AE-712 AEROELASTICIDADE Roberto GIL Annes da Silva R: IAE/ALA-L

(gil@ita.br), R: 6482 - IAE/ALA-L
AE-712 AEROELASTICIDADE Roberto GIL Annes da Silva R: IAE/ALA-L (Túnel de Vento)

Modelos Aeroelásticos na Base Modal
Problema geral: Estruturas com múltiplos graus de liberdade Exemplo: Modelo em elementos finitos de uma semi-asa de aeronave comercial

Sistemas com vários graus de liberdade Introdução
Os sistemas de engenharia, em sua maioria, são contínuos e têm infinitos graus de liberdade; Tais sistemas requerem soluções de equações diferenciais parciais; Essas soluções são difíceis e em casos mais complexos não existem; A análise de sistemas com muitos graus de liberdade requer a solução de um conjunto de equações diferenciais ordinárias, o que é relativamente simples; Para simplificar a análise, sistemas contínuos são freqüentemente aproximados como sistemas com vários graus de liberdade. Slide 3

Sistemas com vários graus de liberdade
Modelagem de sistemas contínuos como sistemas com vários graus de liberdade Usa-se métodos de aproximação de um sistema contínuo em discreto, a saber: Substituir a massa ou a inércia distribuídas do sistema por um número finito de massas concentradas ou corpos rígidos. Substituir a geometria do sistema por um grande número de pequenos elementos (elementos finitos). Slide 4

Utilização da segunda lei de Newton para deduzir equações de movimento Determine as coordenadas adequadas para descrever as posições das várias massa pontuais e corpos rígidos no sistema; Determine a configuração do sistema em equilíbrio estático e meça os deslocamentos das massas e corpos rígidos em relação as respectivas posições de equilíbrio estático; Desenhe o diagrama de corpo livre do sistema; Aplique a segunda lei de Newton. Slide 5

Sistemas com vários graus de liberdade Coeficientes de influência
Coeficiente de influência de rigidez É definido como a força no ponto i a um deslocamento unitário no ponto j quanto a todos os outros pontos, exceto o ponto j. Slide 6

Coeficiente de influência de rigidez Na forma matricial Slide 7

Coeficiente de influência de inércia É definido como a deflexão no ponto i provocada por uma carga unitária no ponto j. Na forma matricial Coeficiente de influência de inércia É definido como os impulsos aplicados nos ponto i que provocam uma velocidade unitária no ponto j. Na forma matricial Slide 8

Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial Energia potencial elástica Para a i-ésima mola A total é: Energia potencial elástica Como: Então: Na forma matricial: Slide 9

Expressões de energia potencial e energia cinética na forma matricial Energia cinética Para a i-ésima massa: A total é: Na forma matricial: Slide 10

Utilização de equações de Lagrange para deduzir equações de movimento: Coordenadas generalizadas de forças generalizadas Energia cinética É um conjunto de n coordenadas independentes, designadas por Podem ser comprimentos, ângulos ou qualquer outro conjunto de números que defina a configuração do sistema exclusivamente a qualquer instante. Equação de Lagrange: Para sistemas conservativos . Slide 11

Equações de movimentos de sistemas não amortecidos na forma matricial Equação de Lagrange: Energias cinética e potencial: Derivando, temos: Slide 12

Equações de movimentos de sistemas não amortecidos na forma matricial Substituindo na equação de Lagrange: Problemas de autovalor: Seja a solução da equação acima: onde: – forma modal Então: A equação característica é: Com o autovalor Slide 13

Solução do problema de autovalor Solução da equação característica: com Tem-se matriz dinâmica. Ortogonalidade dos modos normais: Slide 14

Sistemas com vários graus de liberdade Teorema da expansão
Se for um vetor arbitrário no espaço n-dimensional, então: Pré-multiplicando por , tem-se que: Normalizando: Slide 15

Vibração livre de sistemas não amortecidos Com e dependem das condições iniciais. Slide 16

Vibração forçada de sistemas amortecidos utilizando análise modal Autoproblema: definindo: Slide 17

Vibração forçada de sistemas amortecidos utilizando análise modal E normalizando os modos, temos: Com Slide 18

Vibração forçada de sistemas amortecidos utilizando análise modal Cuja solução é: Slide 19

Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso Função de dissipação de Rayleigh Equação de Lagrange Slide 20

Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso Determinando T, V e R para um sistema amortecido, temos: A equação anterior pode ser reescrita como: Slide 21

Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso Fazendo Temos: Slide 22

Vibração forçada em sistemas com amortecimento viscoso Isto é: A solução do sistema para , é: Slide 23

Auto-excitação e análise de estabilidade Em vários sistemas amortecidos o atrito resulta em amortecimento negativo que leva a instabilidade (ou vibração auto-excitada). Em geral, tem-se: Slide 24

Auto-excitação e análise de estabilidade Seja a solução é do tipo: Slide 25

Auto-excitação e análise de estabilidade Substituindo a solução na equação de movimento, temos: A solução não trivial é: Tem-se o polinômio característico. Com m = 2n Slide 26

Auto-excitação e análise de estabilidade A estabilidade ou instabilidade dependem das raízes de D(s) . Seja: Se é decrescente, é um sistema estável Se pelo menos um valor de é crescente, é um sistema instável. Se é oscilatório, é um sistema marginalmente estável. Se o sistema possuir raízes múltiplas do tipo imaginárias , a solução é do tipo , é um sistema instável. Slide 27

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