Álgebra Linear Autovalores e Autovetores

Álgebra Linear Autovalores e Autovetores
Prof. Paulo Salgado

Sumário Autovalores e Autovetores Polinômio característico

Autovalores e Autovetores
Dada uma transformação linear de um espaço vetorial nele mesmo, T:V→V, gostaríamos de saber que vetores seriam levados neles mesmos por essa transformação Isto é, dada T:V→V, quais os vetores vV tais que T(v) = v? v é chamado de vetor fixo Obviamente, a condição é válida para v igual ao vetor nulo (pela definição de transf. linear), logo, vamos desconsiderá-lo

Exemplo 1: Quais os vetores vV tais que T(v) = v? I:R2 → R2 (x, y) → (x, y) Neste caso, todo R2 é fixo uma vez que I(x, y) = (x, y) para todo (x, y)R2 Transformação Identidade 4

Exemplo 2: Quais os vetores vV tais que T(v) = v? rX:R2 → R2 (x, y) → (x, -y) Ou Podemos notar que todo vetor pertencente ao eixo x é mantido fixo pela transformação rx. De fato: Reflexão no Eixo-x w rX → x y x y 1 0 0 -1 → rX(w) x x 1 0 0 -1 = Ou seja rx(x, 0) = (x, 0) 5

Cont. Exemplo 2: Ainda mais, esses vetores são únicos com essa propriedade já que: Reflexão no Eixo-x x y x y x + 0y = x 0x – y = y 1 0 0 -1 =  x = x y = -y y = 0   6

Exemplo 3: N:R2 → R2 (x, y) → (0, 0) Nesse caso, o único vetor fixo é N(0, 0) = (0, 0) Transformada nula 7

Considere o seguinte problema: dada uma transformação linear de um espaço vetorial T:V→V, estamos interessados em saber quais vetores são levados em um múltiplo de si mesmos; isto é, procuramos um vetor vV e um escalar λR tal que: T(v) = λ.v Neste caso, T(v) será um vetor de mesma direção que v Na mesma reta suporte 8

Como v = 0 satisfaz a equação para todo λ, estamos interessados em v0 O escalar λ é chamado de autovalor ou valor característico de T O vetor v é chamado de autovetor ou vetor característico de T Chamaremos de Operador Linear à transformação T:V→V Transformação de um espaço vetorial nele mesmo 9

Definição: Seja T:V→V um operador linear. Se existirem vV, v0 e λR tais que Tv = λv, λ é um autovalor de T e v é um autovetor de T associado a λ Observe que λ pode ser zero enquanto v não pode ser o vetor nulo 10

Exemplo 1: Encontre o autovalor e autovetor da transformação. T:R2 → R2 v → 2v Neste caso, 2 é um autovalor e qualquer (x, y)(0, 0) é um autovetor associado ao autovalor 2 x y x y 2x 2y x y 2 0 0 2 → = = 2 11

Observe que T(v) é sempre um vetor de mesma direção que v. Então, se: α < 0, T inverte o sentido do vetor; |α| > 1, T dilata o vetor; |α| < 1, T contrai o vetor; α = 1, T é a identidade;

Exemplo 2: Reflexão no eixo x rx:R2 → R2 (x, y) → (x, -y) Os vetores da forma são tais que: Encontre um autovetor e o autovalor correspondente E para os vetores (x, 0) quem é o autovalor? x y x y 1 0 0 -1 → y y -y y Assim, todo vetor (0,y), y  0, é autovetor de rx com autovalor λ=-1 1 0 0 -1 = = -1 13

Cont. Exemplo 2: Reflexão no eixo x Como vimos antes, os vetores (x, 0) são fixos por essa transformação rx (x, 0) = 1.(x, 0) Ou seja, (x, 0) é um autovetor associado ao autovalor λ = 1, com x  0 Assim, existem dois autovalores para essa transformação com um autovetor associado a cada autovalor

Exemplo 3: Rotação de 90º em torno da origem rx:R2 → R2 (x, y) → (-y, x) Nenhum vetor diferente de zero é levado por T num múltiplo de si mesmo Logo, T não tem autovalores (consequentemente, também não tem autovetores) x y x y -y x 0 -1 1 0 → = 15

Exemplo 4: Seja A = Então e TA(x, y) = (2x + 2y, y) Para procurar os autovalores e autovetores de TA resolvemos a equação TA(v) = λv Ou seja.... 2 2 0 1 x y x y 2 2 0 1 2x + 2y y A = = 16

Cont. Exemplo 4: i) Se y0, de (2) temos λ = 1  2x + 2y = x  y = -½x  autovalor λ = 1 e autovetores do tipo (x, -½x), x0 ii) Se y = 0  x  0 (senão, o autovetor seria o vetor nulo). De (1), 2x + 0 = λx  λ = 2. Logo, o outro autovalor é 2 com autovetor associado (x, 0), x  0 Assim, para essa transformação T temos autovetores (x,-½x), x0, associados ao autovalor 1 e os autovetores (x, 0), x  0, associados ao autovalor 2 x y λx λy 2x + 2y y 2x + 2y = λx y = λy = λ = (1)  (2) 17

Teorema: Dada uma transformação T:V→V e um autovetor v associado ao autovalor λ, qualquer vetor w = v (  0) também é autovetor de T associado a λ Definição: O subespaço Vλ = {vV: T(v) = λv} é chamado de subespaço associado ao autovalor λ 18

Polinômio Característico
Exemplo: Seja Procuramos vetores vR3 e escalares λR, tais que A.v = λ.v (T(v) = λ.v) Observe que, se I for a matriz identidade de ordem 3, então a equação acima pode ser escrita na forma Av=(λI)v, ou ainda (A – λI)v = 0 Explicitamente..... 4 2 0 -1 1 0 0 1 2 A = 19

Cont. Exemplo: x y z 4 2 0 -1 1 0 0 1 2 λ 0 0 0 λ 0 0 0 λ — = x y z 4-λ 2 0 -1 1-λ 0 λ  = 20

Cont. Exemplo: Para solução do sistema, se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, a solução única será x = y = z = 0 que não nos interessa (vetor nulo) Como estamos procurando autovetores v0, para satisfazer a condição acima precisamos ter: 4-λ 2 0 -1 1-λ 0 λ det = 0 21

Cont. Exemplo:  (4 – λ).(1 – λ).(2 – λ) + 2.(2 – λ) = 0  -λ3 + 7λ2 - 16λ + 12 = 0  (λ – 2)2(λ - 3) = 0 Logo, λ = 2 e λ = 3 são soluções do polinômio característico de A e, portanto, os autovalores da matriz A são 2 e 3 Conhecendo os autovalores, podemos buscar os autovetores resolvendo a equação Av = λv para cada autovalor Polinômio Característico 22

Cont. Exemplo: λ = 2: Logo, os autovetores são do tipo (0, 0, z) para o autovalor λ = 2. Ou seja, pertencem ao subespaço [(0,0,1)] x y z x y z 4 2 0 -1 1 0 0 1 2 = 2 4x + 2y = 2x -x + y = 2y  x = y y + 2z = 2z  y = 0  x = 0 23

Cont. Exemplo: λ = 3: Logo, os autovetores são do tipo (-2y, y, y) para o autovalor λ = 3. Ou seja, pertencem ao subespaço [(-2,1,1)] x y z x y z 4 2 0 -1 1 0 0 1 2 = 3 4x + 2y = 3x -x + y = 3y  x = -2y y + 2z = 3z  y = z 24

De maneira geral, seja A uma matriz de ordem n, os autovalores de A são aqueles que satisfazem det(A – λI) = 0 P(λ) = det(A – λI) é um polinômio de grau n e é o polinômio característico da matriz A 25

Exemplo 1: Seja: -3-λ λ A =  det(A – λI) = det  (-3 – λ)(2 – λ) + 4 = λ2 + λ – 2 = P(λ)  P(λ) = 0  λ2 + λ – 2 = 0  (λ - 1)(λ + 2) = 0  λ = 1 ou λ = -2 26

Cont. Exemplo 1: Autovetores: i) Para λ = 1 x y x y = 1. -3x + 4y = x -x + 2y = y  x = y   v = (x, x), x  0 27

Cont. Exemplo 1: Autovetores: ii) Para λ = -2 x y x y = -2. -3x + 4y = -2x  x = -4y -x + 2y = -2y  x = -4y   v = (-4y, y), y  0 28

Exemplo 2: (Questão 8) Encontre a transf. linear T:R2 → R2, tal que T tenha autovalores -2 e 3 associados aos autovetores (3y, y) e (-2y, y) respectivamente. Solução: De maneira geral, temos: a b c d x y x y ax + by cx + dy x y =   = ax + by = x cx + dy = y x(a - ) + by = 0 cx + y(d - ) = 0   29

Cont. Exemplo 2: (Questão 8) i)  = -2 Mas, para  = -2, temos o autovetor (3y, y) ou seja x = 3y: x(a + 2) + by = 0 cx + y(d + 2) = 0 3y(a + 2) + by = 0 3cy + y(d + 2) = 0 3a + b = -6 3c + d = -2  (I) 30

Cont. Exemplo 2: (Questão 8) i)  = 3 Mas, para  = 3, temos o autovetor (-2y, y) ou seja x = -2y: x(a - 3) + by = 0 cx + y(d - 3) = 0 -2y(a - 3) + by = 0 -2cy + y(d - 3) = 0 -2a + b = -6 -2c + d = 3  (II) De (I) e (II): a = 0, b = -6, c = -1, d = 1 31

Cont. Exemplo 2: (Questão 8) Logo: a b c d 0 -6 -1 1 T = = 32

Exemplo 3: (Questão 4) Ache os autovalores e autovetores da transformação T:R3 → R3 tal que (x, y, z) → (x + y, x – y + 2z, 2x + y – z). Solução: x + y x – y +2z 2x + y - z x y z Use det(A – λI) = 0 =  x y z x y z =  33

Cont. Exemplo 3: (Questão 4) Solução: 1- 1 -1- 2  det = 0 (1 – )(-1 – )2 + 4 – 1.(-1 – ) – 2.(1 – )= 0 (1 – )(-1 – )  – 2 + 2= 0 (1 – )(-1 – )  = 0 (1 – )(1 + )2 + 3(1 + ) = 0 (1 + )[(1 – )(1 + ) + 3] = 0 34

Cont. Exemplo 3: (Questão 4) Solução: (1 + )[(1 – )(1 + ) + 3] = 0 (1 + )[1 – 2 + 3] = 0 (1 + )(4 – 2) = 0 (1 + )(2 – )(2 + ) = 0 Autovalores: 1 = -1, 2 = 2, 3 = -2 35

Cont. Exemplo 3: (Questão 4) Solução: Autovetores (de forma geral): x + y = x x – y + 2z = y 2x + y – z = z x + y x – y +2z 2x + y - z x y z =  36

Cont. Exemplo 3: (Questão 4) Solução: Autovetor associado a 1 = -1: x + y = -1x x – y + 2z = -1y 2x + y – z = -1z y = -2x z = -x/2 Logo, o autovetor associado ao autovalor 1 é: v1 (x, -2x, -x/2)  [(1, -2, -1/2)] 37

Cont. Exemplo 3: (Questão 4) Solução: Autovetor associado a 2 = 2: x + y = 2x x – y + 2z = 2y 2x + y – z = 2z y = x z = x Logo, o autovetor associado ao autovalor 2 é: v2 (x, x, x)  [(1, 1, 1)] 38

Cont. Exemplo 3: (Questão 4) Solução: Autovetor associado a 3 = -2: x + y = -2x x – y + 2z = -2y 2x + y – z = -2z y = -3x z = x Logo, o autovetor associado ao autovalor 3 é: v3 (x, -3x, x)  [(1, -3, 1)] 39

Hoje vimos... Autovalores e Autovetores Polinômio característico

Exercícios Sugeridos 2 3 4 7 a 18 22 41

Diagonalização de Operadores
A Seguir... Diagonalização de Operadores 42

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