Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

Apresentação em tema: "Prof. Marcelo de Oliveira Rosa"— Transcrição da apresentação:

1 Prof. Marcelo de Oliveira Rosa
Série de Fourier (FS) Prof. Marcelo de Oliveira Rosa

2 Série de Fourier Anteriormente... Análise de Fourier
Sinais  combinação linear de δ(t) Sistemas  resposta ao impulso h(t) Análise de Fourier Sinais  combinação linear de “senóides” Exponenciais complexas Sistemas  resposta em freqüência

3 Série de Fourier Excitação periódica
Sistema linear e invariante no tempo (LTI) Aplicando um impulso ao sistema Resposta ao impulso Aplicando um trem de impulsos ao sistema “Resposta periódica” Apenas resposta forçada da EDO que rege o LTI

4 Série de Fourier Excitação periódica Exemplos: Resposta ao impulso
Gota em tanque de água Mola  Massa Resposta ao impulso

5 Série de Fourier Excitação periódica Presença de transitório

6 Série de Fourier Excitação periódica Exercício

7 Série de Fourier Excitação periódica Presença de transitório
Exigência de excitação iniciar “a muito tempo atrás” Operação trabalhosa Soma infinita de respostas ao impulso atrasadas Como analisar apenas a resposta forçada do sistema a uma excitação periódica?

8 Série de Fourier Excitação exponencial complexa Dado:
Sistema LTI  h(t) Excitação exponencial complexa  x(t) = e+jΩt Por convolução, a resposta é: Note: resposta para uma freqüência específica  Ω

9 Série de Fourier Excitação exponencial complexa
Pelo princípio da superposição Para o sistema  h(t) A resposta é com

10 Série de Fourier Excitação exponencial complexa Autovalor
Projeção da função h(t) sobre a função g(t) = e+jΩt Produto interno  <h(t), g*(t) > Autovetor/Autofunção Direção g(t) considerada na qual se projeta h(t)

11 Série de Fourier Excitação exponencial complexa Exemplo
Aproximação de onda triangular inclinada usando sinais do tipo cos(kΩt+Θ)

12 Série de Fourier Excitação exponencial complexa
As freqüências kΩ são chamadas harmônicas k ∈ Z São múltiplas de 2π/T Cada Ak cos(kΩt+Θ) pode ser convertido em: [Ak cos(Θ)] cos(kΩt) + [–Ak sen(Θ)] sen(kΩt) Senóides com fase  soma de senóides e cossenóides ponderadas.

13 Série de Fourier Definição
Se x(t) é periódico, com período T, t0≤t<t0+T E X[k]  k-ésima amplitude harmônica das exponenciais complexas da decomposição de x(t) Ω = 1 / T

14 Série de Fourier Definição Em termos de senos e cossenos E
Xc[k] e Xs[k]  k-ésima amplitude harmônica das senóides e cossenóides da decomposição de x(t)

15 Série de Fourier Definição Condições de existência
Sinal absolutamente somável entre t0≤t<t0+T Número finito de máximos e mínimos entre t0≤t<t0+T Número finito de descontinuidades entre t0≤t<t0+T Sinais hipotéticos não possuem série de Fourier x(t) = sen(1/t)

16 Série de Fourier Questão de periodicidade A partir de: Temos que:

17 Série de Fourier Questão de periodicidade

18 Série de Fourier Questão de periodicidade

19 Série de Fourier Questão da periodicidade Reforçando:
k ∈ Z Não existe componente para k não inteiro! X[k] é uma seqüência/série de números Ω = 1 / T Freqüência de cálculo está relacionado com o período do sinal escolhido para a análise da série Existem 2 períodos envolvidos Período real do sinal Período para cálculo da Série de Fourier Exemplos/Exercícios

20 Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS
Usando uma amplitude harmônica Xn[k] O erro mínimo será: Com argmin{Ee} = X[k]

21 Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS

22 Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS

23 Série de Fourier Truncamento e Convergência da FS Sinais “contínuos”
Convergência com número finito de harmônicos Sinais “descontínuos” Presença de impulsos  δ(t) Mas não atinge convergência absoluta Fenômeno de Gibbs Representação de função descontínua usando função contínua (no caso, exponenciais complexas) Oscilação nas regiões de descontinuidade

24 Série de Fourier Truncamento e Convergência de FS
Sinais “descontínuos” Exemplos: Filtro passa-baixa em sinal degrau (unitário ou não) “Ruído” em imagens compactadas (JPEG) “Ruído” em vídeo digital compactado (MPEG, TV digital) Pré-eco em instrumentos de percussão

25 Série de Fourier Truncamento e Convergência de FS
Aproximação de u(t) via FS A A/2

26 Série de Fourier Propriedades Linearidade com T = m Tx = q Ty

27 Série de Fourier Propriedades Inversão de tempo com T = m Tx

28 Série de Fourier Propriedades Deslocamento no tempo
com T = m Tx Deslocamento em freqüência

29 Série de Fourier Propriedades Deslocamento no tempo  atraso de fase

30 Série de Fourier Propriedades
Deslocamento na freqüência  modulação AM

31 Série de Fourier Propriedades Escala de tempo com T = m Tx ou

32 Série de Fourier Propriedades Diferenciação Com T = m Tx

33 Série de Fourier Propriedades Integração Com T = m Tx e X[0]=0
Se X[0] ≠ 0, a integral de x(t) deixa de ser periódica Inexistência da série de Fourier para tal sinal

34 Série de Fourier Propriedades Modulação com T = m Tx = q Ty

35 Série de Fourier Propriedades Convolução periódica com T = m Tx = q Ty

36 Série de Fourier Propriedades Modulação e Convolução
Modulação no tempo Convolução em freqüência Convolução no tempo  Modulação em freqüência Princípio de filtragem!

37 Série de Fourier Propriedades Conjugado Com T = m Tx
Propriedade decorrente: Se x(t) é par, |X[k]|2 – módulo – é par Se x(t) é par, <X[k] – fase – é impar

38 Série de Fourier Propriedades Teorema de Parseval Com T = m Tx
Potência média do sinal  Soma das potências médias harmônicas

39 Série de Fourier Aplicação em Análise de Sistemas LTI
Do conceito de autofunção Excitação  exponencial complexa (freqüência Ω) Resposta  exponencial complexa (freqüência Ω) Exemplos/Exercícios

40 Série de Fourier Aplicação em Análise de Sistemas LTI
Aplicação direta sobre EDO Linear a coeficientes constantes Obtenção da resposta do sistema a componentes harmônicos espectrais Por manipulação algébrica Apenas para harmônicos de Ω = 2π/T