PIRÂMIDES.

Apresentação em tema: "PIRÂMIDES."— Transcrição da apresentação:

1 PIRÂMIDES

2 Pirâmides Vamos considerar um plano , uma região poligonal convexa S contida em  e um ponto V fora de . Chama-se pirâmide o poliedro formado por todos os segmentos de reta cujas extremidades são o ponto V e um ponto da região S.

3 Elementos de uma pirâmide
Considerando a pirâmide desenhada ao lado, temos: base: a região poligonal S; vértice da pirâmide: o ponto V; faces laterais: as superfícies triangulares AVB, BVC, ..., NVA; arestas da base: os segmentos AB, BC, ... , NA; arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, ... , VN; altura da pirâmide: a distância h entre o vértice V e o plano a.

4 Classificação das pirâmides
Consideramos o número de arestas da base:  se a base tem 3 arestas pirâmide triangular se a base tem 4 arestas pirâmide quadrangular se a base tem 5 arestas pirâmide pentagonal, e assim por diante.

5 Pirâmide regular Uma pirâmide cuja base é uma superfície poligonal regular e cuja projeção ortogonal P do vértice sobre o plano da base coincide com o centro O do polígono de base é chamada de pirâmide regular. 

6 Pirâmide regular Observações:
O centro de um polígono regular coincide com o centro da circunferência circunscrita a esse polígono. As faces de uma pirâmide regular são determinadas por triângulos isósceles congruentes. Um importante exemplo desse tipo de pirâmide regular é o tetraedro regular.

7 Elementos das pirâmides regulares

8 Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular

9 Relações métricas entre os elementos de uma pirâmide regular

10 Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
Figura Relação Triângulo equilátero ou

11 Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
Figura Relação Quadrado ou

12 Relação entre as medidas da aresta da base e as do apótema da base de algumas pirâmides regulares
Figura Relação Hexágono regular ou

13 Exercícios 1.Um tetraedro regular tem arestas medindo 10 cm. Calcular a medida do apótema da pirâmide (g), a medida do apótema da base (m) e a altura da pirâmide (h).

14 Resolução No ΔDMA, temos: Como a base é uma superfície triangular equilátera, vem:  Agora, no ΔDMO, temos: Portanto, as medidas são:  cm, cm e cm

15 Atotal = Alateral + Abase
Área da superfície de uma pirâmide Área da base (Abase): área da superfície poligonal que forma a base; Área lateral (Alateral): soma das áreas das faces laterais (superfícies triangulares); Área total (Atotal): soma da área lateral com a área da base, ou seja:  Atotal = Alateral + Abase

16 Área da superfície de uma pirâmide
Observação: Se a pirâmide for um tetraedro regular, sua área total, em função da medida ℓ da aresta, será dada por: Atotal =

17 Volume de uma pirâmide qualquer
Vpirâmide = área da base x altura

18 Exercícios 2. A base de uma pirâmide é um quadrado de lado 5 cm. Sabendo-se que a pirâmide tem altura de 30 cm, calcular o volume dessa pirâmide.

19 Exercícios 3. (ITA - SP) Quanto mede a área lateral de uma pirâmide quadrangular regular de altura 4 m e de área da base 64 m²?

20 Resolução: Na questão, como a pirâmide é quadrangular, sua base é um quadrado, com área 64 m², já que a área do quadrado é L², e o lado será 8. Perceba que a altura que a questão fornece na pergunta é a altura da pirâmide, para a área lateral precisamos encontrar a altura da face, que é a apótema da pirâmide. Fazendo o teorema de Pitágoras entre a altura do triângulo, a apótema da base e a apótema da pirâmide, encontramos a altura dessa face:

21 Exercícios 4. (FUVEST – SP) Um telhado tem a forma da superfície lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide, 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m². Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é: a) 90 b) 100 c) 110 d) 120 e) 130

22 Resolução:

23 Propriedades das pirâmides
1a propriedade: A razão entre a área S’ de uma secção transversal de uma pirâmide feita a uma altura h’ em relação ao vértice e a área S da base dessa pirâmide de altura h é: 2a propriedade: Se duas pirâmides têm mesma altura e mesma área de base, elas são equivalente, portanto têm o mesmo volume. 

24 Exercícios 5. Determinar o volume de uma pirâmide regular hexagonal cuja aresta da base mede 12 cm e a aresta lateral mede 20 cm.

25 Vpirâmide = Vpirâmide = Vpirâmide =
Resolução Primeiro, vamos calcular a medida g do apótema da pirâmide. Agora, vamos determinar a medida m do apótema da base. Como a base é um hexágono regular, temos: Cálculo da altura h da pirâmide: Cálculo da área da base: Abase = Abase = Cálculo do volume da pirâmide: Vpirâmide = Vpirâmide = Vpirâmide =

26 Exercícios 6. (VUNESP) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m³) necessário para a construção da pirâmide será: a)    36 b)   27 c)    18 d)   12 e)    4

27 Resolução:

28 Exercícios 7. (UFSC) Em uma pirâmide quadrangular regular a aresta lateral mede 5 cm e a altura mede 4 cm.  O volume, em cm3, é:

29 Resolução:

30 Tronco de pirâmide Vamos considerar uma pirâmide de vértice V, altura H e base contida em um plano .

31 Tronco de pirâmide Seccionando essa pirâmide com um plano , paralelo a , essa figura é separada em dois sólidos, o que contém o vértice V, que é uma nova pirâmide de altura h e base contida no plano , e o que contém a base da pirâmide maior, denominado tronco de pirâmide, de bases paralelas.

32 Elementos de um tronco de pirâmide
Considerando o tronco de pirâmide da figura ao lado, temos:  base maior: superfície poligonal ABCDEF;  base menor: superfície poligonal A’B’C’D’E’F’;  faces laterais: superfícies trapezoidais AA’B’B, BB’C’C etc.; altura do tronco (ht): distância entre a base maior e a base menor (ht = H – h).

33 Tronco de pirâmide regular
No tronco obtido de uma pirâmide regular, observamos que:  as bases são superfícies poligonais regulares semelhantes;  as faces laterais são superfícies trapezoidais isósceles e congruentes;  a altura de uma face lateral é o apótema do tronco (de medida p).

34 Atotal = Alateral + Ab + AB
Área da superfície de um tronco de pirâmide Área total (Atotal): soma da área lateral com as áreas das bases menor e maior, ou seja: Atotal = Alateral + Ab + AB

35 Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’
Volume de um tronco de pirâmide Vtronco = VVABCDE – VVA’B’C’D’E’ ou Vtronco =

36 Razão de semelhança = ... = Observação:
Em geral, usa-se a letra k para representar a razão de semelhança entre dois segmentos.

37 Exercícios 8. Um tronco de pirâmide reta tem bases quadradas de lados 4 cm e 10 cm e altura de 6 cm. Calcular as áreas das bases e o volume do tronco. Resolução AB = 102 = 100 Logo: AB = 100 cm2  Ab = 42 = 16 Logo: Ab = 16 cm2  Vtronco = Þ Vtronco = 2( ) = 312  Logo, o volume do tronco é 312 cm3.

38 Exercícios 9. Um tetraedro regular de 4 cm de altura tem 64 cm3 de volume. Calcular o volume v da pirâmide obtida pela secção feita por um plano paralelo à base e à altura de 2 cm. Resolução Se duas pirâmides de alturas h e H são semelhantes na razão k, então a razão entre seus volumes é:  Logo, o volume da nova pirâmide é 8 cm3. 

39 Exercícios 10. Um tronco de pirâmide regular tem a aresta lateral medindo dm e bases quadradas cujos lados medem 4 dm e 10 dm. Calcular a área de cada base, a área lateral e o volume do tronco.

40 Resolução Cálculo da área de cada base:  Ab = 42 = 16; logo: Ab = 16 dm2 AB = 102 = 100; logo: AB = 100 dm2  Cálculo da área lateral: Para calcular a área lateral, precisamos da medida de M’M indicada na figura. Vamos destacar a face lateral BB’C’C. Pela figura ao lado, temos: A área de cada face lateral (trapézio BB’C’C) é: ABB’C’C =

41 Resolução A área lateral do tronco de pirâmide é:  Alateral = 4 ⋅ 35 Þ Alateral = 140; logo: Alateral = 140 dm2   Cálculo do volume do tronco: Para calcular o volume, precisamos determinar a altura do tronco de pirâmide. Observe o trapézio O’M’MO destacado:  Pela figura, temos: ht + 32 = 52 Þ ht = 4  2 Portanto: Þ Vtronco = Vtronco = 208 Logo, o volume do tronco é 208 dm3.