Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Resolução do Exame de 1ª época Ano lectivo.

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1 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Resolução do Exame de 1ª época Ano lectivo 1999/2000

2 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa I F Considera o sistema mecânico da figura, que apresenta as equações seguintes:

3 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa a) Obtenha o grafo de fluxo correspondente.

4 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa F  

5 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa b) Determine a função de transferência, em malha fechada, usando a fórmula de ganho de Mason.

6 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa II Considere o sistema mecânico da figura seguinte, representado pela equação diferencial:

7 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Suponha que a massa é de m=2 kg, a constante da mola é k=9 N/m e b=6Ns/m. Sabendo que o sistema é posto em movimento por uma força impulso unitário, determine a oscilação resultante como resposta. Obs.: Considere o sistema inicialmente em repouso.

8 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Aplicando a transformada de Laplace:

9 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Como a entrada é um impulso unitário: Aplicando a transformada de Laplace inversa:

10 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa III Um sistema com realimentação unitária negativa apresenta a seguinte função de transferência em malha aberta:

11 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa a) Seguindo os procedimentos esboce o gráfico do L.G.R. para K>0. 1Número de ramos, zeros e pólos nº de zeros  m=1(s=1) nº de pólos  n=3(s=-3; s=-3+2j; s=-3-2j) n>m  n=3 ramos 3Número de ramos para infinito nº de ramos para infinito  n-m=3-1=2 4Assimptotas dos ramos para infinito l=0 l=1

12 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa 5Origem das assimptotas 6Pontos de convergência/divergência Não há pontos de convergência ou divergência para. Existe, no entanto um ponto para em 3,208.

13 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa 7Ângulos de partida dos ramos de cada um dos pólos complexos

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15 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa b) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel fechado é estável, sabendo que a realimentação é unitária negativa. Obtendo-se a equação característica:

16 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa

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18 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa c) Indique de que outra forma poderia calcular os limites de K calculados na alínea anterior. Descreva de forma simplificada, mas clara, o procedimento. Pode-se obter através do L.G.R.. Como a transição se dá sobre o eixo imaginário, então s=jw. Substituindo na equação característica e resolvendo obtém-se os valores limites de K. Para ver como o K varia, deve-se interpretar a evolução do K no L.G.R.

19 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa IV Dada as funções de transferência em anel aberto: e

20 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa a) Determine o ganho de Bode e obtenha a função de transferência na forma de Bode do anel aberto. Colocando na forma de Bode:

21 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa b) Construa o esboço do diagrama de Bode. Ganho:

22 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Zero:

23 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Pólo na origem:

24 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Pólo em 2:

25 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Pólo em 4:

26 Engenharia e Gestão da Produção Teoria de Sistemas de Controlo Linear 01-11-2000Copyright 2000, Jorge Lagoa Adicionando todos os sinais: Obs.: m frequência de cruza- mento de ganho é cerca de: 2,5 rad/sec. m margem de fase é aproximadamente: -180  -(-135  )=-45  m a frequência de cruzamento de fase e a margem de ganho são indeterminadas pois  nunca cruza -180 .