Universidade Federal do Rio de Janeiro

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COPPE – Programa de Engenharia Química OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS  Prof. Argimiro R. Secchi  AULA 4: - Otimização com restrição 2019

Otimização com restrição
min S(x) sujeito a: hj(x) = 0 , j = 1, 2, ..., m gj(x)  0 , j = 1, 2, ..., p x  X  n KKT 1ª ordem: xL(x*, *, *) = S(x*) + (*)T h(x*) + (*)T g(x*) = 0 h(x*) = g(x*)  0 *  j* gj(x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p KKT 2ª ordem: dT L(x*, *, *) d  0 Thi(x*) d = 0 , i = 1, 2, ..., m Tgj(x*) d = 0 para as gj(x*) ativas {gj(x*) = 0 e j* > 0} Tgj(x*) d  0 para as gj(x*) ativas {gj(x*) = 0 e j* = 0}

Programação linear: min S(x) = cT x sujeito a: A x  b x  0 Programação quadrática: min S(x) = cT x + ½ xT Q x Programação não-linear: min S(x) sujeito a: hj(x) = 0 , j = 1, 2, ..., m gj(x)  0 , j = 1, 2, ..., p

Formulação PRIMAL Formulação DUAL Função Dual

Espaço Primal Espaço Dual

Determinação da direção de busca: dk
Métodos de Otimização xk+1 = xk + xk xk+1 = xk + k dk Determinação da direção de busca: dk Caminho viável (feasible path): xk+1  K = {x  X  n / h(x) = 0, g(x)  0} Caminho inviável (unfeasible path): xk+1  X  n Direção d promissora: TS(xk) d < 0  S(xk +  d) < S(xk),  > 0 S’(xk,d) = TS(xk) d (derivada direcional) Busca em linha (linesearch): min S(xk +  dk)  k  Otimização monovariável

Otimização com Simuladores de Processo
min S(x,u) sujeito a: hj(x,u) = 0 , j = 1, 2, ..., m gj(x,u)  0 , j = 1, 2, ..., p x  X  m u: variáveis especificadas (condições operacionais ou parâmetros de projeto) Caminho viável min S[x(u),u] sujeito a: gj(x(u),u)  0 , j = 1, 2, ..., p x(u)  {x  X  m / h(x,u) = 0} ux = uh [xh] JT(x,u) = xh Otimizador x(u) ux u Simulador

Programação Linear min S(x) = cT x sujeito a: A x  b x  0
Região de busca: formada por interseções de hiperplanos, dados pelas restrições lineares, A x  b e x  0, gerando um poliedro convexo, isto é, um conjunto P = {x / A x  b e x  0} de vetores no n. 2 x1 + x2  8 4 x1 + x2  10 x1  0 e x2  0 e

Programação Linear “O ótimo de uma função linear em um poliedro convexo P  n é obtido em no mínimo um vértice. Se ele é obtido em mais de um vértice, então ele é obtido em todos os pontos pertencentes a combinação convexa destes vértices”. prova: sejam x1, x2, ..., xp, os vértices do poliedro P, então, fazendo: e sabendo que  x  P pode ser obtido pela combinação convexa:

Programação Linear Exemplo 4.1: min S(x1, x2) = 6 x1  2 x2
sujeito a 2 x1 + x2  8 4 x1 + x2  10 x1  0 e x2  0 Métodos Conjuntos Ativos (Active Sets) Ponto Interior

Método Simplex (active sets)
Programação Linear Método Simplex (active sets) min S(x) = cT x sujeito a: A x  b x  0 Inclusão de variáveis de folga, fi  0 (i = 1, 2, ..., m, restrições de desigualdade): A x  b  A x + f = b, b  0 A x  b  A x  f = b, b  0 gerando um sistema subdeterminado de m equações com p = n+m variáveis. Necessário especificar n variáveis (não básicas) para obter as demais (variáveis básicas) em função dessas (GL = n). Vértice viável: variáveis não básicas = 0  variáveis básicas  0 Vértice inviável: variáveis não básicas = 0  variáveis básicas < 0

Método Simplex (active sets)
Programação Linear Método Simplex (active sets) Sistema de equações lineares: B y = d Algoritmo SIMPLEX (xo = 0) 1) Se ci  0  i = 1,2,...,n, então a solução ótima foi encontrada, bastando igualar a zero as variáveis não básicas e resolver o sistema B y = d. FIM. 2) Pivotamento: identificar o k-ésimo elemento da linha m+1 da matriz B com o menor valor (corresponde ao índice da variável que causa a maior redução da função objetivo). A k-ésima variável será incluída na base. Identificar o s-ésimo elemento do vetor bi / ai,k com menor valor positivo (corresponde à restrição mais próxima, e valores negativos não violam a restrição com o aumento da k- ésima variável). A s-ésima variável de folga será removida da base. 3) Eliminação de Gauss-Jordan: executar as operações elementares na matriz B (para levar de uma solução básica para outra), tomando como elemento pivô: as,k e (ir para 1).

Programação Linear Resolvendo o Exemplo 4.1 pelo Método Simplex:
min S(x1, x2) = 6 x1  2 x2 sujeito a 2 x1 + x2  8 4 x1 + x2  10 x1  0 e x2  0 Variáveis não básicas finais: f1 = 0 e f2 = 0  x1 = 1 , x2 = 6 e S(x) = 18 Multiplicadores de Lagrange

Método Simplex: Primal (m < n) e Dual (m > n)
Programação Linear Função de Lagrange para o problema de programação linear: L(x,,) = cT x + T (A x  b)  T x = (cT + T A  T) x  T b xL(x*,*,*) = c + AT *  * =   0 e   0 L(x*,*,*) = (*)T b = (*) = S(x*) = cT x* bS(x*) = * (shadow prices) c(*) = x* Primal Dual min S(x) = cT x sujeito a: A x  b x  0 max () = bT  sujeito a: AT   c   0 Usando o conceito de variável de folga: f = b  A x  0 e  = c + AT   0 Método Simplex: Primal (m < n) e Dual (m > n)

Programação Linear Exercício 26: Utilização dos softwares OCTAVE e MATLAB para aplicação do algoritmo Simplex para Programação Linear. MATLAB: A = [2 1; 4 1]; b = [8; 10]; c = [-6; -2]; lb = [0;0]; ub = []; op=optimset('linprog'); op=optimset(op,'LargeScale','off'); [x,S,eflagx,outpx,mx]=linprog(c,A,b,[],[],lb,ub,[],op) % PRIMAL [u,FI,eflagu,outpu,mu]=linprog(b,-A',c,[],[],lb,ub,[],op) % DUAL OCTAVE: ( < 0 na minimização) ctype="UU"; % A x <= b vtype="CC"; % continuous variables xtype=1; % minimization utype=-1; % maximization param.lpsolver = 1; % active set: simplex [x,S,eflagx,outx]=glpk(c,A,b,lb,ub,ctype,vtype,xtype,param) % PRIMAL [u,FI,eflagu,outu]=glpk(-b,-A',c,lb,ub,ctype,vtype,utype,param) % DUAL

Programação Linear Subject to: (A) (B) (C)

Programação Linear Exercício 27: Utilização dos softwares OCTAVE e MATLAB para resolução do problema de otimização da refinaria pelo algoritmo Simplex. MATLAB: c=[8.1; 10.8]; A=[ ; ; ]; b=[24000; 2000; 6000]; lb=[0;0]; ub=[]; x0=[0; 0]; op=optimset('linprog'); op=optimset(op,'LargeScale','off'); [x,S,eflag,outx,mx]=linprog(-c,A,b,[],[],lb,ub,x0,op) OCTAVE: ( < 0 na minimização) lb=[0;0]; ub=[]; ctype="UUU"; % A x <= b vtype="CC"; % continuous variables ptype=-1; % maximization param.lpsolver = 1; [x,S,eflag,outx]=glpk(c,A,b,lb,ub,ctype,vtype,ptype,param)

Aumento de capacidade +10% na produção de gasolina b1 = 26400
S = b1 1 = 2400  4,6552 = 11172,41 +10% na produção de querosene b2 = 2200 S = b2 2 = 200  87,5172 = 17503,45

Limite no aumento de capacidade
+20% na produção de querosene b2 = 2400 S = b2 2 = 400  87,5172 = 35006,90 S = 18651,22 (valor correto) 2 = 0 (restrição inativa) b2,max = 18651,22 / 87,5172 = 213,11 (10,66%)

Programação Linear Exercício 28: Utilização dos softwares OCTAVE e MATLAB para resolução do problema de otimização de um cracker pelo algoritmo Simplex (Edgar & Himmelblau, p. 484). MATLAB e OCTAVE: cracker.m

Programação Linear (conceito de custo reduzido)
min S(x) = sujeito a: B xB + N xN = b xB  0, xN  0, b  0 xT = [xB ¦ xN] , xB  m (vetor básico) e xN  n (vetor não básico) A = [B ¦ N] , B  mm (matriz base) e N  nn (matriz não básica) cT = [cB ¦ cN] , cB  m e cN  n são os coeficientes da função objetivo xB = B1 b  B1 N xN custo ou gradiente reduzido Usado para determinar qual a variável não básica se tornará básica (coluna pivô).

Método do Ponto Interior
Programação Linear Método do Ponto Interior min S(x) = cT x sujeito a: A x = b x  0 (incluindo var. folga) d = S(x) = c = dp + dr  = {dp  n | A dp = 0} (espaço nulo) R = {dr  n | dr = AT ,   m} =  (dr)T dp = e dp = d  dr = d  AT  T A (d  AT ) = 0  = (A AT)1 A d dp = d  AT (A AT)1 A d = P d P = I  AT (A AT)1 A (matriz de projeção)

Programação Linear Método do Ponto Interior min S(x) = cT x sujeito a: A x = b x  0 xk+1 = xk + k dk A xk = b (ponto viável) A xk+1 = b (ponto viável) A (xk+1  xk ) = 0 = k A dk  A dk = 0  dk = dp Método de Dikin (1987) ou Karmarkar (1984) ou Mehrotra (1992): Transforma-se o espaço para levar xk para o centróide do poliedro y = D-1 x D = diag(xk)

Programação Linear Método do Ponto Interior A x = b = A DD1 x = A D y S(y) = cT DD1 x = cT D y min S(y) = cT D y sujeito a: A D y = b y  0 O tamanho do passo na direção dp é obtido de modo a obter o maior avanço sem tornar a solução inviável, isto é: * =   max { > 0 | xk +  dp  0} =   min { | dpi < 0, i = 1,..., n} 0 <  < 1 é um fator de segurança para que os pontos permaneçam no interior da região viável (usualmente   [0,9 0,9999]).

Programação Linear Método do Ponto Interior Exemplo 4.2: considere o problema min S(x) = x1 + 2 x2 + 3 x3 sujeito a x1 + x2 + x3 = 1 x  0 com xo = [1/3 1/3 1/3]T e x* = [1 0 0]T. A = [ ] b = 1 c = [ ]T P = I  AT (A AT)1 A = dp = P d = P c = [1 0 1]T

Programação Linear Método do Ponto Interior 0 =   min { | dpi < 0, i = 1,..., n} =   1/3 Usando um valor  = 0,98, tem-se o ponto x1 = [1,98/3 1/3 0,02/3]T, ilustrado na figura pelo ponto da fronteira [2/3 1/3 0]T. Assim, na próxima iteração a matriz de escalonamento é dada por D = diag(1,98/3, 1/3, 0,02/3). Exercício 29: Utilização dos softwares OCTAVE e MATLAB para aplicação do algoritmo de Karmarkar para Programação Linear. MATLAB e OCTAVE: c=[1; 2; 3]; A=[ ]; b=1; x0=[1/3; 1/3; 1/3]; plot3([1;0;0;1],[0;1;0;0],[0;0;1;0],'-b'); hold on [xo,Ot,nS,lambda]=karmarkar(c,x0,A,b,[],[],1,0.98)

Programação Linear Método do Ponto Interior Exercício 30: Utilização dos softwares OCTAVE e MATLAB para resolução do problema de otimização da refinaria pelo algoritmo de Mehrotra. MATLAB: c=[8.1; 10.8]; A=[ ; ; ]; b=[24000; 2000; 6000]; lb=[0;0]; ub=[]; x0=[0; 0]; op=optimset('LargeScale','on','Display','iter','MaxIter',100,'TolFun',1e-4); [xi,Si,eflagi,outi,mxi]=linprog(-c,A,b,[],[],lb,ub,[],op) OCTAVE: ( < 0 na minimização) lb=[0;0]; ub=[]; ctype="UUU"; % A x <= b vtype="CC"; % continuous variables ptype=-1; % maximization param.lpsolver = 2; [xi,Si,eflagi,outi]=glpk(c,A,b,lb,ub,ctype,vtype,ptype,param)

Programação Linear Método do Ponto Interior Exercício 31: Utilização do software EMSO para resolução de um problema de otimização de um turbo-gerador pelo método do ponto interior (Edgar & Himmelblau, p. 435, exemplo 11.4). Arquivo power_system.mso.

Programação Quadrática
min S(x) = cT x + ½ xT Q x sujeito a: A x  b x  0 Lembrando que: xT M x é um escalar  xT M x = [xT M x]T = xT MT x xT M x = xT Q x

Função de Lagrange L(x, , ) = cT x + ½ xT Q x + T (A x  b)  T x xL(x, , ) = c + Q x + AT    KKT de 1ª ordem com a inclusão das variáveis de folga: A x + f  b = 0 c + Q x + AT    = 0 T f = 0, T x = 0 (ou T f + T x = 0) x  0, f  0,   0,   0 Multiplicando a segunda equação por x/2: (c + Q x + AT   )T  x/2 = 0  ½ xT Q x = ½ (T x  T A x  cT x) Substituindo as demais condições: A x = b  f , T x = 0 e T f = 0 ½ xT Q x =  ½ (T b + cT x)

Substituindo na função objetivo: S(x) = cT x + ½ xT Q x minmax S(x, f, , ) = ½ (cT x  T b) sujeito a: A x + f  b = 0 c + Q x + AT    = 0 x  0, f  0,   0,   0 (min x e f, max  e ) Que pode ser reorganizado na forma: min S(x) = cT x sujeito a: A x = b x  0 com cT = ½ [cT ¦ 0m ¦ bT ¦ 0n] xT = [xT ¦ fT ¦ T ¦ T]  2p bT = [bT ¦ cT]

Substituindo ½ xT Q x na função de Lagrange, resulta: L(x, f, , ) = ½ (cT x  T b)  ½ (T f + T x) Observa-se que o gap dual é dado por: ½ (T f + T x) Exemplo 4.2: min sujeito a 2 x1 + x2  8 4 x1 + x2  10 x1  0 e x2  0

MATLAB: Q1=[8 0;0 16]; c=[-6; -2]; A=[2 1;4 1]; b=[8; 10]; lb=[0; 0]; ub=[]; op=optimset('LargeScale','off'); [x1,s1,ex,out,lambda1]=quadprog(Q1,c,A,b,[],[],lb,ub,[],op) Q2=[2 0;0 4]; c=[-6; -2]; A=[2 1;4 1]; b=[8; 10]; lb=[0; 0]; ub=[]; [x2,s2,ex,out,lambda2]=quadprog(Q2,c,A,b,[],[],lb,ub,[],op)

Método do Ponto Interior min S(x) = cT x + ½ xT Q x sujeito a: A x = b x  0 (incluindo var. folga) d = S(x) = c  Q x = dp + dr  = {dp  n | A dp = 0} (espaço nulo) R = {dr  n | dr = AT ,   m} =  (dr)T dp = e dp = d  dr = Q-1d  Q-1AT  T A (Q-1 d  Q-1AT ) = 0  = (A Q-1AT)1 A Q-1 d dp = Q-1 d  Q-1 AT (A Q-1 AT)1 A Q-1 d = P d P = Q-1  Q-1AT (A Q-1AT)1 A Q-1 (matriz de projeção)

Reconciliação de Dados
Dados medidos em plantas químicas são, inevitavelmente, corrompidas por erros durante a aquisição, o processamento e a transmissão do sinal. O erro total presente em uma medida pode ser convenientemente representado como a soma das contribuições de dois tipos de erros: os erros aleatórios e os erros grosseiros.

A reconciliação de dados é uma técnica usada para reduzir o efeito dos erros aleatórios e aumentar a precisão das medidas do processo. Basicamente, consiste em ajustar as medidas originais de modo que as relações existentes entre variáveis, tais como balanços de massa e energia, sejam respeitadas. É fundamental que as medidas originais a serem ajustadas estejam livres de erros grosseiros  detecção de erros grosseiros

Exemplo: trocador de calor com by-pass Modelo: x1 – x2 – x3 = 0 x2 – x4 = 0 x3 – x5 = 0 x4 + x5 – x6 = 0 Medidas: yi = xi + ei, i = 1, 2, ..., 6 em que ei é o erro aleatório na medida yi. 37

Caso 1: Sistema redundante e observável Apenas as variáveis 1, 2, 5 e 6 são medidas. min (y1 – x1)² + (y2 – x2)² + (y5 – x5)² + (y6 – x6)² x1, x2, x5, x6 A função objetivo deve ser escrita da seguinte maneira: As variáveis não medidas foram eliminadas das equações por substituição direta, sendo calculadas após a reconciliação das variáveis medidas. sujeito a: x1 – x2 – x5 = 0 x2 + x5 – x6 = 0 38

Caso 2: Sistema não redundante e observável Apenas as variáveis 1 e 2 são medidas. A função objetivo é: min (y1 – x1)² + (y2 – x2)² x1, x2 Neste caso não é possível eliminar as variáveis não medidas das equações e, portanto, o problema se reduz à minimização da função objetivo sem restrições, levando aos próprios valores medidos. As variáveis não medidas são obtidas através das restrições originais (x6 = x1, x4 = x2, x3 = x5 = x1 – x2). 39

Caso 3: Sistema redundante e não observável Apenas as variáveis 1 e 6 são medidas. min (y1 – x1)² + (y6 – x6)² x1, x6 A função objetivo deve ser escrita da seguinte maneira: Neste caso não há informação suficiente para estimarmos os valores das variáveis não medidas x2, x3, x4 e x5. sujeito a: x1 – x6 = 0 40

heatEx.mso

Programação Não Linear
min S(x) sujeito a: hj(x) = 0 , j = 1, 2, ..., m gj(x)  0 , j = 1, 2, ..., p Funções Penalidades (externas) P(x, r)  0  x P(x, r) = 0 para todo x viável r  0 (fator de escala) S(x) + P(x, r) Penalidade exata: Quando existe um valor finito de r, rmin, tal que x* é um mínimo local de {S(x) + P(x, r)} quando r > rmin

Penalidade quadrática: Penalidade do módulo (exata): Funções barreira (penalidades internas):

restrição: y = g(x)  0

Lagrangeano aumentado (penalidade exata) LA(x,,;r) = S(x) + T h(x) + T f(x) + P(x, r) em que fj(x) = gj(x) + (vj)2 , j = 1,2,...,p P(x, r) = ½ r {hT(x) h(x) + fT(x) f(x)} Exemplo 4.3: min S(x) = x3 sujeito a h(x) = x + 1 = 0 x* = 1 LA(x,;r) = S(x) +  h(x) + ½ r [h(x)]2 L(x,) = S(x) +  h(x) = x3 +  (x + 1) xL(x,) = 3 x2 +  = 0  * = 3 (x*)2 = 3 xLA(x*,*;r) = 3 (x*)2 + * + r (x* + 1) = 0  r > 6

Lagrangeano aumentado (penalidade exata)

Programação Linear Sequencial (SLP) 1) Escolher um ponto inicial xo viável e seus limites Lo e Uo, k = 0 2) Linearizar a função objetivo e as restrições em torno do ponto xk 3) Resolver o problema de programação linear resultante 4) Se xk+1 (solução do LP) não for viável para o NLP, então reduzir o intervalo [Lk, Uk] para [Lk+1, Uk+1] e ir para (3) 5) Se o critério de convergência não foi satisfeito, então k  k + 1 (ir para 2) 6) FIM.

Gradiente Reduzido Generalizado (GRG) min S(x) sujeito a: hj(x) = 0 , j = 1, 2, ..., m Li  x  Ui, i = 1, 2, ..., n hj(x) = gj(x) + (vj)2 ,   vj   ou hj(x) = gj(x) + vj , 0  vj L(x,) = S(x) + T h(x)

Gradiente Reduzido Generalizado (GRG)

Programação Quadrática Sequencial (SQP) min S(x) sujeito a: hj(x) = 0 , j = 1, 2, ..., m gj(x)  0 , j = 1, 2, ..., p min q(d) = TS(xk) d + ½ dT H(xk,k,k) d sujeito a: h(xk) + Th(xk) d = 0 g(xk) + Tg(xk) d  0 Line search xk+1 = xk + k dk Trust region

Programação Quadrática Sequencial (SQP) Exemplo 4.4:

benzeno BTX QN1 QN2 tolueno xileno min S(x) = QN1 + QN2 sujeito a: h(x) = 0 , (modelo) benzeno  0,94 tolueno  0,76 xileno  0,93

flash_opt.mso sample_optimize.mso

Produção de Amônia ammonia_opt.mso 57

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