ESFERA.

Apresentação em tema: "ESFERA."— Transcrição da apresentação:

1 ESFERA

2 Esfera Considere um ponto C do espaço e um número real e positivo r.
Chamamos de esfera o sólido formado por todos os pontos P do espaço que estão a uma distância de C menor ou igual a r.

3 Superfície esférica A superfície esférica é a “casca” da esfera, ou seja, é o conjunto de pontos P do espaço que estão a uma distância de C igual a r.

4 Esfera de revolução A esfera é considerada um sólido de revolução, pois pode ser obtida pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que passa por seu diâmetro.

5 Secção plana de uma esfera
Toda secção plana de uma esfera, ou intersecção de uma esfera com um plano, é um ponto ou um círculo. Se o plano de intersecção contiver o centro da esfera, então a secção obtida será chamada círculo máximo.

6 Exercícios 1. Considerando que as esferas S1 e S2, de raios
medindo 3 cm e 4 cm, respectivamente, são tangentes externamente, determinar a distância entre seus centros. Resolução Como as esferas são tangentes externamente, ou seja, têm somente um ponto em comum, o segmento que une seus centros tem medida r1 + r2. Nesse caso: 3 + 4 = 7 Então, a distância entre seus centros é 7 cm.

7 Exercícios 2. Calcular a medida r1 do raio de uma secção plana de uma esfera sabendo que o raio da esfera mede 13 cm e a distância dessa secção ao centro da esfera é 5 cm. Vamos destacar o triângulo retângulo COP: Aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, temos: 132 = 52 + r12 ⇒ r12 = 144 ⇒ r1 = 12 Portanto, r1 é igual a 12 cm. Resolução Observe a figura.

8 Asuperfície esférica = 4r2
Área da superfície esférica Volume da esfera Asuperfície esférica = 4r2 Vesfera = .r3 Exemplo Vamos calcular a área da superfície esférica de raio 5 cm. Sabemos que: Asuperfície esférica = 4r2 Considerando  ⋍ 3,14, temos: A ⋍ 4 ∙ 3,14 ∙ 25 = 314 Portanto, a área da superfície esférica é de aproximadamente 314 cm2.

9 Exercícios 3. Uma secção plana de uma esfera, distante cm do centro dessa esfera, tem 36 cm2 de área. Calcular o volume da esfera e a área de sua superfície. Resolução Como toda secção plana de uma esfera é um círculo, então a área é dada por: A1 = r1 Logo: 36 = r1 ⇒ r1 = 6 cm (raio da secção plana)  Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no ∆COP, calculamos o raio da esfera: r2 = = = 81 ⇒ r = 9  2

10 Agora, podemos calcular o volume V da
esfera e a área A de sua superfície: V = r3 ⇒ V = ∙  ∙ 93 ⇒ V = 972 ⇒ V ≃ 3.053 A = 4r2 ⇒ A = 4 ∙  ∙ 92 ⇒ A = 324 ⇒ A ≃ 1.017 Portanto, o volume da esfera é aproximadamente cm3 e a área da sua superfície é aproximadamente cm2.

11 Exercícios 4. Uma esfera foi inscrita em um cubo, conforme a
figura ao lado. Calcular o volume dessa esfera e determinar a razão entre as áreas da superfície cúbica e da superfície esférica. Resolução Da figura, temos a = 2r, e a aresta do cubo igual a 2 cm, então r = 1 cm. O volume da esfera é: Vesfera = ∙  ∙ 13 ⇒ Vesfera =  A área da superfície cúbica é: Acubo = 6 ∙ 2 ∙ 2 ⇒ Acubo = 24

12 A área da superfície esférica é: Aesfera = 4 ∙  ∙ 12
Considerando  = 3,14: Aesfera = 4 ∙ 3,14 = 12,56   A razão entre as áreas: ≃ 1,91 Logo, a área do cubo é quase o dobro da área da superfície esférica. 

13 Volume de uma cunha esférica
É chamado de cunha esférica o sólido gerado pela rotação, por um ângulo de medida , de um semicírculo de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro.  Vcunha esférica =

14 Área de um fuso esférico
Pela rotação, por um ângulo de medida , de uma semicircunferência de raio r em torno de um eixo que contém seu diâmetro, obtemos um fuso esférico.  Afuso esférico =

15 Exercícios 5. Calcular o volume da cunha esférica e a área do fuso esférico da figura ao lado, em que r = 4 cm. Resolução Vcunha esférica = ⇒ Vcunha esférica = ≃ 14,9  Afuso esférico = ⇒ Afuso esférico = ≃ 11,2  Portanto, o volume da cunha esférica é aproximadamente 14,9 cm3 e a área do fuso esférico é aproximadamente 11,2 cm2.

16 A área da superfície esférica
6. Uma esfera de raio 9cm é seccionada por um plano que dista 6cm do seu centro. Calcule:  O volume dessa esfera A área da superfície esférica A área da secção determinada pelo mencionado plano de corte A figura ilustra a esfera indicada. Aplicando as fórmulas, temos: b) a) c)

17 7. Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume
7. Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a área da superfície? Solução: Considerando V e A como o volume e a área iniciais da esfera e aplicando as transformações, temos: Logo, o volume multiplica por 8 e a área da superfície quadruplica.

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