Circuitos de Segunda Ordem

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1 Circuitos de Segunda Ordem
Modelagem de Circuitos RLC série e Paralelo e Solução em Regime DC Raffael Costa de Figueiredo Pinto

2 Fundamentals of Electric Circuits Chapter 8
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3 Circuitos de Segunda Ordem
Neste capítulo, examinaremos circuitos contendo os dois tipos de elementos armazenadores, que são conhecidos de segunda ordem. Os mais comuns são os circuitos RCL, onde estão presentes os três tipos de elementos passivos (Figuras (a) e (b)). Outros exemplos são circuitos RL e RC como indicado nas Figuras (c) e (d), ou seja, um circuito de segunda ordem pode ter dois elementos de armazenamento distintos ou do mesmo tipo desde que estes não possam ser representados por elemento equivalente. Como no capítulo anterior estudaremos os circuitos sem fontes (energia no elemento indutivo e capacitivo) e os circuitos com fontes independentes (fontes CC). Um circuito de segunda ordem é caracterizado por uma equação diferencial de segunda ordem. Ele é formado por resistores e o equivalentes de dois elementos de armazenamento.

4 Circuito RCL em Série sem Fonte
Considerando o circuito RCL em série abaixo, o circuito é excitado pela energia inicialmente armazenada no capacitor e indutor, representada pela tensão inicial V0 no capacitor e pela corrente inicial I0 no indutor. Portanto em t = 0, Aplicando a LKT no circuito, temos Para resolver uma equação diferencial de segunda ordem, são necessárias duas condições iniciais:

5 Ou seja A solução desse tipo de equação é algo da forma exponencial. Portanto, façamos Logo Cujas raízes são

6 Uma forma mais condensada de expressar as raízes é
As raízes s1 e s2 são chamadas frequências naturais, medidas em nepers por segundo (Np/s), pois estão associadas à resposta natural do circuito; 0 é conhecida como frequência ressonante ou estritamente como frequência natural não amortecida expressa em radianos por segundo (rad/s); e  é a frequência de neper ou fator de amortecimento expresso em nepers por segundo. Logo

7 Caso de Amortecimento Supercrítico ( > 0)
Das equações acima,  > 0 implica C > 4LR2. Quando isso acontece, ambas as raízes s1 e s2 são negativas e reais. A resposta é Essa função decai e se aproxima de zero à medida que t aumenta. A Figura ilustra uma resposta característica para o caso de amortecimento supercrítico.

8 Caso de Amortecimento Crítico ( = 0)
Quando  = 0, C > 4LR2. Quando isso acontece, ambas as raízes s1 e s2 são iguais e reais. A resposta é Isso não pode ser solução pois as duas condições iniciais não podem ser satisfeitas com uma única constante A3. Quando  = 0 = R/2L

9 Assim podemos escrever a equação
Como simplesmente Que é uma diferencial de primeira ordem com solução do tipo Assim

10 Integrando a última equação, temos
Como simplesmente A Figura ilustra uma resposta característica para o caso de amortecimento crítico.

11 Caso de Subamortecimento ( < 0)
Quando  < 0, C <4LR2. Quando isso acontece, as raízes s1 e s2 são escritas como Onde d é chamada de frequência de amortecimento. Tanto 0 como d são frequências naturais, porque ajudam a determinar a resposta natural. Enquanto 0 é chamada de frequência natural não amortecida, d é chamada frequência natural amortecida. A resposta natural é

12 Aplicando a fórmula de Euler
Temos E finalmente A Figura ilustra uma resposta característica para o caso de subamortecimento.