Definições matemáticas – Apêndice A1.3 – Um pouco de topologia...

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1 Definições matemáticas – Apêndice A1.3 – Um pouco de topologia...

2 Definição A1. 4: e-bolas abertas e fechadas pags
Definição A1.4: e-bolas abertas e fechadas pags – Mas-Colell (pags 943 e 944) Uma bola aberta ‘e’ com centro em x0 e raio e >0 (um número real) é o subconjunto de pontos no Rn: Be(x0)  {x  Rn | d(x0, x) < e} Uma bola fechada ‘e’ com centro em x0 e raio e >0 (um número real) é o subconjunto de pontos no Rn: Be*(x0)  {x  Rn | d(x0, x) ≤ e} d(x0, x)= distância/norma euclidiana =

3 Conjunto Aberto no Rn – Def. A1.5 – pag.508
S  Rn é um conjunto aberto (em relação ao Rn) se, para todo x S, existe algum e > 0 tal que Be(x)  S. Obs: toda bola aberta é um conjunto aberto Teorema A1.2 – Sobre conjuntos abertos no Rn - pag. 509 [Mas-Colell – Teorema M.F.1] O conjunto vazio, , é um conjunto aberto. O espaço completo, Rn, é um conjunto aberto. A união de um número qualquer, finito ou infinito, de conjuntos abertos é um conjunto aberto. A intersecção de qualquer número finito de conjuntos abertos é um conjunto aberto.

4 Teorema A1.3 – pag. 510 Todo conjunto aberto é uma coleção de bolas abertas. Seja S um conjunto aberto. Para todo x  S, escolha algum ex > 0 tal que Bex(x)  S. Então:

5 Conjunto Fechado no Rn – Def. A1.6 – pags.510-511
S é um conjunto fechado se seu complementar Sc é aberto. Teorema A1.4 – Sobre conjuntos fechados no Rn - pag. 511 [Mas-Colell – Teorema M.F.1] O conjunto vazio, , é um conjunto fechado. O espaço completo, Rn, é um conjunto fechado. A união de um número finito qualquer de conjuntos fechados é um conjunto fechado. A intersecção de um número qualquer, finito ou infinito, de conjuntos fechados é um conjunto fechado.

6 Observação O conjunto vazio e o conjunto completo Rn são os únicos dois conjuntos que são “abertos” e “fechados” no Rn.

7 Sequências no Rn- Def. A1. 12 – pag. 519 (Mas-Colell – Def. M. F
Sequências no Rn- Def. A1.12 – pag. 519 (Mas-Colell – Def. M.F.1 – pag.943) Uma sequência no Rn é uma função que mapeia todo número inteiro positivo I = 1, 2, ... a um vetor xk no Rn. Denotamos uma sequência por {xk}kI , onde xk  Rn para todo k  I. (x1, x2, ..., xk, ...)  outra notação de sequência, onde cada xk  Rn

8 Exemplos Exemplo de sequências no conjunto dos 
{1, 2, 3, 4…}  xk = k {1, 1/2, 1/3, 1/4…}  xk = 1/k {-1, 1, -1, 1…}  xk = (-1)k

9 Exemplos Exemplo de sequência no 2: x2 4 3 2 1/4 1/2 1 x1

10 Sequências no Rn- Def. A1.12 – pag. 518
Para cada i = 1, 2,...,k,... indicamos com xki a i-ésima coordenada de xk, ou seja, xk=(xk1,xk2,...,xkn) A sequência {xk}kI converge para x  Rn se para todo e > 0, existe um k tal que xk  Be(x) para todo k  I que exceda k. Se os membros de uma sequência {xk} tornam-se muito próximos de um ponto particular no Rn qdo k torna-se grande suficiente, então nós dizemos que a sequência converge para o ponto. Este ponto é chamado de ponto limite (ou simplesmente de limite) da sequência {xk}.

11 Exemplos Exemplo de sequência convergente no 2: x2 2 1/4 1/2 1 x1

12 Teorema: conjunto fechado
Um conjunto S  Rn é um conjunto fechado se, e somente se, para toda sequência {xk}kI tal que xk  S para cada k  I e xk  x tem-se que x  S. (iii) – Teorema M.F.1 – pag. 944 – Mas-Colell Um conjunto A  X é fechado se e somente se para toda sequência xm  x  X, com xm  A para todo m, nós temos que x  A.

13 Exemplo 2.26 (http://www.lncc.br/~alm/cursos/analiseI06/analiseI.pdf)
Em R2 o conjunto S ={ x = (x1, 0) ∈ R2 | x1 ∈ [0, 1)}, não é nem aberto nem fechado. Para mostrar que S não é fechado, considere a sequência em S dada por xn = (1−1/n, 0). Como xn → (1, 0) e este ponto  S, logo S não é fechado. Para mostrar que S não é aberto, note que toda bola de raio e > 0 e centro em (0, 0) contém pontos em S e no complementar de S. x1 = (0,0); x2 = (0,5,0); x3 = (0,667,0); ...  xn = (1,0) 1

14 Parêntese: Definição M.F.2 – pag. 943 – Mas-Colell
Considere um domínio X  Rn . Uma função f: X  é contínua se para todo x ∈ X e toda sequência xm  x (tendo xm ∈ X para todo m), nós temos que f(xm)  f(x). Uma função f: X K é contínua se toda coordenada da função fk(.) é contínua. Em palavras: uma função é contínua se, quando nós tomamos uma sequência de pontos x1, x2, … convergindo para x, a sequência correspondente de valores da função converge para f(x).

15 Um conjunto S  Rn é chamado compacto se ele for fechado e limitado.
Conjunto limitado (def. A1.7 – pag. 512) e conjunto compacto (def. A1.8 – pag. 515) Um conjunto S  Rn é chamado limitado se ele está inteiramente contido em uma bola aberta ou fechada, isto é, se existe um e > 0 tal que S  Be(x) ou S  Be*(x) para algum x  Rn. Ou seja, o conjunto é limitado se conseguimos desenhar uma bola em torno dele. Um conjunto S  Rn é chamado compacto se ele for fechado e limitado.

16 Conjunto convexo – Def. A1.1 – pag. 500
S  Rn é um conjunto convexo se para todo x1S e x2S, nós temos: tx1 + (1-t)x2  S para todo t no intervalo entre 0 ≤ t ≤ 1.

17 Toda bola aberta é um conjunto aberto.
Seja S uma bola aberta com centro em x0 e raio . Se tomarmos qq ponto x em S será sempre possível traçar uma bola aberta com centro em x e raio positivo, tal que esta nova bola aberta também pertença a S. Veja porque: Se x  S, sabemos que d(x0, x)< ; portanto,  - d(x0, x)> 0. Deixe ’ =  - d(x0, x)> 0. Logo B’(x)  S x2 x  ’ x0 S=B(x0) x1 Voltar