Integrais Duplas Sejam um retângulo S = [a, b] x [c, d] Ì R2 e   f: S ® R uma função de duas variáveis, limitada e tal que f(x,y) ³ 0 " (x, y) Î S.  Consideremos.

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1 Integrais Duplas Sejam um retângulo S = [a, b] x [c, d] Ì R2 e   f: S ® R uma função de duas variáveis, limitada e tal que f(x,y) ³ 0 " (x, y) Î S.  Consideremos o seguinte problema: Calcular o volume  V  da  região do espaço limitado pelo plano    XOY  e  a  superfície z = f(x, y), tal que (x, y) Î S.

2 Tomamos  n  e  m números naturais quaisquer,  números   reais quaisquer
a  =  x0 <   x1  <  x2 <  ...<   xn  = b    e   c =  y0   <   y1    <  y2    < ...<  ym = d, os       "sub-retângulos"        de    S,   Aij = [xi-1, xi] ´ [yj-1, yj]  e     pontos       Pij quaisquer   do   plano   tais   que   Pij  Î Aij Tomamos a área  de  cada   um   dos retângulos Aij:

3 O volume do paralelepípedo retângulo de base Aij e altura
f(Pij): D Vij = f(Pij). D Aij.  Consideramos a soma desses volumes como uma estimativa para o volume V, isto é O volume V, caso exista, é obtido fazendo as dimensões dos retângulos Aij tenderem para 0, o que se consegue fazendo o máximo de todas as diagonais tender para 0. Indicando a diagonal do retângulo Aij por dij temos Ou seja  

4 Definições : Uma função f(x, y) definida e limitada no retângulo S = [a, b] ´ [c, d]   é integrável em S se existe (e é finito) o limite   Se f(x, y) é integrável em S então sua integral ou sua integral dupla em S é igual a I É claro que se   f(x, y) ³ 0  então   I  é  o volume V do sólido  especificado acima. Se f(x, y)  £  0  então  V = - I. Proposição: Se f(x, y) é contínua em S então f(x, y) é integrável em S.

5 Integrais Iteradas ou Repetidas
Propriedades operatórias da integral dupla Sejam f(x, y) e g(x, y) integráveis no retângulo S e c Î R então: 1)  f(x, y) + g(x, y) é integrável em   S  e 2)  c.f(x, y)  é  integrável  em  S  e    Integrais Iteradas ou Repetidas Da mesma forma que temos as derivadas parciais, temos também as integrais iteradas. Neste caso integramos uma variável por vez, fixando as outras Definição : Seja f(x, y) definida no retângulo S = [a, b] ´ [c, d]. Se " y fixo e pertencente a [c, d] a função  em x   f(x, y) é integrável em  [a, b]  e a função  é integrável em [c,d] então temos a integral iterada

6 Proposição: Se f(x, y) é integrável no retângulo S = [a, b] ´ [c, d] e
" y Î [c, d] a função g(x) = f(x, y) é integrável em [a,b] então Analogamente, se g2(y) = f(x, y) é integrável " x, então Interpretação geométrica Para o caso f(x,y) ³ 0:

7 Observações: 1.1) Se f(x,y) satisfaz a essa proposição então podemos trocar a ordem nas integrais iteradas sem mudar o resultado isto é, 1.2) Se f(x,y) é contínua no retângulo   S   então satisfaz a esta proposição (pois, neste caso, f(x, y) é integrável em S e " y fixo a função g(x) = f(x,y) é continua e portanto integrável) Exemplo : Determinar o volume do sólido limitado pela superfície z = x2 + y2 e o eixo OX e tal que (x, y) Π S = [-2, 2] ´ [-2, 2]. Esta superfície é um parabolóide de revolução.

8 S - C então f(x, y) é integrável em S.
Proposição : Sejam S = [a, b] x [c, d],  f(x, y) definida e limitada em S e C Ì S uma curva dada por y = y(x) ou x = x(y), funções de uma variável, contínuas num intervalo fechado. Se f(x, y) é contínua em  S - C então f(x, y) é integrável em S. Exemplo : Sejam S = [-1, 1] x [0, 1] e f(x, y) só não é contínua sobre a curva y(x) = 1 - x2 com x  Î [-1, 1]. f(x, y) é integrável em S. Vamos calcular sua integral:

9 Observação : Dada uma função f(x,y) e uma região D do plano, consideramos um retângulo S de lados paralelos aos eixos OX e OY que contenha a região D e uma função h(x,y) que coincida com a função f(x,y) em D e seja nula em pontos do retângulo que não estejam na região D. Assim, apenas os pontos da região  contribuirão para o cálculo da integral. Cálculo de área usando integral dupla Podemos usar a integral dupla para calcular a área de uma região plana R, considerando que numericamente o valor da área é igual ao volume do cilindro cuja base é a região R e cuja altura é (constante) igual a 1.Ou seja tomamos a integral dupla da função constante f(x,y) = 1