Grafos: Conceitos Básicos

Apresentação em tema: "Grafos: Conceitos Básicos"— Transcrição da apresentação:

1 Grafos: Conceitos Básicos
“Se o Senhor não edificar a casa, em vão trabalham os que a edificam; se o Senhor não guardar a cidade, em vão vigia a sentinela” (Salmo 127:1) “Se o Senhor não edificar a casa, em vão trabalham os que a edificam; se o Senhor não guardar a cidade, em vão vigia a sentinela” (Salmo 127:1)

2 Definição Informal (revisão)
Um grafo representa pontos e ligações entre os pontos Vértices (nós) e arestas Permite representar/modelar: Cidades e estradas Computadores e conexões de rede Pessoas e relacionamentos

3 Duas Classificações Principais
x z y w Grafos direcionados (ou dirigidos) Cada aresta tem uma direção Arestas chamadas de arcos Vou usar “aresta” como nome genérico Grafos não-direcionados (ou não-dirigidos) Arestas não têm direção Muitas vezes são vistas como bidirecionais

4 Definição Formal

5 Definição Formal Básica
Um grafo possui dois componentes Um conjunto V, dos vértices ou nós Um conjunto E, das arestas (edges) Ou arcos (se o grafo for direcionado)

6 Definição Formal Básica
Notação formal básica, para um grafo G: G = (V,E) ou G(V,E) Grafo chamado “G”, com vértices “V” e arestas “E” Para referir-se somente a um dos dois componentes do grafo G: V(G) – para o conjunto de vértices E(G) – para o conjunto de arestas

7 Definição Formal Básica
Cada aresta do conjunto E(G) é definida como um par de vértices: Para grafos não-direcionados: {x,y} ou x-y Lembrando {x,y} = {y,x} Obs.: Às vezes são usadas as representações direcionados Para grafos direcionados: (x,y) ou xy ou x y ... Lembrando que (x,y) ≠ (y,x) x y x y

8 Exemplo 1 G1: V1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} E1 = {{1,2}, {1,5}, {5,2}, {5,4}, {2,3}, {3,4}, {4,6}} G1 = (V1,E1) = ( {1, 2, 3, 4, 5, 6}, {{1,2}, {1,5}, {5,2}, ...} )

9 Exemplo 2 Considere Gates, Brin, Page e Jobs
Considere a relação <amigo-de> entre eles Suponha que Gates e Brin são amigos Page, Brin e Jobs são amigos entre si

10 Exemplo 2 V (G2) = { Gates, Jobs, Brin, Page } E (G2) = { (p,q) | p <amigo-de> q }* = { {Gates, Brin}, {B., P.}, {B., J.}, {J., P.} } * Considerando a relação <amigo-de> simétrica Gates Brin Page Jobs G2: E se a relação <amigo-de> não for uma relação simétrica?

11 Exemplo 3 Relação <confia-em> G3:
Diferente da <amigo-de>, ela não é simétrica A direção do relacionamento é importante gates brin page jobs G3:

12 Exemplo 3 V (G3) = { Gates, Jobs, Brin, Page }
E (G3) = { (p,q) | p <confia-em> q } = { (G,B), (B,P), (P,B), (J,B), (J,P) } gates brin page jobs G3:

13 Grafo x Representação Gráfica
Um mesmo grafo pode ser representado graficamente de diversas maneiras Estes três grafos, do ponto de vista teórico, são idênticos Mesmos vértices e as mesmas arestas (ligações)

14 Definições Formais para Diversos Tipos de Grafos
Na verdade, nesta disciplina, vamos chamar de “grafos” várias estruturas matemáticas distintas estudadas separadamente na Matemática: Grafos simples (grafos “puros”?) Grafos direcionados Pseudografos Redes não-direcionadas Redes direcionadas Etc.

15 Definições Formais para Diversos Tipos de Grafos
As definições de alguns dos tipos apresentados diferem da definição formal básica apresentada até aqui Veremos as definições formais de algumas variantes ao longo da disciplina... Mas não veremos todas, porque não é nosso foco...

16 Conceitos Básicos

17 Conceitos Ordem de um grafo Tamanho de um grafo Exemplo
É o número de vértices do grafo: |V| Tamanho de um grafo É o número de arestas: |E| Exemplo Ordem? Tamanho?

18 Vizinhança e Incidência
Para grafos não-direcionados Dois vértices x e y são ditos adjacentes ou vizinhos (entre si) sse existe uma aresta ligando-os Diremos que a aresta incide em x e y Chamaremos x e y de extremos da aresta x y Nomes para relações: vértice x vértice vértice x aresta aresta x vértice

19 Grau Para grafos não-direcionados Grau de um vértice x Exemplo
Quantidade de vezes que x aparece como extremidade de alguma aresta Exemplo Grau de “5” = 3 Grau de “3” = 2

20 Grau Por que não definir o grau de x de uma dessas formas?
Quantidade de vizinhos de x? Quantidade de arestas incidentes em x?

21 Exemplo Ordem = ? Vizinhos de “Brin” = ? Grau de “Brin” = ? gates brin
page jobs

22 Vizinhança e Incidência
Para grafos direcionados Diremos que v é sucessor de u e que u é antecessor de v Mais informativo do que fizer “u e v são vizinhos” (mas pode) Alternativa: dizer que o vértice v é adjacente a partir de u, e que u é adjacente para v Vou evitar esta nomenclatura u v

23 Vizinhança e Incidência
Para grafos direcionados Antecessores do vértice x Existem arcos que saem deles e entram em x Sucessores do vértice x Existem arcos que saem de x para eles Obs.: Só é observada até 1 aresta de “distância” As arestas (x,y) e (y,z) não tornam z um sucessor de x x y z w x y z w (mas sim que z é alcançável a partir de x) ???

24 Vizinhança e Incidência
Para grafos direcionados Diremos que o arco (u,v) sai de u e entra em v Mais informativo do que dizer “incide em” Chamaremos u de vértice de saída e v de vértice de entrada do arco (u,v) Mais informativo do que chamar meramente de “extremos” u v

25 Grau Para grafos direcionados Grau de entrada de x Grau de saída de x
No. de arcos que entram em x Grau de saída de x No. de arcos que saem de x Grau (geral) de x Soma dos graus de entrada e de saída

26 Exemplo Sucessores de 4 = {3} Grau de saída = 1
Antecessores de 4 = { 1, 2 } Grau de entrada = 2 Vizinhos de 4 = { 3, 1, 2 }

27 Arestas Especiais Loop
Não-direcionado: as duas extremidades são um mesmo nó Conta +2 no grau do nó Direcionado: nó de saída é igual ao nó de entrada Conta +1 no grau de saída e +1 no grau de entrada

28 Arestas Especiais Arestas paralelas
Não-direcionadas: duas ou mais arestas que possuem as mesmas extremidades Direcionadas: duas (ou mais) arestas que saem de um mesmo nó x e entram no mesmo nó y

29 Exemplo Antecessores de 4 = { 2 } Grau de entrada de 4 = 3 (por que?)
Sucessores de 1 = { 1, 2, 3 } Grau de saída de 1 = 3 (por que?) Vizinhos de 2 = { 1, 4 }

30 Grafos x Relações

31 Relembrando Relações Relações são objetos matemáticos que definem “associações” entre elementos Relações binárias associam pares de elementos entre si Uma relação binária em um conjunto A é qualquer subconjunto do produto cartesiano A  A Exemplos...

32 Grafos Não-Direcionados como Relações
É possível definir? Como?

33 Grafos Direcionados como Relações
Seja G=(V,E) grafo direcionado, então: O seu conjunto de arestas E pode ser visto como uma relação binária no conjunto V É comum dizer que o próprio grafo é “uma relação no conjunto V” Por isso, às vezes, a terminologia de relações é usada em grafos e vice-versa Grafos simétricos, caminhos em relações, etc.

34 Fórmulas da Soma dos Graus

35 Exercício Em uma festa, as pessoas cumprimentam-se umas às outras com apertos de mão, segundo o grafo dado na aula (em que as arestas são os cumprimentos) Contabilize quantos apertos cada pessoa deu, depois some tudo Contabilize quantos apertos de mão houve, no geral. Qual a relação entre esses valores?

36 Soma dos Graus Em grafos não-direcionados, a soma dos graus de todos os vértices é igual ao dobro do número de arestas Faz sentido, pois cada aresta contribui com duas unidades para o cálculo geral dos graus Obs.: deg vem do inglês “degree”

37 Soma dos Graus (Grafos Direcionados)
Para grafos direcionados, a fórmula vale considerando o grau geral de cada vértice Soma dos graus de entrada e saída Mas como a soma dos graus de entrada (ou dos graus de saída) se relaciona com a quantidade de arestas/arcos?

38 Soma dos Graus (Grafos Direcionados)
Em grafos direcionados a soma dos graus de entrada é igual à quantidade de arestas Cada 1 aresta direcionada (arco), contribui em 1 para a soma geral dos graus de entrada O mesmo vale para a soma dos graus de saída

39 “Em todo grafo, existe uma quantidade par de vértices de grau ímpar”
Lema do Aperto de Mãos Afirma que “Em todo grafo, existe uma quantidade par de vértices de grau ímpar” Prova: A soma dos graus dos x vértices de grau ímpar é Ímpar, se x for ímpar Par, se x for par A soma dos graus dos y vértices de grau par é: Par, independente de x Mas a soma dessas duas somas é sempre par!