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Superfícies Quádricas
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Superfícies Quádricas
Notamos que uma equação de segundo grau representa uma seção cônica (possivelmente degenerada). A análoga desta equação em um sistema de coordenada é a qual é chamada de equação de segundo grau em Os gráficos de tais equações são chamados de superfícies quádricas ou, às vezes, quádricas.
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Superfícies Quádricas
Alguns tipos de Superfícies Quádricas
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Elipsóide O traço nos planos coordenados são elipses, como também são elipses os traços em planos paralelos aos planos coordenados, que interceptam a superfície em mais de um ponto.
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Hiperbolóide de uma folha
O traço no plano é uma elipse, como são os traços nos planos paralelos ao plano Os traços nos planos e são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos interceptos e Nestes interceptos, os traços são pares de retas concorrentes.
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Hiperbolóide de duas folha
Não há traço no plano Em planos paralelos ao plano que interceptam a superfície em mais que um ponto os traços são elipses. Nos planos , e nos planos paralelos a eles que interceptam a superfície em mais de um ponto, os traços são hipérboles.
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Cone Elíptico O traço no plano é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos ao plano são elipses. Os traços nos planos e são pares de retas que se interceptam na origem. Os traços em planos paralelos a estes são hipérboles.
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Parabolóide elíptico O traço no plano é um ponto (a origem) e os traços em planos paralelos e acima dele são elipses. Os traços nos planos e , bem como em planos paralelos a eles são parábolas.
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Parabolóide Hiperbólico
O traço no plano é um par de retas que se cruzam na origem. Os traços em planos paralelos ao plano são hipérboles. As hipérboles acima do plano abrem se na direção de e as abaixo na direção de Os traços nos planos e são parábolas, assim como os traços nos planos paralelos a estes.
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Exemplo 1: Esboce o elipsóide
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Exemplo 2: Esboce o gráfico do hiperbolóide de uma folha
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Exemplo 3: Esboce o gráfico do hiperbolóide de duas folhas
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Exemplo 4: Esboce o gráfico do cone elíptico
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Exemplo 5: Esboce o gráfico do parabolóide elíptico
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Exemplo 6: Esboce o gráfico do parabolóide hiperbólico
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Translação de Superfícies Quádricas
Vimos que uma cônica no sistema de coordenadas pode ser transladada substituindo por e por em sua equação. Para entender como isso funciona, considere os eixos como fixos e considere o plano como uma folha transparente de plástico na qual todos os gráficos são desenhados. Quando as coordenadas dos pontos são modificadas substituindo. Por , o efeito geométrico é transladar a folha de plástico ( em conseqüência todas as curvas), tal que o ponto sobre o plástico que estava inicialmente em foi movido para o ponto
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Para o análogo no espaço tridimensional, considere os eixos como fixos e considere o espaço como um bloco transparente de plástico na qual todas as superfícies estão embutidas. Quando as coordenadas dos pontos são modificadas substituindo por , o efeito geométrico é transladar o bloco da plástico (e, por conseqüência, todas as superfícies ) tal que o ponto no bloco de plástico que estava inicialmente em é movido para o ponto
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Exemplo 7: Descreva a superfície
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Exemplo 8: Descreva a superfície
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Técnicas para identificar Superfícies Quádricas
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Equações Características Classificação Nenhum sinal de menos. Elipsóide Um sinal de menos. Hiperbolóide de uma folha Dois sinais de menos. Hiperbolóide de duas folha Nenhum termo linear. Cone elíptico Um termo linear; dois termos quadráticos com o mesmo sinal. Parabolóide elíptico Um termo linear; dois termos quadráticos com sinais opostos. Parabolóide hiperbólico
