapa de indiferença da função utilidade quase-linear?

Cada curva é uma cópia verticalmente deslocada das outras TMS = - f(x1’) TMS = -f(x1”) TMS é constante ao longo de qualquer linha para a qual x1 seja constante. x1’ x1” x1

Transformações Monotônicas & Taxa Marginal de Substituição
Aplicando uma transformação monotônica a uma função utilidade que representa uma relação de preferência simplesmente criamos outra função utilidade que representa a mesma relação de preferência. O que acontece com as taxas marginais de substituição quando aplicamos uma transformação monotônica?

Para U(x1, x2) = x1x2 a TMS = - x2/x1. Criando V = U2, ou seja, V(x1, x2) = x12x22, qual é a TMS para V? que é a mesma TMS de U.

Em geral, se V = f(U) onde f é uma função estritamente crescente, então Portanto, a TMS não se altera diante de uma transformação monotônica positiva.

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