Cálculo 4 Aula 19 Equações Lineares de 2ª ordem Prof. Gabriel Bádue.

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1 Cálculo 4 Aula 19 Equações Lineares de 2ª ordem Prof. Gabriel Bádue

2 Teoria Uma equação diferencial linear de segunda ordem tem a forma
onde P, Q, R e G são funções contínuas. Se G(x) = 0 para todo x, a equação é chamada equação linear homogênea.

3 Teoria Se as funções coeficientes P, Q e R forem funções constantes, a equação diferencial pode ser escrita na forma onde a, b e c são constantes e a  0.

4 ar2er x + brer x + cer x = 0 ou (ar2 + br + c)er x = 0
Teoria Estamos procurando uma função y tal que uma constante vezes sua segunda derivada y  mais outra constante vezes y  mais uma terceira constante vezes y é igual a 0. Sabemos que a função exponencial y = er x (onde r é uma constante) tem a propriedade de que sua derivada é um múltiplo por constante dela mesma: y  = rerx. Além disso, y  = r2er x. Se substituirmos essas expressões na equação anterior, veremos que y = er x é uma solução se ar2er x + brer x + cer x = 0 ou (ar2 + br + c)er x = 0 Assim, y = erx é uma solução se r é uma raiz da equação equação característica

5 Teoria Considerando que as raízes são iguais a:
Teremos três casos possíveis, de acordo com o sinal do discriminante b2 – 4ac.

6 Teoria

7 Exemplos Exemplo 1 Resolva as equações abaixo. y  + y  – 6y = 0.
Resolva o problema de valor inicial y  + y  – 6y = y(0) = y (0) = 0

8 Exercícios STEWART, J. Cálculo, volume 2. Tradução da 7ª edição norte-americana Seções 17.1 p. 1025 Exercícios 1 ao 13, 17 ao 32