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Geometria
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Conceitos Iniciais Ponto: A,B,C... Reta: r,s,t... Plano: ,,..
Conceitos Primitivos A B r Reta que passa pelos pontos A e B Semi-retas
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Conceitos Iniciais A B A B r Segmento de reta
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Estudo dos ÂNGULOS PARALELISMO
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Algumas relações importantes
Qual a soma das medidas dos ângulos ao lado ? b . a
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Algumas relações importantes
Se a + b = 90 o ; então estes são chamados ÂNGULOS COMPLEMENTARES b . a a é o complementar de b b é o complementar de a
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PERGUNTA !!! Quanto mede o compl. do ângulo x ? ? . x
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PERGUNTA !!! . 90º - x x Compl(x) = 90o - x
Quanto mede o compl. do ângulo x ? 90º - x . x Compl(x) = 90o - x
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Ângulos Suplementares
b a a + b = 180o Pares de ângulos que somam 180o são suplementares. supl(x) = 180o - x
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Dica! Bissetriz A P O B Todo ponto da bissetriz é eqüidistante das duas semi-retas
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Ângulos Suplementares
+ = 180°
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Ângulos Suplementares
+ = 180° /2 /2 + = 180° /2 + /2 = 90° As bissetrizes de dois ângulos adjacentes e suplementares são perpendiculares
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Paralelismo r s Essas retas são paralelas ?
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Paralelismo r s Essas retas são paralelas ?
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Paralelismo t r s Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais casos de paralelismo.
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Paralelismo t 2 1 r 3 4 6 5 s 7 8 Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados 8 ângulos, com os quais vamos definir os principais casos de paralelismo.
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Paralelismo - 1º caso
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Paralelismo - 1º caso t a r b s São chamados ângulos CORRESPONDENTES
Os ângulos a e b estão na mesma posição em relação às retas horizontais e estão ambos à direita de t. São chamados ângulos CORRESPONDENTES
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O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?
Paralelismo - 1º caso r s t a b O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?
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O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?
Paralelismo - 1º caso t a r b s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?
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O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?
Paralelismo - 1º caso t a r b s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?
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O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?
Paralelismo - 1º caso t a = b r s O que podemos afirmar sobre os ângulos a e b ?
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Conclusão r s t a b Se os ângulos a e b são c o n g r u e n t e s (iguais) ; as retas r e s são paralelas. Se as retas r e s forem paralelas; os ângulos correspondentes determinados por uma transversal t serão congruentes.
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Conclusão r s t a b Se a b r // s
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Comparação fig. 1 fig.2 “diferentes” “iguais” r //s
b b “diferentes” “iguais” r //s Ângulos correspondentes
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Paralelismo - 2º caso
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Paralelismo - 2º caso t r a b s
Esses ângulos estão posicionados como os ângulos do 1o caso ?
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Paralelismo - 2º caso X 1º caso
t t a b r s r s a b
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Paralelismo - 2º caso t r a b s Claro que não !
Nesse caso, os ângulos estão em posições alternadas. Um acima de s, o outro abaixo de r. Um à direita e outro à esquerda de t.
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Paralelismo - 2º caso São os ângulos ALTERNOS. t
Podem ser INTERNOS, como a e b, ou então EXTERNOS. r s t b a
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Paralelismo - 2º caso t y x r s x e y são ALTERNOS EXTERNOS.
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Paralelismo - 2º caso t t y x r r b a s s
Em qualquer um dos casos, se temos pares de ângulos congruentes, as retas r e s serão paralelas, e v.v.
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Paralelismo - 2º caso t t y x r r b a s s Se a b r//s
Se x y r//s
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Paralelismo - 3º caso
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Paralelismo - 3º caso t r a b s
Na figura acima temos ângulos que não são alternos ou correspondentes. Apenas estão do mesmo lado em relação à reta transversal t .
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Paralelismo - 3º caso t r a b s
Esses são chamados ângulos COLATERAIS, que também podem ser INTERNOS ou EXTERNOS.
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Paralelismo - 3º caso t r a b s Colaterais Internos
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Paralelismo - 3º caso t a r s b Colaterais Externos
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Paralelismo - 3º caso t t a r r a b s s b
Note que nesse caso é fácil perceber que os ângulos não são congruentes, pois um é agudo e o outro obtuso. (é possível que ambos sejam retos)
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Paralelismo - 3º caso t t a r r a b s s b Qual parece ser a relação que os ângulos das figuras devem satisfazer para que as retas r e s sejam paralelas ?
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Paralelismo - 3º caso t a r s b
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Paralelismo - 3º caso t a r s b
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Paralelismo - 3º caso t a r s b
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Paralelismo - 3º caso t a r s b
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Paralelismo - 3º caso Se a + b = 180o r//s. (a e b suplementares) t
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Ex 01 – Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e ângulos internos α = CÂB, β = ABC e γ = BCA. Sabendo-se que a equação x2 – 2bxcosα + b2 – a2 = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que A) α = 90o. B) β = 60 o. C) γ = 90 o. D) O triângulo é retângulo apenas se α = 45 o. E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa.
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F I M
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