Sistemas de Controle III N8SC3

Apresentação em tema: "Sistemas de Controle III N8SC3"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Controle III N8SC3
Prof. Dr. Cesar da Costa 5.a Aula: Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência

2 Vantagens da Representação de Estado
O método de análise de sistemas baseado nas funções de transferências apresenta limitação. Esse método aplica-se normalmente a sistemas lineares, de entrada e saídas únicas. Além disso, ele é definido para o caso de C.I = 0. As funções de transferência relacionam diretamente as variáveis de entrada e saída, sem que se tenham necessariamente informações sobre as variáveis internas do Sistema.

3 Vantagens da Representação de Estado
Já o método da descrição de estado permite superar essas limitações. Além disso, ele apresenta as seguintes vantagens: a) As equações diferenciais do modelo de estados apresentam formato adequado para a sistematização da solução por meio de computadores. b) As variáveis de estado constituem uma ponderosa estrutura unificada, conveniente para o estudo, tanto dos sistemas lineares como dos não lineares.

4 Vantagens da Representação de Estado
c) Constituem uma importante ferramenta de pesquisa da teoria dos sistemas. d) A conceituação de estado tem ampla motivação de natureza física. e) Presta-se ao desenvolvimento de métodos robustos e eficientes para simulação digital.

5 Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência
No início deste curso foram apresentadas tanto a conceituação de variáveis de estado, quanto as técnicas habituais de representação de estado de um sistema linear. O modelo matemático obtido para esses sistemas, sob forma vetorial é apresentado a seguir:

6 Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência
A tarefa que se põe agora é resolver a equação de estado. Dados o vetor de entrada a partir do instante inicial t0 e o estado inicial x0 = x(t0) Poderemos determinar o estado x(t), e através dele, o vetor de saída y(t), em qualquer instante posterior a t0. Apresentaremos inicialmente a solução da equação de estado via transformada de Laplace, ou, como se costuma dizer, determinaremos a solução dessa equação no domínio da frequência.

7 Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência
A transformada de Laplace de um vetor, ou de uma matriz, é obtida transformando-se cada elemento do vetor ou da matriz. Assim, para os vetores de entrada, de saída e de estado, define-se:

8 Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência
Com relação ao vetor das derivadas das variáveis de estado (derivada do vetor de estado), vamos lembrar o seguinte: A transformada de Laplace da derivada de uma variável inclui o valor inicial dessa variável da seguinte forma: Se A transformada de sua derivada será:

9 Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência
Portanto:

10 Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência
As equações dinâmicas do Sistema, no domínio da frequência, serão a Equação vetorial de estado no domínio da frequência: Onde:

11 Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência
A Equação vetorial de saída no domínio da frequência: Onde:

12 Equações de Estado e Saída no Domínio da Frequência
Sob a forma vetorial, teremos a Equação vetorial de estado: Equação vetorial de saida:

13 Resumo: a) Equação vetorial de estado e saida no domínio do tempo:
b) Equação vetorial de estado e saída no domínio da frequência:

14 Exercícios: 1) Um Sistema de entrada u(t) e saídas y1(t) e y2(t) é descrito pelas seguintes equações: As condições iniciais são: x01= 2 e x02 = -1 Escreva as equações de estado e saída no domínio da frequência sob formas vetorial e escalar.

15 Solucao (Forma vetorial):
Achando a transformada de Laplace da equação de estado dada, tem-se: Logo, a equação vetorial no domínio da frequência:

16 Solucao (Forma vetorial):
Achando a transformada de Laplace da equação de saída dada, tem-se: Logo, a equação vetorial no domínio da frequência:

17 Solucao (Forma escalar):
(1) (2)

18 Solucao (Forma escalar):
(1) (2)

19 Modelo de Estados e Diagramas em Blocos
Da mesma forma que as equações de estado, os diagramas de blocos tanto podem ser escalares como vetoriais. Para facilitar esse entendimento, vamos representar os diagramas com o auxílio do exercício 1. Comecemos o caso escalar, que nos é mais familiar.

20 Modelo de Estados e Diagramas em Blocos
As equações escalares de estado do exercício 1podem ser escritas sob a forma: E as de saidas:

21 Modelo de Estados e Diagramas em Blocos
O diagrama de blocos com as saidas Y1 e Y2 pode ser representado a seguir: Note que os valores das condições iniciais x01=2 e x02=-1 aparecem como entradas constantes no diagram de blocos, porque esse diagrama se refere ao domínio da frequência.

22 Modelo de Estados e Diagramas em Blocos
No domínio do tempo, portanto essas condições iniciais serão consideradas como impulsos de valor igual as respectivas condições iniciais. Já as equações vetoriais de estado e saída no domínio da frequência podem ser representadas, na sua forma geral, por um diagrama de blocos vetorial, muito util em certas aplicações, por exemplo, no estudo dos observadores de estados via programas computacionais. Os diagramas de blocos vetoriais prestam-se para representação das equações de estado vetoriais, indicando propriedades gerais dessas equações.

23 Modelo de Estados e Diagramas em Blocos
As equações em referencia são as seguintes: Nos diagramas de blocos vetoriais, os ramos indicam variáveis vetoriais e não escalares; os blocos representam matrizes. Vejamos, então, como as equações vetoriais podem ser representadas por um diagram de blocos vetorial . Por exemplo, as equações de referência.

24 Modelo de Estados e Diagramas em Blocos
Note que o bloco integrador representa tantos integradores quantos forem os estados. Então, de fato, ele deve ser representado por I/s (em vez de 1/s), onde I denota uma matriz-identidade de dimensão igual a da matriz A.

25 Exercicio da Lista: Represente o diagram de bloco vetorial do exercicio 1.