Introdução a Integrais

Apresentação em tema: "Introdução a Integrais"— Transcrição da apresentação:

1 Introdução a Integrais
George C. Cardoso

2 Area sob uma função: ajustando retangulos (Soma de Riemann)

3 Soma de Riemann 0 𝑥 𝑜 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Vamos calcular por soma de Riemann:
0 𝑥 𝑜 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Vamos calcular por soma de Riemann: 0 𝑥 𝑜 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑛→∞ 𝑖=1 𝑛 𝑓( 𝑥 𝑖 ) ∆𝑥 Exemplo: Vamos calcular a área sob a função entre Zero e xo 𝑓 𝑥 = 𝑥 2

4 Notação de somatório Ver wikipedia

5 Soma de Progressão aritmética (P.A.)
(n-1) + n = S n + (n-1) + (n-2) = S (n+1) + (n+1) (n+1) + (n+1) = 2S n(n+1) = 2S S = 1 2 𝑛(𝑛+1) = 1 2 𝑛(𝑛+1)

6 Alguns Resultados de Somas de Progressões Aritméticas
Propriedades algébricas dos somatorios:

7 Soma de Riemann Exemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 Vamos calcular por soma de Riemann:
0 𝑥 𝑜 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Solução: 0 𝑥 𝑜 𝑓 𝑥 𝑑𝑥= lim 𝑛→∞ 𝑖=1 𝑛 𝑓(𝑥) ∆𝑥 = lim 𝑛→∞ 𝑖=1 𝑛 (𝑖∆𝑥) 2 ∆𝑥= lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑜 𝑛 3 𝑖=1 𝑛 𝑖 2 = lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑜 𝑛 3 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1) 6 = lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑜 𝑛 𝑛 𝑂( 𝑛 2 ) = lim 𝑛→∞ 𝑥 𝑜 𝑂( 𝑛 2 ) 𝑛 3 = 𝑥 𝑜

8 Regra da integral de um monomio
Exemplo: Integral indefinida (anti-derivada) da função y = x é facilmente determinada pela regra acima: 𝑥𝑑𝑥= 𝑥 2 2 𝑑𝑥, 3 𝑥 3 𝑑𝑥 Exercicios em sala: Calcular as integrais indefinidas , e :

9 Teorema Fundamental do Calculo

10 Teorema Fundamental do Calculo

11 Teorema Fundamental do Calculo
Por inspeção das áreas entre zero e x1 e entre zero e xo temos: Exemplo: f(x) = x2 Aqui, a função F(xo) é a anti-derivada de f(x), ou seja, derivando F(xo) obteremos f(x) Será que para uma função qualquer, digamos g(x) = arctanh(Ln(cos(x+32x2)))), a integral será também a anti-derivada?

12 Teorema Fundamental do Calculo
f é a derivada de F. Diz-se que F é a primitiva de f

13 Teorema Fundamental do Calculo
Será que para uma função qualquer, digamos g(x) = arctanh(Ln(cos(x+32x2)))), a integral (a área entre zero e xo) será também a anti-derivada? Exemplo simples:

14 Integrais Definidas e Indefinidas
A “área” sob a função, no intervalo de a até b Simplesmente a anti-derivada (o que se encontra nas Tabelas de integral) Ex.: Se f(x) = 3, F(x) = 3x + C, onde C é uma constante As integrais indefinidas sempre tem uma constante desconhecida Indefinida:

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16 Usando as tabelas de integrais

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18 Integrando para obter leis do movimento (Exemplo do significado da constante C)
Digamos que um corpo sofre uma aceleração a(t) = a (constante)

19 Notação simplificada para resolver integral definida
Precisamos: Encontrar a primitiva (sem incluir a constante C) Calcular a primitiva em 3 (limite superior da integração) Calcular a primitiva em 2 (limite inferior da integração) Subtrair os resultados . É o valor da integral definida. Como nesse caso a função entre 2 e 3 tem valores sempre positivos, esse valor da integral corresponde à área vermelha sob a curva da função Essa barra vertical significa que já estamos trabalhando com a primitiva. Devemos calcular a primitiva em 3 (limite superior), calcular F em 2 (limite inferior) e subtrair os resultados.

20 Exemplos de Integração
Indefinidas (olhar a tabela, muitas vezes precisa fazer substituição de variáveis) Definidas (exemplo: cálculo do valor médio da função)

21 Integração por substituição
Sabemos da tabela que Qual será a integral de ? (Não está na tabela) Se chamarmos u = 2x + 3, a integral fica com essa cara: Não podemos integrar pois u está misturado com dx Vamos reescrever dx em termos de u: Derivando ambos os lados de u = 2x +3, temos du = 2dx +0  dx =du/2 Falta substituir u por 2x +3 :