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Matemática Básica Unidade 11 - Polígonos Amintas Paiva Afonso
Ensino Superior Matemática Básica Unidade 11 - Polígonos Amintas Paiva Afonso
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POLÍGONOS É a figura que é formado por segmentos de reta unidos por seus extremos dois a dois.
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ELEMENTOS DE UM POLÍGONO
Vértice Medida do ângulo central A B C D E Diagonal Medida do ângulo externo Centro Medida dol ângulo interno Lado
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CLASSIFICAÇÃO DOS POLÍGONOS
POR SUA FORMA 01- Polígono convexo - Las medidas de seus ângulos interiores são agudos. 02- Polígono cóncavo -La medida de uno o mas de sus ángulos interiores es cóncavo. 03- Polígono equilátero - Seus lados são congruentes. 04- Polígono equiângulo - As medidas de seus ângulos interiores são congruentes.
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05- Polígono regular - É equilátero e por sua vez equiângulo.
06- Polígono irregular - Seus lados têm comprimentos diferentes. POR SEU NÚMERO DE LADOS Triângulo : 3 lados Quadrilátero: 4 lados Pentágono: 5 lados Hexágono: 6 lados Heptágono: 7 lados Octógono: 8 lados Eneágono : lados Decágono: lados Unodecágono: 11 lados Dodecágono: lados Pentadecágono:15 lados Icoságono: lados
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PROPRIEDADES DOS POLÍGONOS
PRIMEIRA PROPRIEDADE Numericamente: Lados, vértices, ângulos interiores, ângulos exteriores e ângulos centrais são iguais. n Lados Vértices Ângulos interiores Ângulos exteriores Ângulos centrais
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ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonais
SEGUNDA PROPRIEDADE A partir de um vértice de um polígono, se podem traçar (n-3 ) diagonais. Exemplo: ND = (n-3) = (5-3) = 2 diagonais
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TERCEIRA PROPRIEDADE O número total de diagonais que se pode traçar em um polígono: Exemplo:
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Ns. = ( n – 2 ) = 5 - 2 = 3 triângulos
QUARTA PROPRIEDADE Ao traçar diagonais desde um mesmo vértice obtemos (n-2) triângulos Exemplo: 3 2 1 Ns. = ( n – 2 ) = = 3 triângulos
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Soma das medidas dos ângulos interiores de un polígono:
QUINTA PROPRIEDADE Soma das medidas dos ângulos interiores de un polígono: Si =180°(n-2) Donde (n - 2) é o número de triángulos Exemplo: Soma das medidas dos ângulos interiores do triângulo 180º Si = 180º x número de triângulos = 180º(5 - 2) = 540º
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SEXTA PROPRIEDADE Soma das medidas dos ângulos exteriores de um polígono é 360º Se = 360° Exemplo: + + + + = 360º
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Ns. = ( n – 1 ) = 5 - 1 = 4 triângulos
SÉTIMA PROPRIEDADE Ao unir um ponto de um lado com os vértices opostos obtemos (n - 1) triângulos Ponto qualquier de um lado Exemplo: 3 2 1 4 Ns. = ( n – 1 ) = = 4 triângulos
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OITAVA PROPRIEDADE Ao unir um ponto interior qualquier com os vértices obtemos “n” triângulos Exemplo: 3 2 1 4 5 Ns. = n = 5 = 6 triângulos
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e assim sucessivamente
NONA PROPRIEDADE Número de diagonais traçadas desde “V” vértices consecutivos, obtemos com a siguinte fómula. Ejemplo: 1 2 e assim sucessivamente
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PROPIEDADES DOS POLÍGONOS REGULARES
1ª Propriedade 2ª Propriedade Medida de um ângulo interior de um polígono regular ou polígono equiângulo. Medida de um ângulo exterior de um polígono regular ou polígono equiângulo. 3ª Propriedade 4ª Propriedade Medida de um ângulo central de um polígono regular. Soma das medidas dos ângulos centrais. Sc = 360°
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PROBLEMAS DE APLICAÇÃO
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Problema Nº 01 Em um polígono, a suma das medidas dos ângulos exteriores e interiores és 1980°. Calcule o total de diagonais deste polígono. Do enunciado: Se + Si = 1980° Logo, substituindo pelas propriedades: 360° + 180°( n - 2 ) = 1980° Resolvendo: n = 11 lados Número de diagonais: ND = 44
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Substituindo pelas propriedades:
Problema Nº 02 Como se denomina aquele polígono regular, no qual a medida de cada um de seus ângulos internos é igual a 8 vezes a medida de um ângulo externo Polígono é regular: Do enunciado: mi = 8(me ) Substituindo pelas propriedades: Resolvendo: n = 18 lados Logo polígono é regular se denomina: Polígono de 18 lados
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Problema Nº 03 Calcule o número de diagonais de um polígono convexo, sabendo que o total das diagonais é maior que seu número de lados em 75. Do enunciado: ND = n + 75 Substituindo a propriedade: = n + 75 n2 - 5n = 0 Resolvendo: n = 15 lados Logo, o número total de diagonais: ND = 90
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Problema Nº 04 Em um polígono regular, um lado aumenta, a medida de seu ângulo interno aumenta em 12°; então o número de vértices do polígono é: Polígono é regular: Dol enunciado: Polígono original: n lados Polígono modificado: (n + 1) lados Substituindo pela propriedade: Resolvendo: n = 5 lados Número de lados = Número de vértices NV= 5 vértices
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Problema Nº 05 O número total de diagonais de um polígono regular é igual ao triplo do número de vértices. Calcule a medida de um ângulo central deste polígono. Polígono é regular: Do enunciado: ND = 3n Substituindo pela propriedade: = 3n Resolvendo: n = 9 lados Logo, a medida de um ângulo central: mc = 40°
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