Princípios de Telecomunicações

Apresentação em tema: "Princípios de Telecomunicações"— Transcrição da apresentação:

1 Princípios de Telecomunicações
EE –05 Princípios de Telecomunicações AULA 2 Análise de Fourier

2 Generalização  Transformada de Fourier
Sinais e espectros Os sinais são compostos de várias componentes senoidais (Série de Fourier) Generalização  Transformada de Fourier

3 Aplicações A análise da largura de faixa permitirá o dimensionamento do sistema e o seu adequado projeto. Determinação da distribuição espectral de um sinal de microondas e do ângulo de chegada, através de uma transformada de Fourier espacial

4 Operação transformada
A fim de se realizar uma operação de transformação, deve-se inicialmente modelar matematicamente o sinal. Objetivo: Série de Fourier; Transformada de Fourier; Relação entre ambas.

5 Fasores e espectro de linhas
Seja um sinal senoidal dado pela seguinte expressão: Utilizando-se da relação de Euler, tal que:

6 Representação fasorial
Podemos expressar o sinal senoidal por um fasor, tal como na figura abaixo:

7 Espectro de amplitudes e espectro de fases
Alternativamente, pode-se representar o sinal senoidal pelos seus espectros de amplitudes e de fases, tal como na figura. Espectro de linhas ou de raias: (a) espectro de amplitudes; (b) espectro de fase

8 Observações: i. A amplitude (magnitude), no espectro de amplitudes, deve ser sempre positiva . Assim, um sinal descrito por deve ser re-escrito como .É indiferente se é utilizado + ou -. ii.  tem a dimensão radianos e, portanto, a fase deve ser expressa em radianos. Lembrar que  = 2..f em rad/s e f em Hz. iii. Ângulos e rotação positiva são medidos a partir do eixo real, no sentido anti-horário. iv. Formas de onda cosseno e seno são genericamente denominadas de forma de onda senoidais. Lembrar que , , ou seja, o sinal seno é um sinal cosseno atrasado de /2 (ou, 900 ).

9 Exemplo Dado o sinal: Cuja forma de onda é:
Determinar o seu espectro de freqüência (amplitude e fase)

10 Solução O sinal pode ser reescrito como:
Assim, o seu espectro de freqüências será:

11 Série de Fourier Seja uma função periódica de período T. Esta função pode ser representada pela série de Fourier Trigonométrica: Com 0 = 2/T Que pode ser reescrita da forma:

12 Ortogonalidade das funções seno e cosseno
Definição de ortogonalidade: Um conjunto de funções {k(t)} é dita ortogonal em um intervalo a < t < b se, para quaisquer duas funções m(t) e n(t) no conjunto {k(t)} é válida a relação

13 Relação de ortogonalidade de funções seno e cosseno
Com 0 = 2/T

14 Série de Fourier

15 Exemplo 1 Determinar a série de Fourier do sinal
Cujo gráfico em função do tempo é dado por:

16 Exemplo 1 Como o sinal é periódico, é possível o cálculo da série de Fourier. A tarefa é portanto o cálculo dos coeficientes da série de Fourier, lembrando que:

17 Exemplo 1 Cálculo do a0 e an

18 Exemplo 1 Cálculo de bn

19 Exemplo 1 A série de Fourier fica então assim:
A seguir façamos uma análise da série de Fourier tomando-se um número de termos cada vez maior

20 Exemplo 1 Supondo uma onda quadrada de freqüência angular=2 rad/s e tomando-se somente o primeiro termo da série de Fourier , tem-se a seguinte forma de onda:

21 Exemplo 1 Tomando-se os dois primeiros termos: Cuja forma de onda é:

22 Exemplo 1 Tomando-se os três primeiros termos Cuja forma de onda é:

23 Exemplo 1 Tomando-se os 5 primeiros termos
Cuja forma de onda é dada por:

24 Exemplo 2 Determinar a série de Fourier da função f(t) definida por:

25 Determinação dos coeficientes an e bn

26 Determinação dos coeficientes an e bn

27 Tomando-se os seis primeiros termos em senos e cossenos, tem-se que:
Cuja forma de onda é dada por:

28 Tomando-se mais termos, tem-se o gráfico abaixo, onde se pode observar o efeito de Gibbs nas transições da função.