Distância entre Dois Pontos

Apresentação em tema: "Distância entre Dois Pontos"— Transcrição da apresentação:

1 Distância entre Dois Pontos
© Paulo Correia 2001 Distância entre Dois Pontos •Na Recta •No Plano •No Espaço

2 Distância entre dois pontos na Recta
© Paulo Correia 2001 P(5) dPO=5 5 x 5 A distância de um ponto de coordenada positiva à origem é o valor da própria coordenada. Distância entre dois pontos na Recta Início

3 Distância entre dois pontos na Recta
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos na Recta Q(-5) dQO=5 5 x -5 A distância de um ponto de coordenada negativa à origem é o valor simétrico da própria coordenada. Início

4 Distância entre dois pontos na Recta
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos na Recta P(a) dPO=|a| |a| x a De uma forma geral, a distância de um ponto à origem é o valor absoluto da própria coordenada. Início

5 Distância entre dois pontos na Recta
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos na Recta P(3) Q(5) dPQ=5-3 =2 x 3 5 2 A distância entre dois pontos será dada pela subtracção das coordenadas. Início

6 Distância entre dois pontos na Recta
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos na Recta P(a) Q(b) dPQ=|a-b| |a-b| x a b Se não soubermos qual é o maior valor (a ou b), calculamos o valor absoluto da subtracção das coordenadas, assim vamos obter sempre um valor positivo para a distância. Início

7 Exemplo: dPQ=|a-b| P(5) Q(3) dPQ= |3-5| = |-2| = 2 dPQ= |5-3| = |2|
© Paulo Correia 2001 Exemplo: dPQ=|a-b| P(5) Q(3) dPQ= |3-5| = |-2| = 2 dPQ= |5-3| = |2| = 2 x 3 5 Início

8 Exemplo: dPQ=|a-b| P(-1) Q(3) dPQ= |-1-3| = |-4| = 4 dPQ= |3-(-1)|
© Paulo Correia 2001 Exemplo: dPQ=|a-b| P(-1) Q(3) dPQ= |-1-3| = |-4| = 4 dPQ= |3-(-1)| = |3+1| = |4| = 4 x -1 3 Início

9 Exemplo: dPQ=|a-b| P(-2) Q(-6) dPQ= |-6-(-2)| = |-6+2| = |-4| = 4
© Paulo Correia 2001 Exemplo: dPQ=|a-b| P(-2) Q(-6) dPQ= |-6-(-2)| = |-6+2| = |-4| = 4 dPQ= |-2-(-6)| = |-2+6| = |4| = 4 x -6 -2 Início

10 Distância entre dois pontos no Plano
y P(-2,4) Q(-2,9) R(4,4) No plano, para pontos com a mesma abcissa, a distância é o módulo da diferença das ordenadas: dPR = |-2-4| = = 6 R 4 6 x 4 P Q 9 -2 5 No plano, para pontos com a mesma ordenada, a distância é o módulo da diferença das abcissas: dPQ = |4-9| = = 5 Início

11 Distância entre dois pontos no Plano
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Plano P(a1,b1) Q(a2,b2) y Q b2 ? a1 a2 x b1 P Quando nenhuma das coordenadas coincide, como determinar a distância entre os pontos? Início

12 Distância entre dois pontos no Plano
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Plano P(a1,b1) Q(a2,b2) R(a2,b1) y Q b2 ? a1 a2 x b1 P R Começamos por considerar um terceiro ponto cuja abcissa seja igual à de um dos pontos e a ordenada igual à do outro ponto. Início

13 Distância entre dois pontos no Plano
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Plano dPR = | a1-a2 | P(a1,b1) Q(a2,b2) R(a2,b1) y dQR = | b1-b2 | Q b2 ? a1 a2 x b1 P R Determinamos a distância do ponto novo a cada um dos pontos dados. Início

14 Distância entre dois pontos no Plano
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Plano dPR = | a1-a2 | P(a1,b1) Q(a2,b2) R(a2,b1) y dQR = | b1-b2 | (dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2 Q b2 a1 a2 x b1 P R Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos determinar a distância entre os dois ponto iniciais. Início

15 Distância entre dois pontos no Plano
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Plano dPR = | a1-a2 | P(a1,b1) Q(a2,b2) R(a2,b1) y dQR = | b1-b2 | (dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2 Q b2 (dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2 a1 a2 x R b1 P Podemos expressar a distância entre dois pontos através das suas coordenadas. Início

16 Exemplo: y A distância de um ponto à Origem é dada por: 7 P(7,-2) x -2
© Paulo Correia 2001 Exemplo: y A distância de um ponto à Origem é dada por: 7 P(7,-2) x -2 P Início

17 © Paulo Correia 2001 Exemplo: y P(7,-2) Q(-3,4) 4 7 -3 x -2 P Início

18 Distância entre dois pontos no Espaço
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Espaço P(a1,b1,c1) Q(a2,b2,c2) Q z c2 a2 b2 b1 ? y a1 c1 P x Início

19 Distância entre dois pontos no Espaço
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Espaço P(a1,b1,c1) Q(a2,b2,c2) R(a2, b2 ,c1) Q z c2 a2 b2 b1 y a1 R c1 Começamos por considerar um ponto com duas coordenadas iguais a um dos pontos e a outra igual ao outro ponto. P x Início

20 Distância entre dois pontos no Espaço
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Espaço P(a1,b1,c1) Q(a2,b2,c2) R(a2, b2 ,c1) (dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2 Q z dQR = | c1-c2 | c2 a2 b2 b1 y a1 R c1 P Determinamos a distância desse ponto a cada um dos outros pontos. x Início

21 Distância entre dois pontos no Espaço
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Espaço P(a1,b1,c1) Q(a2,b2,c2) (dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2 Q z dQR = | c1-c2 | (dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2 c2 a2 (dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2 + (c1-c2)2 b2 b1 y a1 R c1 P Através do Teorema de Pitágoras podemos agora determinar a distância entre os ponto P e Q. x Início

22 Distância entre dois pontos no Espaço
© Paulo Correia 2001 Distância entre dois pontos no Espaço P(a1,b1,c1) Q(a2,b2,c2) (dPR)2 = (a1-a2)2 + (b1-b2)2 Q z dQR = | c1-c2 | (dPQ)2= (dPR)2 + (dQR)2 c2 a2 (dPQ)2= (a1-a2)2 + (b1-b2)2 + (c1-c2)2 b2 b1 y a1 R Podemos expressar a distância entre dois pontos através das suas coordenadas. c1 P x Início

23 Exemplo: P(-2,5,4) A distância de um ponto à Origem é dada por: z P 4
© Paulo Correia 2001 Exemplo: P(-2,5,4) A distância de um ponto à Origem é dada por: z P 4 -2 y 5 x Início

24 Exemplo: z Q -4 3 P(2,-2,-4) Q(-4,6,3) -2 6 y 2 -4 P x Início
© Paulo Correia 2001 Exemplo: z Q -4 3 P(2,-2,-4) Q(-4,6,3) -2 6 y 2 -4 P x Início

25 Distância entre Dois Pontos
© Paulo Correia 2001 Distância entre Dois Pontos P(a) Q(b) •Na Recta dPQ=|a-b| •No Plano P(a1,b1) Q(a2,b2) •No Espaço P(a1,b1,c1) Q(a2,b2,c2) Início

26 PONTO MÉDIO

27 PONTO MÉDIO Resumindo: Basta somar as coordenadas do x e do y e dividir por 2.