Sistemas de Controlo: Realimentação

Apresentação em tema: "Sistemas de Controlo: Realimentação"— Transcrição da apresentação:

1 Sistemas de Controlo: Realimentação
Objectivos gerais Estabilidade de entrada limitada /saída limitada Critério de Routh-Hurwitz Realimentação Rejeição de perturbaçoes Sensibilidade à variação de parâmetros Erro em regime permanente

2 Sistemas de Controlo Objectivos Gerais:
Bom seguimento do sinal de referência Boa rejeição dos efeitos das perturbações Rapidez de resposta Estabilidade Pequena sensibilidade à variação de parâmetros Robustez de estabilidade

3 Estabilidade O sistema é estável (de entrada limitada/saída limitada) sse a toda a entrada limitada corresponder uma saída limitada SLIT causal estável: nº polos nº zeros Todos os polos têm parte real negativa (SPCE) Um sistema estável permanece em repouso a menos que lhe seja aplicada uma entrada ou perturbação exterior, e regressa à situação de repouso após terminada a perturbação.

4 Estabilidade Exemplo: resposta ao escalão unitário
resposta estacionária regime transitório

5 Estabilidade Sistema estável Sistema instável Polo em (SPCE)
Regime transitório tende para zero Sistema estável Polo em (SPCE) Regime transitório tende para infinito Sistema instável Polo em (SPCD)

6 Estabilidade Estabilidade Instabilidade
Todos os polos de no SPCE Regime transitório tende para zero Estabilidade Existe pelo menos 1 polo de no SPCD Regime transitório tende para infinito Instabilidade Regime transitório é um sinal limitado Polos simples Estabilidade marginal ou crítica Polos de no SPCE e sobre o eixo imaginário Instabilidade Polos múltiplos Regime transitório é um sinal ilimitado

7 Critério de Routh-Hurwitz
Estabelece a localização das raízes de um polinómio relativamente ao eixo imaginário Teste de Hurwitz Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que: ; , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal. Se 1 ou 2 não se verificar, então tem raízes no SPCD ou sobre o eixo imaginário Se 1 e 2 se verificarem, então nada se pode concluir sobre a localização das raízes de

8 Critério de Routh-Hurwitz
Teste de Hurwitz Para que tenha todas as suas raizes no SPCE é necessário (mas não suficiente) que: ; , os coeficientes tenham todos o mesmo sinal. Exemplos – não satisfaz a condição 2 Têm pelo menos um polo no SPCD ou sobre o eixo imaginário – não satisfaz a condição 1 Critério de Routh – satisfaz ambas as condições – nada se pode concluir

9 Critério de Routh-Hurwitz
Matriz de Routh 1º passo: 1ª linha: 2ª linha:

10 Critério de Routh-Hurwitz
Matriz de Routh coluna pivot 2º passo: Critério de Routh: O número de raízes no SPCD é igual ao número de trocas de sinal nos coeficientes na coluna pivot. Se o teste de Hurwitz for verificado e não houver trocas de sinal na coluna pivot, então as raízes situam-se todas no SPCE

11 Critério de Routh-Hurwitz
Exemplo I O teste de Hurwitz é verificado. nada a concluir Não há trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot todas as raízes no SPCE

12 Critério de Routh-Hurwitz
Exemplo I Propriedade: Os coeficientes de uma linha da matriz de Routh podem ser multiplicados ou divididos por uma constante positiva sem alterar os sinais da coluna pivot dividir por 2

13 Critério de Routh-Hurwitz
Exemplo II O teste de Hurwitz é verificado. nada a concluir Duas trocas de sinal nos coeficientes da coluna pivot duas raízes no SPCD

14 Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares (zero na coluna pivot) Um zero na coluna pivot Determinar a estrutura da matriz quando

15 Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares Se os elementos da coluna pivot situados imediatamente antes e depois do zero têm o mesmo sinal, então existe um par de raízes imaginárias puras. Se os sinais forem opostos, então existe uma raíz no SPCD. existe uma raíz no SPCD existe mais uma raíz no SPCD

16 Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares (linha de zeros) Linha de zeros Indica a existência de raízes simétricas em relação ao eixo imaginário

17 Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares (linha de zeros) 2º passo: a linha de zeros é substituída pelos coeficientes de Linha de zeros Polinómio auxiliar 1º passo: construir o polinómio auxiliar a partir dos coeficientes da linha anterior à linha de zeros

18 Critério de Routh-Hurwitz
Casos singulares (linha de zeros) Se, a partir da linha de zeros, não houver trocas de sinal na coluna pivot, então existem raízes sobre o eixo imaginário. Caso contrário, o número de trocas de sinal indica o número de raízes no SPCD. Como não existem trocas de sinal na coluna pivot, conclui-se que a linha de zeros corresponde a raízes sobre o eixo imaginário. Polinómio auxiliar Como é de grau 4, existem 2 pares de raízes sobre o eixo imaginário. Como é de grau 5, existe ainda 1 raiz no SPCE. As raízes de são também raízes de

19 Critério de Routh-Hurwitz
Exemplo Para que valores de é o sistema estável? Matriz de Routh: Sistema estável:

20 Rejeição de perturbações
perturbações na cadeia de acção Não é possível atenuar o efeito de sobre cadeia aberta O efeito de sobre é tanto menor quanto maior for o ganho cadeia fechada

21 Rejeição de perturbações
exemplo saída sem perturbação perturbação saída com perturbação

22 Rejeição de perturbações
perturbações na cadeia de acção + ruído nos sensores ruído nos sensores Impossivel, sem qualquer outra restrição, obter simultaneamente um bom seguimento da referência e uma boa rejeição do ruído Na prática, a ocupação espectral dos sinais de referência e de ruído é normalmente diferente

23 Sensibilidade à variação de parâmetros
Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s): Quanto maior KGH menos sensível se torna a função de transferência em cadeia fechada a variações de parâmetros no sistema, G(s), a controlar.

24 Erro em regime estacionário
Sinal de erro: Sistema (em cadeia fechada) de tipo N – sistema cuja função de transferência em cadeia aberta tem N polos na origem. Erro em regime estacionário: TVF:

25 Erro em regime estacionário
escalão - erro estático de posição sinais de teste rampa - erro estático de velocidade parábola - erro estático de aceleração

26 Erro em regime estacionário
Erro estático de posição (coeficiente de erro estático de posição)

27 Erro em regime estacionário
Erro estático de velocidade (coeficiente de erro estático de velocidade)

28 Erro em regime estacionário
Erro estático de aceleração (coeficiente de erro estático de aceleração)

29 Erro em regime estacionário
r(t) y(t) t Tipo 0 Tipo1 Tipo 2