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Espaços Vetoriais Em álgebra temos várias estruturas diferentes, por exemplo: Grupos Anéis Corpos Espaços Vetoriais Este é o objeto principal do nosso trabalho nesta parte da disciplina (Álgebra Linear).
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Espaços Vetoriais Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre um corpo ao conjunto , tal que: 1) Existe uma adição com as seguintes propriedades: A1) Associativa: A2) Comutativa: A3) Elemento Neutro: A4) Elemento Oposto:
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Espaços Vetoriais 2) Existe uma Multiplicação por Escalar:
com as seguintes propriedades: M1) M2) M3) M4) Notação:
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Espaços Vetoriais Observações:
Os elementos do conjunto dos reais são chamados ESCALARES. Os elementos do Espaço Vetorial são chamados VETORES. Nesta disciplina estaremos sempre trabalhando com Espaços Vetoriais Reais.
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Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto de vetores do plano. A reta real. O espaço vetorial , sendo as operações definidas da seguinte forma: Adição: Multiplicação por Escalar:
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Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto das n-uplas reais, com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais. O conjunto das matrizes com as operações de adição e multiplicação por escalar usuais das matrizes.
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Exemplos de Espaços Vetoriais
O conjunto dos polinômios de grau n
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Contra-Exemplos Considere o conjunto dos números reais e as operações abaixo definidas: e Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M4), pois
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Contra-Exemplos Considere o conjunto dos pares ordenados do plano cartesiano e as operações abaixo definidas: e Observe que a operação não satisfaz a propriedade (M2), pois
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Exercícios Verifique se o conjunto abaixo, com as operações definidas é um espaço vetorial:
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Exercícios Sejam e dois espaços vetoriais reais. Mostre que é um espaço vetorial em relação às operações: e
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