Álgebra Linear Espaço Vetorial

Apresentação em tema: "Álgebra Linear Espaço Vetorial"— Transcrição da apresentação:

1 Álgebra Linear Espaço Vetorial
Prof. Paulo Salgado

2 Sumário Espaços vetoriais Sub-espaços vetoriais Combinação linear
Dependência e Independência linear

3 Espaços Vetoriais Definição: Um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações: soma, V X V  V, e multiplicação por escalar, R X V  V, tais que, para quaisquer u, v, w V e a, b  R, as seguintes propriedades sejam satisfeitas:

4 Espaços Vetoriais Propriedades: Adição Multiplicação
i) (u + v) + w = u + (v + w) - associativa ii) u + v = v + u - comutativa iii) existe 0  V tal que u + 0 = u 0 é o vetor nulo iv) Existe –u  V tal que u + (-u) = 0 Multiplicação v) a(u + v) = au + av, a escalar vi) (a + b)v = av + bv, a, b escalares vii) (ab)v = a(bv) viii) 1.u = u

5 Espaços Vetoriais Designamos por vetor um elemento do espaço vetorial
Exemplo: V = M(2, 2) é o conjunto de matrizes 2x2 V é um espaço vetorial Todas as propriedades anteriores são satisfeitas se a adição é entendida como a adição de matrizes; e a multiplicação por um escalar for a forma padrão de matrizes

6 Espaços Vetoriais Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 1: (u + v) + w = u + (v + w)

7 Espaços Vetoriais Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 2: u + v = v + u
Operação vetorial genérica Interpretação concreta

8 Espaços Vetoriais Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 3: Existe um elemento 0 em V, chamado um vetor nulo para V, tal que u + 0 = u para todo u em V.

9 Espaços Vetoriais Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 4: Para todo u em V, há um objeto –u em V, chamado um oposto ou negativo ou simétrico de u, tal que u + (-u) = 0

10 Espaços Vetoriais Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 5: k (u + v) = k u + k v

11 Espaços Vetoriais Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 6: (k + l ) u = k u + l u

12 Espaços Vetoriais Exemplo: V = M(2, 2) - Prova
Axioma 7: k (l u) = (k l ) (u)

13 Espaços Vetoriais Exemplo: V = M(2, 2) - Prova Axioma 8: 1u = u

14 Espaços Vetoriais Contra-Exemplo: Um conjunto que não é um espaço vetorial: Seja u = (u1, v1) e v = (u2, v2) Seja V = R2 e adição e multiplicação definidas como: u + v = (u1 + u2, v1 + v2) k.u = (ku1, 0) Nesse caso, o axioma 8 não vale, pois: 1u = 1(u1, v1) = (u1, 0)  u Logo V não é um espaço vetorial

15 Espaços Vetoriais Exercícios:
O conjunto V = R2 = {(x, y)| x, y E R} é um espaço vetorial com as operações de adição e multiplicação por um número real assim definidas (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) α(x, y) = (αx, αy) Tais operações são denominadas usuais α(x, y) = (αx, y)

16 Subespaços Vetoriais Definição: Dado um espaço vetorial V, um subconjunto W, não vazio, será um subespaço vetorial de V se: i) Para quaisquer u, v  W, tivermos u + v  W ii) Para quaisquer a  R, u  W, tivermos au  W

17 Subespaços Vetoriais Observações:
1) Ao operarmos em W (soma e multiplicação por escalar) não obteremos um vetor fora de W Isso é suficiente para afirmar que W é ele mesmo um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas Assim, não precisamos verificar novamente as propriedades (i) a (viii) de espaço vetorial porque elas são válidas em V, que contém W

18 Subespaços Vetoriais Observações:
2) Qualquer subespaço W de V precisa necessariamente conter o vetor nulo (por causa da condição (ii) da definição quando a = 0) 3) Todo espaço vetorial admite, pelo menos, dois subespaços (que são chamados de subespaços triviais): O conjunto formado apenas pelo vetor nulo O próprio espaço vetorial

19 Subespaços Vetoriais Exemplo 1: V = R3 e W  V, um plano passando pela origem Observe que, se W não passasse pela origem, não seria um subespaço Os únicos subespaços de R3 são a origem, as retas e planos que passam pela origem e o próprio R3 W

20 Subespaços Vetoriais Exemplo 2: V = R5 e W = {(0,x2,x3,x4,x5); xiR}
Isso é, W é o conjunto de vetores de R5 com a primeira coordenada nula Vamos verificar as condições (i) e (ii): (i):u = (0, x2, x3, x4, x5), v = (0, y2, y3, y4, y5)  W Então: u+v=(0, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5)  W (ii) ku = (0, kx2, kx3, kx4, kx5)  W Portanto, W é subespaço vetorial de R5.

21 Subespaços Vetoriais Exercício: Seja V = R2 e S = {(x, y) E R2 | y = 2x} Elementos: u = (x1, 2.x1) e v = (x2, 2.x2) Prova: Verificar se u+v e k.u seguem as mesmas propriedades Solução u + v = (x1, 2.x1) + (x2, 2.x2) u + v = (x1 + x2, 2.x1 + 2.x2) u + v = (x1 + x2, 2(x1 + x2)) ku = k(x1, 2.x1) ku = (kx1, 2kx1) ku = (kx1, 2(kx1)), logo S é subespaço

22 Subespaços Vetoriais Exercício: Seja V = R2 e S = {(x, y) E R2 | y = 4-2x} Elementos: u = (x1, 4-2x1) e v = (x2, 4-2.x2) Prova: Verificar se u+v e k.u seguem as mesmas propriedades Solução u + v = (x1, 4-2.x1) + (x2, 4-2.x2) u + v = (x1 + x2, 4-2.x x2) u + v = (x1 + x2, 8-2(x1 + x2)) ku = k(x1, 4-2.x1) ku = (kx1, k(4-2x1)) ku = (kx1, 4k-2kx1)), ku = (kx1, 4k-2kx1)), logo S não é um subespaço

23 Subespaços Vetoriais Teorema: Interseção de subespaços
Dados W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V, a interseção W1  W2 ainda é um subespaço de V Observe que W1  W2 nunca é vazio já que eles sempre contêm, pelo menos, o vetor nulo Exemplo 1: V = R3, W1  W2 é a reta de interseção dos planos W1 e W2 W2 W1

24 Subespaços Vetoriais Embora a interseção gere um subespaço vetorial, isso necessariamente não acontece com a união Teorema: Soma de subespaços Sejam W1 e W2 subespaços de um espaço vetorial V. Então o conjunto W1 + W2 = {vV; v=w1 + w2, w1W1, w2W2} é subespaço de V Exemplo 1: Se W1 e W2 são duas retas, W = W1+W2 é o plano que contém as retas

25 Subespaços Vetoriais Quando W1 ∩ W2 = {0}, então W1 + W2 é chamado soma direta de W1 com W2, denotado por W1  W2 25

26 Combinação Linear Sejam V um espaço vetorial real, v1, v2, ..., vn V e a1, a2, ...,an números reais Então o vetor v = a1v1 + a2v anvn é um elemento de V ao qual chamamos de combinação linear de v1, v2, ..., vn Uma vez fixados vetores v1, v2, ..., vn em V, o conjunto W de todos os vetores de V que são combinação linear desse é um subespaço vetorial W é chamado de subespaço gerado por v1, v2, ..., vn W = [v1, v2, ..., vn]

27 Combinação Linear Exemplo 1:V = R2, v1 = (1, 0), v2 = (0, 1) Logo, V = [v1, v2], pois dados v = (x, y)V, temos (x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) Ou seja, v = x.v1 + y.v2 Exemplo 2: 1 0 0 0 0 1 0 0 v1 = v2 = a b 0 0 Então [v1, v2] = : a, b  R

28 Combinação Linear Exercício: v = (-4,-18,7) é uma combinação linear de v1 = (1, -3, 2) e v2 = (2, 4, -1)? Escreva o vetor v como combinação linear dos vetores v1 e v2. Solução v = av1 + bv2 (-4,-18,7) = a(1,-3,2) + b(2,4,-1) (-4,-18,7) = (a,-3a,2a) + (2b,4b,-b) (-4,-18,7) = (a+2b,-3a+4b,2a-b) a+2b = -4 -3a+4b = -18 2a-b = Resposta: v = 2v1 – 3 v2

29 Dependência e Independência Linear
Definição: Sejam V um espaço vetorial e v1, v2, ..., vn V. Dizemos que o conjunto {v1,v2, ...,vn} é linearmente independente (LI), ou que o vetores v1, v2, ..., vn são LI se a equação: a1v1 + a2v anvn = 0 implica que a1 = a2 = .... = an = 0 {v1,v2, ...,vn} é LD se, e somente se, um destes vetores for combinação linear dos outros. Se algum ai  0, dizemos que {v1,v2, ...,vn} é linearmente dependente (LD) ou que os vetores v1,v2, ...,vn são LD

30 Dependência e Independência Linear
Exemplo 1: V = R2, e1 = (1, 0) e e2 = (0, 1) e1 e e2 são LI, pois a1.e1 + a2.e2 = 0 a1.(1, 0) + a2.(0, 1) = 0 (a1, a2) = (0, 0) a1 = 0 e a2 = 0 Exemplo 2: De modo análogo, para V =R3, e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0) e e3 = (0, 0, 1) são LI Exemplo 3: V = R2 {(1, -1), (1, 0), (1, 1)} é LD pois: ½.(1, -1) -1.(1, 0) + ½.(1, 1) = (0, 0)

31 Dependência e Independência Linear
Exercício: v1 = (2, 3) e v2 = (-4, -6) são LD? Solução av1 + bv2 = 0 a(2, 3) + b(-4, -6) = 0 (2a, 3a) + (-4b, -6b) = (0, 0) (2a-4b, 3a - 6b) = (0, 0) 2a - 4b = 0 .(3) => 6a – 12b = 0 3a - 6b = 0 .(-2) => -6a + 12b = 0 0 = 0 => 2a - 4b = 0 => 2a = 4b, LD ou LI? Resposta: LD... Por que?

32 Dependência e Independência Linear
Exercício: v1 = (6, 2, 3) e v2 = (0, 5, 3) são LD ou LI? Solução av1 + bv2 = 0 a(6, 2, 3) + b(0, 5, 3) = (0, 0, 0) (6a, 2a, 3a) + (0, 5b, 3b) = (0, 0, 0) (6a, 2a + 5b, 3a + 3b) = (0, 0, 0) 6a = => a = 0 2a + 5b = 0 => b = 0 3a + 3b = 0 => b = 0 Como, a = b = 0 => LD ou LI? Resposta: LI

33 Hoje vimos... Espaços vetoriais Sub-espaços vetoriais
Combinação linear Dependência e Independência linear

34 Álgebra Linear Espaço Vetorial
Prof. Paulo Salgado

35 Sumário Base de um Espaço Vetorial Dimensão de um Espaço Vetorial
Mudança de Base

36 Base de um Espaço Vetorial
Definição: Um conjunto {v1,v2, ...,vn} de vetores de V será uma base de V se: i) {v1,v2, ...,vn} é LI av1 + bv2, nvn = 0, onde a = b = n = 0 ii) [v1,v2, ...,vn] é V av1 + bv2, nvn = vetor genérico do espaço, Ex: R2 = (x,y) Esse conjunto gera todos os vetores de V.

37 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 1: V = R2, e1=(1,0) e e2=(0,1) {e1, e2} é base de V, conhecida como base canônica de R2 O conjunto {(1,1),(0,1)} também é uma base de V = R2 De fato, se (0,0) = a(1,1) + b(0,1) = (a, a + b), então a = b = 0 Assim, {(1, 1), (0, 1)} é LI Ainda [(1, 1), (0, 1)] = V pois dado v = (x, y)  V, temos: (x, y) = x(1, 1) + (y – x)(0, 1) Ou seja, todo vetor de R2 é uma combinação linear dos vetores (1,1) e (0,1)

38 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 2: {(0,1), (0,2)} não é base de R2, pois é um conjunto LD Se (0,0) = a(0,1) + b(0,2), então a = -2b e a e b não são zero necessariamente Exemplo 3: {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} é uma base de R3? Base canônica de R3 i) {e1, e2, e3} é LI ii) (x, y, z) = x.e1 + y.e2 + z.e3 Exemplo 4: {(1,0,0), (0,1,0)} não é base de R3. Por que? É LI mas não gera todo R3

39 Base de um Espaço Vetorial
Teorema: Sejam v1,v2, ...,vn vetores não nulos que geram um espaço vetorial V. Então dentre esses vetores podemos extrair uma base de V. Isso independe de v1,v2, ...,vn serem LD ou LI Teorema: Seja um espaço vetorial V gerado por um conjunto finito de vetores v1,v2,...,vn. Então, qualquer conjunto com mais de n vetores é necessariamente LD (e, portanto, qualquer conjunto LI tem no máximo n vetores)

40 Base de um Espaço Vetorial
Corolário: Qualquer base de um espaço vetorial tem sempre o mesmo número de elementos. Este número é chamado dimensão de V, e denotado por dim V Exemplo 1: V = R2: dim V = 2 {(1,0), (0,1)} e {(1,1),(0,1)} são bases de V Exemplo 2: V = R3: dim V = 3 Exemplo 3: V = M(2, 2): dim V = 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 É uma base de V

41 Base de um Espaço Vetorial
Teorema: Qualquer conjunto de vetores LI de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado de modo a formar uma base de V Corolário: Se dim V = n, qualquer conjunto de n vetores LI formará uma base de V Teorema: Se U e W são subespaços de um espaço vetorial V que tem dimensão finita, então dim U  dim V e dim W  dim V. Além disso: dim(U + W) = dim U + dim W – dim(U  W)

42 Base de um Espaço Vetorial
Teorema: Dada uma base  = {v1,v2, ...,vn} de V, cada vetor de V é escrito de maneira única como combinação linear de v1, v2, ...,vn. Definição: Sejam  = {v1,v2, ...,vn} base de V e v  V onde v = a1v anvn. Chamamos esses números ai de coordenadas de v em relação à base  e denotamos por: a1 ... an [v] =

43 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 1: V = R2  = {(1, 0), (0, 1)} (4, 3) = 4.(1, 0) + 3.(0, 1) Logo: Observe que os coeficientes são representados como elementos de uma matriz coluna. 4 3 [(4, 3)] =

44 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 2: V = R2  = {(1, 1), (0, 1)} (4, 3) = x.(1, 1) + y.(0, 1)  x=4 e y=-1 Logo: 4 -1 [(4, 3)] =

45 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 3: Observe que a ordem dos elementos de uma base influi na matriz das coordenadas de um vetor em relação à esta base V = R2 1 = {(1, 0), (0, 1)} e 2 = {(0, 1), (1, 0)} 4 3 3 4 [(4, 3)]1 = [(4, 3)]2 =

46 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 4: Considere: V = {(x, y, z): x + y – z = 0} W = {(x, y, z): x = y} Determine V + W V: x + y – z = 0  z = x + y Base: (x, y, z)=(x, y, x + y) = x.(1, 0, 1) + y.(0, 1, 1) Logo: Base = [(1, 0 , 1),(0, 1, 1)] W: x = y Base: (x, y, z) = (y, y, z) = y.(1, 1, 0) + z.(0, 0, 1) Logo: Base = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] cont… 46

47 Base de um Espaço Vetorial
x y z Exemplo 4: (cont..) Como: V = [(1, 0, 1), (0, 1, 1)] W = [(1, 1, 0), (0, 0, 1)] Então V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (1,1,0), (0,0,1)] Mas espera-se que o resultado esteja no R3, logo essa base deve ter algum elemento LD cont… 47

48 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 4: (cont..) Vamos escalonar.... v1 v2 v3 v4 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 Elemento LD (v3) cont… 48

49 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 4: (cont..) Logo V + W = [(1,0,1), (0,1,1), (0,0,1)] Assim, V + W = R3 dim R3 = dim V + dim W – dim(VW) VW = ?? cont… 49

50 Base de um Espaço Vetorial
Exemplo 4: (cont..) VW = {(x,y,z); x + y – z = 0 e x = y} = Resolva o sistema... = {(x,y,z); x = y = z/2} = [(1, 1, 2)] dim (VW) = 1 dim R3 = dim V + dim W – dim(VW) dim R3 = – 1 = 3 Como esperado.... 50

51 Mudança de Base Contextualizando...

52 Mudança de base - exemplo
Visão Computacional Problema: imagine um veículo de direção autônoma para percorrer um caminho: Grama verde Caminho cinza

53 Mudança de base - exemplo
Visão Computacional Problema: imagine agora um caminho com sombra... Sombra cinza escuro Grama verde Sombra cinza claro Sombra verde escura Caminho cinza

54 Mudança de base - exemplo
Visão Computacional Imagem no sistema RGB (R = Red, G = Green, B = Blue) que é o sistema computacional de cores comum do computador Mas um “vermelho” tem valores de cada componente

55 Mudança de base - exemplo
Visão Computacional Como detectar a sombra pelo RGB? Problema complicado... Mas existem outros sistemas de cores....

56 Mudança de base - exemplo
Visão Computacional Sistema HSL (H = Hue/Matiz, S = Saturação, L = Lightness/Brilho) RGB -> HSL Mudança de base, feita através de uma matriz transformação de uma base para outra

57 Mudança de base - exemplo
Visão Computacional Sistema HSL (H = Hue/Matiz, S = Saturação, L = Lightness/Brilho) RGB -> HSL Mudança de base, feita através de uma matriz transformação de uma base para outra

58 Mudança de base - exemplo
Visão Computacional Mesma imagem anterior no HSL (cada componente em separado) Saturação Brilho Matiz

59 Mudança de base - exemplo
Visão Computacional Mesma imagem anterior no HSL (cada componente em separado) Sombra bem destacada!!! Matiz

60 Mudança de Base - Exemplo

61 Mudança de Base - Exemplo

62 Mudança de Base Sejam ={u1,...,un} e ’= {w1,...,wn} duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V Dado o vetor v V, podemos escrevê-lo como: v = x1u xnun v = y1w ynwn (1) 62

63 Mudança de Base x1 … [v] = xn y1 … [v]’ = yn
Como podemos relacionar as coordenadas de v em relação à base  com as coordenadas do mesmo vetor v em relação à base ’ x1 … xn [v] = y1 … yn [v]’ = 63

64 Mudança de Base Já que {u1,...,un} é base () de V, podemos escrever os vetores v e w como combinação linear dos uj, isto é: (Lembrando que v = y1w ynwn) w1 = a11u1 + a21u an1un w2 = a12u1 + a22u an2un ...... wn = a1nu1 + a2nu annun Substituindo (2) em (1): v=y1w1+...+ynwn=y1(a11u1+...+an1un)+..+yn(a1nu1+...+annun) = u1(a11y1+...+an1yn)+..+un(a1ny1+...+annyn) (2) 64

65 Mudança de Base x1 … xn a11 ... a1n … … … an1 … ann y1 … yn =
Mas v = x1u xnun, e como as coordenadas em relação a uma base () são únicas temos: v = x1u xnun = u1(a11y1+...+an1yn)+...+un(a1ny1+...+annyn) x1 = a11y an1yn ..... xn = a1ny annyn Ou, em forma matricial Observe que as linhas viraram colunas! x1 … xn a a1n … … … an1 … ann y1 … yn = 65

66 [ I ]  Matriz de mudança da base ’ para a base 
Mudança de Base Isso é denotado por: Temos: a a1n … … … an1 … ann [ I ]  ’ = ’ [v] = [ I ] [v]’  ’ [ I ]  Matriz de mudança da base ’ para a base   66

67 Mudança de Base Observe que, encontrando , podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor v em relação à base , multiplicando a matriz pelas coordenadas de v na base ’ [ I ]  ’ 67

68 Mudança de Base Exemplo: Sejam ={(2,-1), (3,4)} e ’={(1,0),(0,1)} bases de R2: w1 = (1,0) = a11(2,-1) + a21(3,4) = (2a11+ 3a21, -a11+ 4a21)  2a11+3a21 = 1 e -a11+4a21 = 0  a11 = 4a21  a21 = 1/11 e a11 = 4/11 w2 = (0,1) = a12(2,-1) + a22(3,4) = (2a12+ 3a22, -a12+ 4a22)  2a12+3a22 = 0 e -a12+4a22 = 1  a22 = 2/11 e a12 = -3/11 [ I ] = ?  ’ 68

69 Mudança de Base [ I ] = 4/11 -3/11 1/11 2/11 Exemplo: (cont.) Assim:
w1 = (1,0) = (4/11)(2,-1) + (1/11)(3,4) w2 = (0,1) = (-3/11)(2,-1) + (2/11)(3,4) 4/ /11 1/ /11 [ I ]  ’ = Linhas tornam-se colunas!!! 69

70 Mudança de Base Exemplo: (cont.) Podemos usar essa matriz para encontrar, por exemplo, [v] para v = (5, -8) [(5, -8)] = [(5, -8)]’ = = [ I ]  ’ 4/ /11 1/ /11 5 -8 4 -1 Isto é: (5, -8) = 4.(2, -1) + (-1).(3, 4) 70

71 A Inversa da Matriz Mudança de Base
 ’ Temos [v] = [v]’ Um fato importante é que e são matrizes inversíveis: ( )-1 = [ I ] ’  [ I ]  ’ [ I ]  ’ [ I ] ’  71

72 A Inversa da Matriz Mudança de Base
Exemplo: Do exemplo anterior, vamos calcular a partir de Note que é fácil de ser calculada pois ’ é a base canônica: (2, -1) = 2.(1, 0) + (-1).(0, 1) (3, 4) = 3.(1, 0) + 4.(0, 1) Assim: = Então: = = [ I ]  ’ [ I ] ’  [ I ] ’  [ I ] ’  2 3 4/ /11 1/ /11 [ I ]  ’ 2 3 72

73 Espaço Vetorial Exercício 18: Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1,-1,0,0), v2=(0,0,1,1), v3=(-2,2,1,1) e v4=(1,0,0,0) a) O vetor (2, -3, 2, 2)  [v1,v2,v3,v4]? b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão? c) [v1,v2,v3,v4] = R4? 73

74 Espaço Vetorial Exercício 18: Cont.
a) O vetor (2, -3, 2, 2)  [v1,v2,v3,v4]? Ou seja, existem a, b, c, d, tal que: (2, -3, 2, 2) = a.(1,-1,0,0) + b.(0,0,1,1) c.(-2,2,1,1) + d.(1,0,0,0) a – 2c + d = 2 -a + 2c = -3 b + c = 2 74

75 Espaço Vetorial Exercício 18: Cont.
a) O vetor (2, -3, 2, 2)  [v1,v2,v3,v4]? Sistema admite infinitas soluções. Por exemplo: a = 3, b = 2, c = 0, d = -1 Logo, como existe solução, o vetor pertence a [v1,v2,v3,v4] 75

76 Espaço Vetorial Exercício 18: Cont.
b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão? Com isso, descobrimos que v2 (ou v3) é combinação linear dos outros vetores. Logo, a base é formada por [v1,v2,v4] ou [v1, v3, v4]. 76

77 Espaço Vetorial Exercício 18: Cont.
b) Exiba uma base para [v1,v2,v3,v4]? Qual sua dimensão? Base = [v1,v2,v4]  dim = 3 c) [v1,v2,v3,v4] = R4? Como dim Base = 3 e dim R4 = 4, então [v1,v2,v3,v4] ≠ R4 77

78 Espaço Vetorial Exercício 19: Considere o subespaço de R3 gerado pelos vetores v1=(1,1,0), v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1). [v1,v2,v3]=R3? v1=(1,1,0), v2=(0,-1,1) e v3=(1,1,1) é LI? 78

79 Espaço Vetorial Exercício 19: Solução 1: Cont.
Existem a, b, c tal que: (x, y, z) = a.(1,1,0) + b.(0,-1,1) + c.(1,1,1) a + c = x a - b = y b + c = z a = 2x – y - z b = x - y c = -x + y + z Ou seja, há valores para a, b e c que podem gerar qualquer vetor no R3. 79

80 Espaço Vetorial … Exercício 19: Solução 2: Cont.
Vamos tentar escalonar: 1 1 0 0 -1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 … O que isso significa? Significa que, com esses vetores e operações lineares, conseguimos gerar a base canônica. Logo, podemos gerar todo o R3. 80

81 Exercícios Sugeridos 2 4 6 7 8 9 11 15 25 29 81

82 A Seguir... Transformações Lineares 82