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Operadores Difernciais
Gradiente Divergente Rotacional Propriedades Aplicações
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Gradiente: O gradiente de uma função escalar é um vetor cujo módulo é a derivada direcional máxima no ponto considerado e cujo sentido é o sentido da derivada direcional máxima. Derivada direcional: É a taxa de variação da função em uma direção e sentido especificados. ds - deslocamento infinitesimal na direção e sentido ds - valor escalar de ds.
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Considerando-se a função: (x,y)=x2+y2
A derivada direcional depende da direção e do sentido. Escolhendo-se dy/dx=-x0/y0 Obtemos
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Podemos escolher:dy/dx=y0/x0
como: escolhemos então
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Se derivarmos f(a) em relação a a:
igualando-se a derivada a zero, obtém-se o máximo ou mínimo:
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Portanto a variação máxima da função:
figura 1: figura2:
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Símbolos do Gradiente:
e grad A derivada direcional em termos de gradiente é dada por: A equação acima permite-nos definir o gradiente em qualquer sistema de coordenadas Coordenadas retangulares: Conseqüentemente:
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Divergente: Definição: div F ou É o limite de sua integral de superfície por unidade de volume quando o volume encerrado pela superfície tende a zero Integração Vetorial: - linha - superfície - volume Maiores Interesses: integral escalar de linha de um vetor integral escalar de superfície de um vetor integrais de volume de vetores e escalares Se F for um vetor a integral de linha é dada por:
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Integral de linha ao longo de uma curva fechada
Pode ou não ser zero Integral de Superfície e Superfície fechada Integral de Volume
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Divergente: Definição: div F ou Para coordenadas cartesianas.
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Rotacional: É o limite da razão entre a integral e o seu produto vetorial com a normal dirigida para fora, sobre uma superfície fechada, e o volume encerrado pela superfície quando o volume tende a zero. Em coordenadas retangulares:
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O operador (nabla ou del)
Relações importantes: Teorema de Stokes Teorema do Divergente Linearidade do Operador
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