Taxa de variação - Reta tangente - Derivada

Apresentação em tema: "Taxa de variação - Reta tangente - Derivada"— Transcrição da apresentação:

1 Taxa de variação - Reta tangente - Derivada
Profª Ursula Tatiana Timm

2 Taxa de variação Intervalo (em min) Variação média 8 8 8 8 8
Duração do Intervalo Intervalo (em min) Variação média 8 8 8 8 8 Aproximando-se de 4 A duração do intervalo se aproxima de ZERO A taxa de variação na quantidade de água para o instante t=4min é 8.

3 A duração do intervalo se aproxima de ZERO
Duração do Intervalo Intervalo (semanas) Variação média 6 5,66 5,55 5,55 Velocidade de alastramento dessa gramínea na 3ª semana: 5,5m²/semana Aproximando-se de 3 A duração do intervalo se aproxima de ZERO A taxa de variação média da área ocupada por essa gramínea em um intervalo de tempo pode ser chamada de velocidade média de alastramento da gramínea (em m²/semana).

4 O Cálculo é um ramo da Matemática que estuda as taxas de variação de funções. Veremos que as taxas de variação possuem diversas aplicações na vida real. Vimos que a inclinação de uma reta indica a taxa pela qual ela cresce ou decresce. Essa taxa é a mesma para todos os pontos de uma reta. Porém, para gráficos que não sejam retas, a taxa pela qual esse gráfico cresce ou decresce muda a cada ponto da curva.

5 f(x) (x3, y3) f(x3) f(x2) (x2 , y2) (x4 , y4) f(x4) f(x1) (x1, y1) t
Para determinar a taxa na qual um gráfico cresce ou decresce em um determinado ponto, pode-se determinar a inclinação da reta tangente àquele ponto. De forma simples, podemos dizer que a reta tangente ao gráfico de uma função f em um ponto P(x1,y1) é a reta que melhor aproxima o gráfico naquele ponto.

6 Revisão sobre equação de reta no plano
1. Ângulo de inclinação de uma reta Chamamos ângulo de inclinação de uma reta r o ângulo , , que a reta r forma com o eixo positivo OX. v= 90o x y O u u t t v v x y O r r r s s p = 0o p  Ângulo de inclinação da reta r é o ângulo formado pelo eixo positivo Ox e a reta r

7 2. Coeficiente angular de uma reta
A tangente do ângulo de inclinação de uma reta r, caso esteja definida, é chamada coeficiente angular da reta r (m). v= 90o mv não está definido r é agudo: x y O x y O u u v v r r r Notação: tg (r ) = mr p = 0o p r u é obtuso:

8 3. Equação de uma reta x y O mr = tg ( r ) r r Q x y y – y0 P r xo
x – x0  Observe que a equação  só é satisfeita pelas coordenadas dos pontos da reta r. Por essa razão, dizemos que a equação  representa a reta r, ou é uma equação da reta r.

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10 Equação da reta tangente ao gráfico de uma função y = f(x)
Seja f uma função definida no intervalo aberto (a, b), contínua em xo que pertence ao intervalo (a, b) e P(xo, f(xo)) . Considere um ponto Q(x ,f(x)) qualquer do gráfico de f. Seja s a reta secante ao gráfico de f nos pontos P e Q. Lembre-se de que o coeficiente angular da reta s é dado por: Observe que quando o ponto Q se aproxima de P, o ângulo de inclinação da reta secante se aproxima do ângulo de inclinação da reta tangente. Assim, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f pode ser calculado como: , se esse limite existe e é finito.

11 , se esse limite existe e é finito.
Pode-se também fazer a mudança de variável: Então, Assim, Definição 1 Seja f uma função definida em (a, b) e contínua em xo pertencente a (a, b). A reta que passa por P(xo, f(xo)) e satisfaz uma das condições dadas a seguir, chama-se reta tangente ao gráfico de f no ponto xo (i) Possui coeficiente angular  , se o limite  existe e é finito. (ii) Possui equação x = xo , se o limite  é infinito.

12 Se o gráfico forma um "bico" no ponto (a, f(a)) então não existe reta tangente neste  ponto . 

13 Definição 2 Seja f uma função definida em (a, b) e contínua em xo pertencente a (a, b). A reta que passa por P(xo, f(xo)) e é perpendicular à reta tangente ao gráfico de f em xo , chama-se reta normal ao gráfico de f no ponto xo.

14 Exemplos Em cada item, determine as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f, no ponto de abscissa dado. Resolução: A reta tangente t passa pelo ponto P(xo, f(xo)) , então, Assim, P é o ponto P(0, -1). A reta tangente t possui coeficiente angular mt igual a: Daí, a reta tangente t possui equação: Lembre-se de que a reta normal é perpendicular à t e passa pelo ponto P. Logo, a reta normal n possui equação x = 0.

15 A reta tangente t passa pelo ponto P(xo, f(xo)) , assim:
Então, o ponto P(1, 4). A reta tangente t possui coeficiente angular mt igual a: 2 3 -5 1 2 5 Assim, a reta tangente t possui equação: E a reta normal n possui equação

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17 Reta tangente e derivada
Profª Ursula Tatiana Timm

18 O limite aparece em várias áreas do conhecimento, assumindo uma posição de destaque na resolução de muitos problemas. Por essa razão, quando este limite for finito, dizemos que o mesmo é a derivada da função f no ponto xo. Notação: Exemplo Determine a derivada da função f(x) = x2 no ponto x =1 e xo . Definição 3 Dizemos que uma função f é derivável no intervalo (a,b) se existe f ’(xo) para todo xo pertencente a (a,b).

19 Teorema Observe o exemplo Lembre-se de que
Desse modo essa função não é derivável no ponto x = 1. Embora, exista a reta tangente ao gráfico de f em x = 1. Teorema Se f é uma função derivável no ponto xo então f é contínua em xo . Mas, uma função f pode ser contínua em xo e não ser derivável em xo.

20 Definição 4 A derivada da função f é uma função que a cada xo do domínio de f associa f ’(xo), ou seja, Exemplo 1: Determine a função derivada da função Logo,

21 Então, podemos dizer que uma pequena variação em x próximo de x=3, acarreta uma variação 6 vezes maior em P, próximo de P = 9.

22 Diferentes Derivadas para Diferentes Pontos e a Função Derivada

23 -0,1 -0,01 -0,001 0,1 0,01 0,001

24 A tabela a seguir apresenta os valores das derivadas da função y=x² para os pontos em que x é 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Podemos estabelecer uma relação de associação de cada ponto para um único valor de derivada correspondente. Podemos pensar então em uma função que dá a derivada para cada ponto x. Ou seja, podemos escrever a derivada como uma função de x, e tal função será simbolizada por f'(x). Para a função analisada, são sugestivos os resultados das derivadas obtidas conforme a tabela, pois cada resultado de f'(a) é o dobro do valor de a. Para esse caso, podemos dizer que f‘(x)=2x. 1 2 3 4 5 6 8 10 12

25 Problemas com Derivada

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27 -0,1 -0,01 -0,001 0,1 0,01 0,001

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30 Volume de um cilindro de raio r e altura h

31 Sintetizando 1. A derivada da função f no ponto xo é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f neste ponto. , se esse limite existe e é finito. 2. Equação da reta tangente: Quando a reta tangente possui equação: 3. Equação da reta normal: