6. Andando na Superfície de Resposta Técnica de otimização baseada em planejamentos fatoriais Etapas distintas: Modelagem e deslocamento Modelagem: ajuste.

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1 6. Andando na Superfície de Resposta Técnica de otimização baseada em planejamentos fatoriais Etapas distintas: Modelagem e deslocamento Modelagem: ajuste de modelos simples (lineares ou quadráticos)‏ Deslocamento: ocorre ao longo do caminho de máxima inclinação (trajetória na qual a resposta varia de forma mais pronunciada )‏

2 Exemplo Efeito de dois fatores no rendimento. Processo opera normalmente a 100 rpm e [50%] e Y=68% Proposição inicial: investigar a região em torno das condições habituais Temos um fatorial em dois níveis com ponto central Concentrações [45] e [55]; agitação 90 e 110

3 Resultados do planejamento Ensaio [%] v(rpm) x1 x2 Y(%)‏ 1 45 90 -1 -1 69 2 55 90 1 -1 59 3 45 110 -1 1 78 4 55 110 1 1 67 5 50 100 0 0 68 6 50 100 0 0 66 7 50 100 0 0 69

4 As repetições no ponto central permitem calcular o desvio padrão Suposições : Variância dos erros é constante; erros seguem uma distribuição normal.

5 CoeficientesErro padrão (s) Média68,00,50 Conc. % (var 1)-5,250,661 V rpm (var 2)4,250,661 Int var1 x var2-0,250,661 Y= 68,00 – 5,25 * x1+ 4,25 * x2

6 ANOVA do modelo Fonte de variação SQ GL Média Regressão 182,5 2 91,25 Resíduos 5,5 4 1,38 Falta de Ajuste 0,83 2 0,42 Erro puro 4,67 2 2,33 TOTAL 188,00 6

7 A partir dos dados obtidos podemos avaliar o seu ajuste a região experimental investigada. Valor de F para falta de ajuste F = [SQ faj /(m-p)]/[ SQ ep /(n-m)] = 0,42/2,33 F=0,18 (comparar com F (2;2;0,05) = 19,00) O valor não é estatisticamente significativo e não há evidência de falta de ajuste. Outras informações são também obtidas: R 2 * 100 (variação explicada pelo modelo) = 97,07

8 A equação Y= 68,00 – 5,25 * x1+ 4,25 * x2 descreve um plano inclinado obliquamente em relação aos eixos. Logo maiores rendimentos experimentais devem estar em regiões com menores valores de x1 e maiores valores de x2. O progresso será mais rápido se o deslocamento for realizado ao longo de uma trajetória perpendicular às curvas de nível.

9 Caminho de máxima inclinação Para obtermos a máxima inclinação devemos fazer deslocamentos nos eixos x2 e x1 na proporção b2/b1. O caminho pode ser determinado algebricamente pelos coeficientes do modelo. b2/b1 = - 0,81 Para cada unidade recuada no eixo x1 avançamos 0,81 unidades no eixo x2.

10 As coordenadas ao longo de vários pontos ao longo dessa trajetória são determinadas seguindo um procedimento: 1- Escolhemos um dos coeficientes (o maior); tipicamente o seu deslocamento é de uma unidade. 2 – determinamos o deslocamento do(s) outro(s) fator(es)

11 Caminho de máxima inclinação etapax1x2C(%)V (rpm)Y(%) Centro00,005010068,66,69 Centro +Δ0,8145108,177 Centro +2Δ-21,6240116,286 Centro +3Δ -32,4335124,388 Centro +4Δ-43,2430132,480 Centro +5Δ-54,0525140,570

12 Podemos interpretar os resultados imaginando que a superfície é um morro. Escolhido o melhor ensaio podemos então fazer um planejamento idêntico ao primeiro.

13 Novo planejamento 2 2 com ponto central EnsaioC (%)V (RPM) X1X2Y (%) 130115 86 240115185 330135178 4401351184 5351250090 6351250088 7351250089

14 ANOVA do modelo Fonte de variação SQ GL Média Regressão 26,5 2 13,25 Resíduos 70,93 4 17,73 Falta de Ajuste 68,93 2 34,46 Erro puro 2,00 2 1,00 TOTAL 97,42 6 %variação explicada: 27,2

15 A ANOVA mostra uma situação diferente. O valor de F subiu para 34,46. Como F 2,2,0,05 = 19,0 ; podemos concluir que na região onde chegamos, o modelo linear já não descreve satisfatoriamente a superfície de resposta.

16 Localização do ponto ótimo Como o modelo linear já não descreve a região experimental, devemos partir para um modelo quadrático. Para duas variáveis temos:

17 Este modelo tem seis parâmetros e nosso planejamento tem apenas cinco “níveis”. Logo é necessário ampliar o planejamento A ampliação pode ser feita de várias maneiras, sendo a mais comum a construção do chamado Planejamento em estrela.

18 Planejamento estrela Acrescentamos simplesmente ao planejamento inicial um planejamento idêntico, porém girado de 45 graus em relação a orientação de partida. Os novos pontos estão a uma distância Unidades codificadas do ponto central

19 Resultados do planejamento estrela EnsaioC (%)V (RPM)X1X2Y (%) 130115 86 240115185 330135178 4401351184 5351250090 6351250088 7351250089 828125-1,41081 93513901,4180 10421251,41086 11351110-1,4187

20 ANOVA do modelo Fonte de variação SQ GL Média Regressão 114,15 5 28,83 Resíduos 2,76 5 0,55 Falta de Ajuste 0,76 3 0,25 Erro puro 2,00 2 1,00 TOTAL 146,91 10 %variação explicada: 98,64

21 Modelo ajustado Y = 89,00 + 1,51*x1 - 2,36*x2 - 2,81*x1 2 -2,81*x2 2 + 1,75*x1*x2 O valor de F= 0,25 deve ser comparado com F(3,2,0,05) = 19,16 Conclui-se que não há evidência de falta de ajuste para o modelo quadrático. Conclui-se também que a região investigada contém um ponto de máximo.

22 Planejamentos compostos centrais

23 O planejamento estrela é um exemplo de planejamento composto central de dois fatores. Planejamento estrela = planejamento composto central

24 Para um planejamento com K fatores temos: 1 – Uma parte fatorial (pontos de coordenadas -1 e +1 2 – Uma parte axial (pontos com coordenadas nulas exceto um valor de α ou – α) 3 – Um número de ensaios no ponto central

25 Considerações Valor de α: Pode ficar entre 1 e (k) 1/2 Se k=3 α=1,68; se k=4 α=2,0 Ponto central: 3 a 5 ensaios Fornece uma medida do erro puro Estabiliza a variância

26 Vantagens Podem ser construídos de forma sequêncial: Inicialmente faz-se a parte fatorial; Na etapa seguinte complementa-se com os pontos centrais; E na etapa final realiza-se os experimentos axiais.

27 Aplicação: planejamento composto central com k=3 Um estudo utilizou um planejamento composto central para avaliar a desidratação osmótica de pedaços de abacaxi. Foram selecionados três fatores: (1) tempo de contato com a solução osmótica; (2) temperatura do processo e (3) concentração da solução osmótica. A resposta medida foi a perda de peso da amostra

28 EnsaioX1X2X3Perda de peso (%) 1 47,34 2+1 53,00 3+153,64 4+1 54,28 5 +148,85 6+1+153,73 7+1 55,19 8+1 58,31 9-1,6820051,90 10+1,6820057,34 110-1,682047,62 120+1,682057,35 1300-1,68250,73 1400+1,68257,68 1500056,24 1600055,74 1700057,23 1800056,85 1900055,42

29 Ajustes Modelo linear Y = 54,13 + 1,72*x1 + 2,55*x2 +1,43*x3 F=8,50 Modelo quadrático Y = 56,32 + 1,72*x1 + 2,55*x2 +1,43*x3 - 0,71*x1 2 -1,47*x2 2 -0,86*x3 2 - 0,85*x1*x2 +0,21*x1*x3 + 0,42*x2*x3 F=2,34

30 O modelo quadrático apresenta menor falta de ajuste. Pode-se comprovar consultando a tabela do teste F. Pode-se comprovar visualmente a superioridade do modelo quadrático analisando os gráficos de resíduos. Um modelo com mais parâmetros, explicará uma soma quadrática maior!