Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Universidade Federal.

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1 Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Universidade Federal de Campina Grande – UFCG Centro de Ciências e Tecnologias – CCT Unidade Acadêmica de Engenharia Química - UAEQ Métodos Numéricos para Engenharia Química Métodos Numéricos para Engenharia Química Prof. Nilton Silva Aula 10

2 Conteúdo Sistemas de equações algébricas lineares – Método de Gauss – Método de Gauss com Pivotamento Parcial – Método de Gauss-Seidel Interpolação Polinomial – Método Direto – Polinômios de Lagrange – Spline Sistemas de equações algébricas lineares – Método de Gauss – Método de Gauss com Pivotamento Parcial – Método de Gauss-Seidel Interpolação Polinomial – Método Direto – Polinômios de Lagrange – Spline

3 Solução de sistemas lineares Os métodos para solução de sistemas lineares são dependentes da estrutura da matriz A (matriz, densa, esparsa, simétrica, bloco-diagonal, etc.) I.Métodos diretos: eliminação Gaussiana; Fatorações (LU, LL T, LDL T, QR,...); Método de Thomas; II.Métodos iterativos: Método de Jacobi; Método de Gaus-Seidel; Métodos SOR; Minimização; Os métodos para solução de sistemas lineares são dependentes da estrutura da matriz A (matriz, densa, esparsa, simétrica, bloco-diagonal, etc.) I.Métodos diretos: eliminação Gaussiana; Fatorações (LU, LL T, LDL T, QR,...); Método de Thomas; II.Métodos iterativos: Método de Jacobi; Método de Gaus-Seidel; Métodos SOR; Minimização;

4 Solução de sistemas lineares Para o caso não-linear, a solução do sistema de equações algébricas F(x) = 0 pode ser obtida pelos métodos: Substituições sucessivas; Newton-Raphson. Para o caso não-linear, a solução do sistema de equações algébricas F(x) = 0 pode ser obtida pelos métodos: Substituições sucessivas; Newton-Raphson.

5 Observações sobre os métodos de Gauss Armadilhas de métodos de eliminação: 1 - Divisão por zero: 2 – Erros de arredondamento: Ex.: Um erro relativo de -0,00043 %, com a precisão de seis algarismos significativos durante o cálculo. 3 – Sistemas mal condicionados: Sistemas mal condicionados são aqueles em que pequenas mudanças na coeficientes resultar em grandes alterações na solução. Uma ampla gama de respostas podem satisfazer as equações. Armadilhas de métodos de eliminação: 1 - Divisão por zero: 2 – Erros de arredondamento: Ex.: Um erro relativo de -0,00043 %, com a precisão de seis algarismos significativos durante o cálculo. 3 – Sistemas mal condicionados: Sistemas mal condicionados são aqueles em que pequenas mudanças na coeficientes resultar em grandes alterações na solução. Uma ampla gama de respostas podem satisfazer as equações.

6 Observações sobre os métodos de Gauss Armadilhas de métodos de eliminação: 3 – Sistemas mal condicionados: Solução: Armadilhas de métodos de eliminação: 3 – Sistemas mal condicionados: Solução:

7 Observações sobre os métodos de Gauss Armadilhas de métodos de eliminação: 3 – Sistemas mal condicionados: Solução: Se as inclinações são próximas de: Pode-se dizer que o sistema é mal condicionado, com determinante próximo de zero. Armadilhas de métodos de eliminação: 3 – Sistemas mal condicionados: Solução: Se as inclinações são próximas de: Pode-se dizer que o sistema é mal condicionado, com determinante próximo de zero.

8 Fundamentação Efeito da Escala no Determinante: A magnitude dos coeficientes pode contribuir para o condicionamento do sistema; Sistema singular: O determinante igual a zero indica um sistema singular. Pivotamento: para evitar divisões por zero, é importante que o pivô seja o maior elemento. Efeito da Escala no Determinante: A magnitude dos coeficientes pode contribuir para o condicionamento do sistema; Sistema singular: O determinante igual a zero indica um sistema singular. Pivotamento: para evitar divisões por zero, é importante que o pivô seja o maior elemento.

9 Exemplos: Pivotamento Dado o sistema: Seria mais estável: Dado o sistema: Seria mais estável:

10 Gauss-Jordan O método de Gauss-Jordan é uma variação da eliminação de Gauss. A principal diferença é que, quando um desconhecido é eliminado no método de Gauss-Jordan, que é eliminado de todas as outras equações em vez de apenas os subsequentes. Além disso, todas as linhas são normalizados, dividindo-as por seus elementos pivô. O método de Gauss-Jordan é uma variação da eliminação de Gauss. A principal diferença é que, quando um desconhecido é eliminado no método de Gauss-Jordan, que é eliminado de todas as outras equações em vez de apenas os subsequentes. Além disso, todas as linhas são normalizados, dividindo-as por seus elementos pivô.

11 Gauss-Jordan Por conseguinte, não é necessário empregar volta substituição para se obter a solução. Exemplo: Onde: Embora a técnica de Gauss-Jordan e eliminação de Gauss pode parecer quase idênticos, mais apresenta 50% a mais de trabalho. Por conseguinte, não é necessário empregar volta substituição para se obter a solução. Exemplo: Onde: Embora a técnica de Gauss-Jordan e eliminação de Gauss pode parecer quase idênticos, mais apresenta 50% a mais de trabalho.

12 Algoritmo Gauss-Jordan clear all ; clc; fprintf('Dame la matriz aumentada\n\n'); f=input('Cuantas filas tiene la matriz: '); c=input('Cuantas columnas tiene la matriz: '); for k=1:c for j=1:f fprintf('fila : %x\n',j) fprintf('columna : %x',k) r=input('Numero de esta fila y columna: '); a(j,k)=r; j=j+1; end k=k+1; end a pause clear all ; clc; fprintf('Dame la matriz aumentada\n\n'); f=input('Cuantas filas tiene la matriz: '); c=input('Cuantas columnas tiene la matriz: '); for k=1:c for j=1:f fprintf('fila : %x\n',j) fprintf('columna : %x',k) r=input('Numero de esta fila y columna: '); a(j,k)=r; j=j+1; end k=k+1; end a pause

13 Algoritmo Gauss-Jordan for k=1:c-1 a(k,:)=a(k,:)/a(k,k); for j=k+1:f a(j,:)=a(j,:)-a(k,:)*a(j,k); j=j+1; a pause end k=k+1; a pause end for k=f:-1:2 for j=k-1:-1:1 a(j,:)=a(j,:)-a(k,:)*a(j,k); j=j-1; for k=1:c-1 a(k,:)=a(k,:)/a(k,k); for j=k+1:f a(j,:)=a(j,:)-a(k,:)*a(j,k); j=j+1; a pause end k=k+1; a pause end for k=f:-1:2 for j=k-1:-1:1 a(j,:)=a(j,:)-a(k,:)*a(j,k); j=j-1; a pause end k=k-1; a pause end fprintf('resultado\n'); a pause end k=k-1; a pause end fprintf('resultado\n');

14 Decomposição LU Tal como foi o caso com a eliminação de Gauss, LU decomposição requer articulação para evitar a divisão por zero. 1. LU etapa de decomposição. [A] é tido ou "decompostos" em menor [L] e [u] matrizes triangulares superiores. 2. etapa de substituição. [L] e [L] são utilizados para determinar uma solução de {X} para um lado direito {B}. Este passo em si é constituído por duas etapas. Tal como foi o caso com a eliminação de Gauss, LU decomposição requer articulação para evitar a divisão por zero. 1. LU etapa de decomposição. [A] é tido ou "decompostos" em menor [L] e [u] matrizes triangulares superiores. 2. etapa de substituição. [L] e [L] são utilizados para determinar uma solução de {X} para um lado direito {B}. Este passo em si é constituído por duas etapas.

15 Decomposição LU