Campus de Caraguatatuba

Apresentação em tema: "Campus de Caraguatatuba"— Transcrição da apresentação:

1 Campus de Caraguatatuba
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP Campus de Caraguatatuba Licenciatura em Matemática Semestre de 2013 Cálculo Numérico – CN Prof. Lineu Mialaret Aula 3: Vetores

2 Introdução (1) Várias grandezas físicas, tais como por exemplo comprimento, área, volume, tempo, massa e temperatura são completamente descritas uma vez que a magnitude (intensidade) é fornecida. Tais grandezas são chamadas de escalares e são modeladas por números reais. Outras grandezas físicas não são completamente caracterizadas até que uma magnitude, uma direção e um sentido sejam especificados. Exemplos são deslocamento,velocidade e força. Tais grandezas são chamadas de vetoriais e são modeladas por vetores.

3 Introdução (2) Sejam os valores financeiros de transações de cartões de crédito de vários clientes dados pela lista abaixo, como segue, 78, 63, 73, 62, 88, 73, 81, 97 Usando-se apenas um símbolo, x, e índices subscritos, pode-se denotar os valores dessa lista, como segue, x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 Uma lista de valores como essa, x = (x1, x2, x3, ... , x8) É denominada de vetor.

4 Vetor (1) Definição: Um vetor x de ordem (p x 1) é um conjunto de números reais (que podem ser chamados de escalares), os quais podem ser representados como: Notação: a usual em publicações científicas, ou seja, letras minúsculas em negrito (ou não) ou em itálico. X, Y, x, y, a, b. Vetor linha Vetor coluna

5 Vetor (2) Os escalares xi são conhecidos como componentes ou elementos do vetor. Na representação anterior, o vetor coluna consiste de p linhas e 1 coluna (p também é a dimensão do vetor), e o vetor linha consiste de 1 linha e p colunas. Exemplo 1: O vetor x apresentado a seguir é um vetor coluna de dimensão 5.

6 Vetor (3) Em algumas notações, um vetor pode ou não ter um apostrofe simples agregado ao seu nome para representar que ele é um vetor transposto (e vice-versa). Exemplo 2: Seja o vetor x abaixo, o qual é um vetor linha de dimensão p. O vetor x no formato transposto x ou xT é representado como segue,

7 Vetor (4) Vetores podem ser representados graficamente no ℝ2.
Exemplo 3: Sejam x e y os vetores apresentados a seguir e sua representação em ℝ2.

8 Vetor (5) Álgebra Vetorial:

9 Soma de Vetor (1) Exemplo 4: Soma de Vetores.
4.1) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (1,-6,9). Então a + b = ((2+1),(4-6),(-5+9)) = (3,-2,4). 4.2) Sejam os vetores a = (2,4,-5) e b = (0,0,0). Então a + b = ((2+0),(4+0),(-5+0)) = (2,4,-5).

10 Soma de Vetor (2) Exemplo 5: Soma de Vetores - Geometria y x y1+y2 y1
p1+p2 x1+x2 y2 x x1 x2

11 Propriedades da Soma Na adição de vetores há algumas propriedades.
Comutatividade u + v = v + u Associatividade (u + v) + w = u + (v + w) Vetor Identidade para adição, o Vetor 0 u, u + 0 = u Inversa aditiva para a adição u, há um vetor inverso tal que u + (-u) = 0

12 Multiplicação Escalar de Vetor (1)
Exemplo 6: Multiplicação por Escalar. 6.1) Seja o vetor p = (2,4,-5) e escalar  = 7. Então p = (7(2),7(4),7(-5)) = (14,28,-35) 6.2) Seja o vetor p = (2,4,-5). Então -p = (-1)(2,4,-5) = (-2,-4,5)

13 Multiplicação Escalar de Vetor (2)
Exemplo 7: Multiplicação por Escalar – Geometria. y a < 0 a > 1 ax ay 0 < a < 1 y x x

14 Propriedades da Multiplicação
Na multiplicação de vetores há algumas propriedades. Associatividade (u) = ()u, para ,  escalares Distributividade (+ )u = u + u, para ,  escalares Identidade escalar u, u = u, para =1

15 Combinação Linear de Vetores
Sejam u1, u2, u3, ..., um vetores de ℝn e os escalares r1, r2, r3, ..., rm de ℝ. Pode-se multiplicar os vetores pelos escalares e realizar a soma deles para se constituir o vetor v = r1u1 + r2u2 + r3u rmum O vetor v é denominando de combinação linear dos vetores u1, u2, u3, ..., um. Exemplo 8: Em ℝ2 o vetor v = (10,16) é uma combinação linear dos vetores u1 = (1,2) e u2 = (3,4), pois v = 4u1 + 2u2

16 Produto Interno (1) O produto interno (ou produto ponto ou produto escalar) de dois vetores a e b é o escalar denotado por ab , para dois vetores de mesma dimensionalidade e definido por Usualmente se escreve esse resultado como o produto de um vetor (linha) a e um vetor (coluna) b

17 Produto Interno (2) O produto interno v.u é obtido com a multiplicação dos componentes correspondentes e com a soma dos produtos resultantes. Diz-se que os vetores v e u são ortogonais ou perpendiculares, se seu produto interno for nulo (se v.u = 0). Ou seja,

18 Produto Interno (3) Exemplo 9: Sejam os seguintes vetores a = (1,-2,3), b = (4,5,-1) e c = (2,7,4). Calcular a.b e a.c. a.b = (1)(4) + (-2)(5) + (3)(-1) = = -9. a.c = (1)(2) + (-2)(7) + (3)(4) = = 0.

19 Produto Interno (4) Exercício 1: Sejam os seguintes vetores a = (1,2,3,4) e b = (6,,-8,2). Encontrar o valor do escalar  tal que os vetores a e b sejam ortogonais.

20 Propriedades do Produto Interno
No produto interno de vetores há algumas propriedades. Sejam u e v vetores em ℝn e  um escalar em ℝ. (u + v).w = u.w + v.w; (u).v = (u.v); u.v = v.u; e u.u = 0 se e somente se, u = 0.

21 Norma de um Vetor (1) A norma ou comprimento de um vetor x de ℝn, denotado por é definida como sendo a raiz quadrada de x.x. Ou seja, se x = (x1,x2,...,xn) então é a raiz quadrada da soma dos quadrados dos componentes de x. e se e somente se, x = 0. Um vetor x é chamado de vetor unitário se Ou seja, se x.x = 1.

22 Norma de um Vetor (2) Dado qualquer vetor não nulo y,
É o único vetor unitário de mesma direção e sentido de y; e O processo de se encontrar o vetor a partir do vetor y é denominado de normalização de y.

23 Norma de um Vetor (3) Exemplo 10: Seja o vetor u = (1,-2,-4,5,3). Obter Pode-se calcular primeiramente ; e Tomando-se o quadrado de cada componente e somando, como se segue,

24 Norma de um Vetor (4) Exemplo 11: Seja o vetor v = (1,-3,4,2) e w = (1/2,-1/6,5/6,1/6). Obter , e . Para se obter e calcula-se como se segue, Normalizando o vetor v, como se segue, tem-se Que é o único vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetor v.

25 Norma de um Vetor (5) Propriedades da norma:
Dados quaisquer vetores u e v de ℝn, então segue que, Desigualdade de Schwarz Desigualdade de Minkowski

26 Distância, Ângulos e Projeções (1)
A distância entre os vetores u = (x1,x2,...,xn) e v = (y1,y2, ... ,yn) de ℝn é definida por Exemplo 12: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância d(u,v).

27 Distância, Ângulos e Projeções (2)
y y2 -u (x2-x1) (y2-y1) v-u v v-u y1 u x1 x2 x

28 Distância, Ângulos e Projeções (3)
O ângulo entre dois vetores não nulos u e v de ℝn é definido por Este ângulo está bem definido, pois Se u.v = 0, então = 90º (ou /2).

29 Distância, Ângulos e Projeções (4)
A projeção de um vetor u sobre um vetor não nulo v é definida por

30 Distância, Ângulos e Projeções (5)
Exercício 2: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a distância dist(u,v).

31 Distância, Ângulos e Projeções (6)
Exercício 3: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular o ângulo entre os dois vetores.

32 Distância, Ângulos e Projeções (7)
Exercício 4: Sejam os vetores u = (1,-2,3) e v = (2,4,5). Calcular a projeção proj(u,v).