Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Análise de Variância (ANOVA) Camilo Daleles Rennó

Apresentação em tema: "Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Análise de Variância (ANOVA) Camilo Daleles Rennó"— Transcrição da apresentação:

1 Estatística: Aplicação ao Sensoriamento Remoto SER 202 - ANO 2016 Análise de Variância (ANOVA) Camilo Daleles Rennó camilo@dpi.inpe.br http://www.dpi.inpe.br/~camilo/estatistica/

2 Comparando-se médias de duas populações 11 22 n1n1 n2n2 Hipóteses H 0 :  1 -  2 = 0 (  1 =  2 ) H 1 :  1 -  2  0 Teste z ou teste t 2

3 Comparando-se médias de várias populações 11 22 n1n1 n2n2 rr nrnr  Comparando-se as médias de r populações ou tratamentos... Mesmo não se conhecendo as médias  i, seria possível verificar se elas são iguais a partir de seus valores amostrais? Análise de Variância (ANOVA) (ANOVA de 1 fator) 3 H 0 :  1 =  2 =... =  r

4 Análise de Variância (ANOVA) 11 22 rr  Pressuposições: Todas r v.a. ( X 1,..., X r ) são normalmente distribuídas e têm a mesma variância!!! -- 11 ++ 22 rr X 1 ~ N(  1,  2 ) X 2 ~ N(  2,  2 ) X r ~ N(  r,  2 )  Comparando-se as médias de r populações ou tratamentos... 4

5  1 = X 1 -  1  2 = X 2 -  2  r = X r -  r   j ~ N(0,  2 ) Desvio, resíduo ou erro X 1 ~ N(  1,  2 ) X 2 ~ N(  2,  2 ) X r ~ N(  r,  2 )  Análise de Variância (ANOVA)  Comparando-se as médias de r populações ou tratamentos... N(0, 2)N(0, 2) -- 0 ++ 5 11 22 rr

6 Análise de Variância (ANOVA)  Comparando-se as médias de r populações ou tratamentos... -- 11 ++ 22 rr X j =  j +  j  j =  T +  j X j =  T +  j +  j  T = média global  j = efeito do tratamento j  j = efeito aleatório TT erro em torno de cada média erro de cada média em torno da média global 6 11 22 rr

7 Análise de Variância (ANOVA) n1n1 n2n2 nrnr  Comparando-se as médias de r populações ou tratamentos... X ij é o i -ésimo elemento da amostra retirada do tratamento j  j é a média populacional do tratamento j, estimado por i = 1,..., n j j = 1,..., r 7 11 22 rr

8 T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 T1T2T3T4 X 11 X 12 X 13 X 14 X 21 X 22 X 23 X 24 X 32 X 33 Total X *1 X *2 X *3 X *4 X ** Média njnj n1n1 n2n2 n3n3 n4n4 nTnT Análise de Variância (ANOVA) 8

9 Particionamento do Erro T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 T1T2T3T4 10 20 30 15 25 erro em relação à média global 9

10 Particionamento do Erro T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 T1T2T3T4 10 20 30 15 25 erro em relação à média do tratamento 10

11 Particionamento do Erro T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 T1T2T3T4 10 20 30 15 25 erro da média de cada tratamento em relação à média global 11

12 Particionamento do Erro T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 SQTOSQTSQE = + SQTO = Soma dos Quadrados Total SQT = Soma dos Quadrados dos Tratamentos SQE = Soma dos Quadrados dos Erros ou dos Resíduos 12

13 Análise de Variância (ANOVA) Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio Tratamentos Erro Total n T - 1 n T - r r - 1 QME é um estimador não-tendencioso de  2 QMT é um estimador tendencioso de  2 a menos que todos  j =  T, ou seja,  j = 0 13

14 Análise de Variância (ANOVA) Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio Tratamentos Erro Total n T - 1 n T - r r - 1 H 0 :  1 =  2 =... =  r H 1 : nem todos  j são iguais H 0 :  j = 0 H 1 : nem todos  j = 0 Se H 0 for verdadeiro: H 0 verd. H 0 falso 0 ++ 1 1 14  Se H 0 for falso:

15 Análise de Variância (ANOVA) Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio Tratamentos Erro Total n T - 1 n T - r r - 1 H 0 :  1 =  2 =... =  r H 1 : nem todos  j são iguais H 0 :  j = 0 H 1 : nem todos  j = 0 Se H 0 for verdadeiro: 0 ++ 15  Se H 0 for falso:  ac. H 0 rej. H 0 ANOVA é sempre um teste unilateral a direita 1

16 Fórmulas Alternativas 16

17 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F calculadoValor - P Tratamentos Erro Total 304 Análise de Variância (ANOVA) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 SQTO 17

18 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F calculadoValor - P Tratamentos 258 Erro Total 304 Análise de Variância (ANOVA) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 SQT 18

19 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F calculadoValor - P Tratamentos 258 Erro 46 Total 304 Análise de Variância (ANOVA) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 SQE = SQTO - SQT 19

20 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F calculadoValor - P Tratamentos 258 Erro 46 Total 304 Análise de Variância (ANOVA) 9 T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 20 GL Total = n T - 1

21 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F calculadoValor - P Tratamentos 258 Erro 46 Total 304 Análise de Variância (ANOVA) 9 3 T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 21 GL Total = n T - 1 GL Trat = r - 1

22 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F calculadoValor - P Tratamentos 258 Erro 46 Total 304 Análise de Variância (ANOVA) 9 6 3 T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 22 GL erro = GL Total - GL Trat GL Total = n T - 1 GL Trat = r - 1

23 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F calculadoValor-P Tratamentos 258 Erro 46 Total 304 Análise de Variância (ANOVA) 9 6 3 7,67 86 11,20,0071 23

24 Fonte de Variação Soma dos Quadrados Graus de Liberdade Quadrado Médio F calculadoValor-P Tratamentos 258 Erro 46 Total 304 Análise de Variância (ANOVA) 9 6 3 7,67 86 11,20,0071 Adotando  = 5%, o que se pode concluir? Rejeito H 0, ou seja, pelo menos uma das médias é diferente das demais 0 ++ Valor-P = 0,71% 24 H 0 :  1 =  2 =... =  r H 1 : nem todos  j são iguais

25 Análise de Variância (ANOVA) OBSERVAÇÕES: A ANOVA não considera que os tratamentos tenham algum ordenamento específico Para agregar esta informação, usa-se a Análise de Regressão ANOVA com 2 tratamentos ( r = 2 ) não deve ser realizada, uma vez que corresponde a um teste t homocedástico bilateral ANOVA pode ter mais do que 2 fatores avaliados (ANOVA multivariada) TA1TA2TA3TA4 109914 TB1 1191510 151013 TB2 20 21 18 23 21 22 29 28 25

26 Análise de Variância (ANOVA) PRESSUPOSIÇÕES: Cada observação deve ser independente das demais; condição garantida pelo processo de amostragem Cada tratamento deve ter distribuição normal; o teste F para ANOVA de 1 fator é pouco afetado pela falta de normalidade dos dados (neste caso, em geral, o nível de significância real é ligeiramente diferente que o especificado) Todos os tratamentos devem ter a mesma variância; se todos tratamentos possuírem o mesmo tamanho de amostra ( n j = n ), o teste F será pouco afetado pelo fato das variâncias dos tratamentos não serem iguais (também, neste caso, o nível de significância real é apenas ligeiramente diferente que o especificado) Teste alternativo: Kruskal-Wallis (teste não paramétrico) 26

27 Testes de Normalidade D’Agostino K 2, Jarque-Bera e Shapiro-Wilk testam se a curtose e a assimetria amostral podem ser obtidas a partir de uma distribuição normal Anderson Darling, Cramér-von Mises, Lilliefors, Kolmogorov-Smirnov comparam a distribuição acumulada empírica (obtida a partir de uma amostra) com uma distribuição acumulada teórica qualquer  2 de Pearson (teste de aderência) compara a distribuição empírica e uma distribuição teórica qualquer divididas em um número determinada de classes 27 Para a ANOVA, verifica-se se através dos erros amostrais estatística não-paramétrica

28 Testes de Igualdade de Variâncias Bartlett baseia-se na comparação entre a média ponderada e a média geométrica das variâncias amostrais Hartley baseia-se na comparação entre os valores máximo e mínimo das variâncias amostrais Cochran baseia-se na comparação entre o máximo e a soma das variâncias amostrais Levene modificado compara os desvios médios absolutos entre e dentro de cada grupo 28

29 Teste de Bartlett Se,..., são as variâncias amostrais de r populações com distribuição normal, então representa a média aritmética ponderada onde representa a média geométrica ponderada GQME  QME ( GQME = QME se todas variâncias amostrais são idênticas) 29

30 Teste de Bartlett onde 0 ++ H 0 verd. H 0 falso H 0 : H 1 : nem todas são iguais Se H 0 for verdadeiro: (idealmente n j  5 ) 30

31 Teste de Bartlett onde 0 ++  ac. H 0 rej. H 0 H 0 : H 1 : nem todas são iguais Se H 0 for verdadeiro: (sempre teste unilateral a direita) 31

32 Teste de Bartlett Usando-se o exemplo da ANOVA: T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total s2s2 1814 njnj 233210 H 0 : H 1 : nem todas são iguais 0 ++ 0,05 Conclusão: aceito H 0 a 5%, ou seja, as variâncias dos tratamentos podem ser as mesmas 7,81 32

33 T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 ANOVA: fator único Análise de Variância / EXCEL 33

34 Análise de Variância / EXCEL T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Adotando  = 5%, o que se pode concluir? ANOVA: fator único RESUMO GrupoContagemSomaMédiaVariância T12301518 T2339131 T3357194 T42542718 ANOVA Fonte da variaçãoSQglMQFvalor-P Entre grupos25838611,217390,007135 Dentro dos grupos4667,667 Total3049 Rejeito H 0, ou seja, pelo menos uma das médias é diferente das demais 34 H 0 :  1 =  2 =... =  r H 1 : nem todos  j são iguais

35 H 0 :  1 =  2 =... =  r H 1 : nem todos  j são iguais Análise de Variância / R T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Adotando  = 5%, o que se pode concluir? ANOVA: fator único Rejeito H 0, ou seja, pelo menos uma das médias é diferente das demais Analysis of Variance Table Response: dados Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) trat 3 258 86.000 11.217 0.007135 ** Residuals 6 46 7.667 --- Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 >dados<-c(12,18,14,12,13,19,17,21,24,30) >trat<-factor(c("t1","t1","t2","t2","t2","t3","t3","t3","t4","t4")) >resultado<-aov(dados~trat) #analise de variancia >anova(resultado) # tabela ANOVA 35

36 Teste de Shapiro-Wilk / R T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Adotando  = 5%, o que se pode concluir? ANOVA: fator único Aceito H 0, ou seja, os erros provém de uma distribuição normal Shapiro-Wilk normality test data: residuals(resultado) W = 0.92388, p-value = 0.3905 >dados<-c(12,18,14,12,13,19,17,21,24,30) >trat<-factor(c("t1","t1","t2","t2","t2","t3","t3","t3","t4","t4")) >resultado<-aov(dados~trat) #analise de variancia >shapiro.test(residuals(resultado)) #teste de Shapiro-Wilk 36 H0:H1:H0:H1:

37 Teste de Bartlett / R T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Adotando  = 5%, o que se pode concluir? ANOVA: fator único Aceito H 0, ou seja, as variâncias dos tratamentos podem ser as mesmas Bartlett test of homogeneity of variances data: dados by trat Bartlett's K-squared = 2.7897, df = 3, p-value = 0.4252 >dados<-c(12,18,14,12,13,19,17,21,24,30) >trat<-factor(c("t1","t1","t2","t2","t2","t3","t3","t3","t4","t4")) >bartlett.test(dados~trat) #teste de Bartlett 37 H 0 : H 1 : nem todas são iguais

38 Análise de Variância Quando a ANOVA indica a aceitação de H 0, conclui-se que todas as médias dos tratamentos são iguais entre si, ou melhor, que não há diferenças significativas entre as médias dos tratamentos. Neste caso, encerra-se a análise. No entanto, quando H 0 é rejeitada, a ANOVA não é capaz de identificar quais as médias são diferentes entre si. Basta que apenas uma média seja diferente para que a ANOVA indique a rejeição da H 0. Como descobrir quais médias são diferentes? Através de um Teste de Comparação Múltipla Exemplos: 38 Teste de Tukey Teste de Duncan Teste de Dunnet Teste de Scheffe Teste de Bonferroni Teste de Fisher

39 O teste consiste em calcular um valor ( D crít ), acima do qual, a diferença entre duas médias amostrais (em absoluto) é significativamente diferente de zero. Teste de Tukey (teste de comparação múltipla) Utilizado quando se deseja comparar todos os pares de médias de r populações, adotando-se um único nível de significância. H 0 : H 1 : onde representa o valor tabelado (vindo de uma distribuição da amplitude studentizada – "studentized range") associado ao nível de significância adotado. 39

40 Distribuição da Amplitude Studentizada r g234567891011121314151617181920 190,024135,041164,258185,575202,210215,769227,166236,966245,542253,151259,979266,165271,812277,003281,803286,263290,426294,328297,997 214,03619,01922,29424,71726,62928,20129,53030,67931,68932,58933,39834,13434,80635,42636,00036,53437,03437,50237,943 38,26010,61912,17013,32414,24114,99815,64116,19916,69117,13017,52617,88718,21718,52218,80519,06819,31519,54619,765 46,5118,1209,1739,95810,58311,10111,54211,92512,26412,56712,84013,09013,31813,53013,72613,90914,08114,24214,394 55,7026,9767,8048,4218,9139,3219,6699,97110,23910,47910,69610,89411,07611,24411,40011,54511,68211,81111,932 65,2436,3317,0337,5567,9728,3188,6128,8699,0979,3009,4859,6539,8089,95110,08410,20810,32510,43410,538 74,9495,9196,5427,0057,3737,6787,9398,1668,3678,5488,7118,8608,9979,1249,2429,3539,4569,5539,645 84,7455,6356,2046,6256,9597,2377,4747,6807,8638,0278,1768,3118,4368,5528,6598,7608,8548,9439,027 94,5965,4285,9576,3476,6576,9157,1347,3257,4947,6467,7847,9108,0258,1328,2328,3258,4128,4958,573 104,4825,2705,7696,1366,4286,6696,8757,0547,2137,3567,4857,6037,7127,8127,9067,9938,0758,1538,226 114,3925,1465,6215,9706,2476,4766,6716,8416,9927,1277,2507,3627,4647,5607,6487,7317,8097,8837,952 124,3205,0465,5025,8366,1016,3206,5076,6706,8146,9437,0607,1667,2657,3567,4417,5207,5947,6647,730 134,2604,9645,4045,7265,9816,1926,3726,5286,6666,7916,9037,0067,1007,1887,2697,3457,4177,4847,548 144,2104,8955,3225,6345,8816,0856,2586,4096,5436,6636,7726,8716,9627,0477,1257,1997,2687,3337,394 154,1674,8365,2525,5565,7965,9946,1626,3096,4386,5556,6606,7566,8456,9277,0037,0747,1417,2047,264 164,1314,7865,1925,4895,7225,9156,0796,2226,3486,4616,5646,6586,7446,8236,8976,9677,0327,0937,151 174,0994,7425,1405,4305,6595,8476,0076,1476,2706,3806,4806,5726,6566,7336,8066,8736,9376,9977,053 184,0714,7035,0945,3795,6035,7875,9446,0816,2016,3096,4076,4966,5796,6556,7256,7916,8546,9126,967 194,0464,6695,0545,3345,5535,7355,8896,0226,1416,2466,3426,4306,5106,5856,6546,7196,7806,8376,891 204,0244,6395,0185,2935,5105,6885,8395,9706,0866,1906,2856,3706,4496,5236,5916,6546,7146,7706,823 253,9424,5274,8855,1445,3475,5135,6555,7785,8865,9836,0706,1506,2246,2926,3556,4146,4696,5226,571 303,8894,4554,7995,0485,2425,4015,5365,6535,7565,8485,9326,0086,0786,1426,2026,2586,3116,3616,407 403,8254,3674,6954,9315,1145,2655,3925,5025,5995,6855,7645,8355,9005,9616,0176,0696,1186,1656,208 603,7624,2824,5944,8184,9915,1335,2535,3565,4475,5285,6015,6675,7285,7845,8375,8865,9315,9746,015 1203,7024,2004,4974,7094,8725,0055,1185,2145,2995,3755,4435,5055,5615,6145,6625,7085,7505,7905,827  3,6434,1204,4034,6034,7574,8824,9875,0785,1575,2275,2905,3485,4005,4485,4935,5355,5745,6115,645 40

41 Distribuição da Amplitude Studentizada r g234567891011121314151617181920 117,96926,97632,81937,08240,40843,11945,39747,35749,07150,59251,95753,19454,32355,36156,32057,21258,04458,82459,558 26,0858,3319,79810,88111,73412,43513,02713,53913,98814,38914,74915,07615,37515,65015,90516,14316,36516,57316,769 34,5015,9106,8257,5028,0378,4788,8529,1779,4629,7179,94610,15510,34610,52210,68610,83810,98011,11411,240 43,9265,0405,7576,2876,7067,0537,3477,6027,8268,0278,2088,3738,5248,6648,7938,9149,0279,1339,233 53,6354,6025,2185,6736,0336,3306,5826,8016,9957,1677,3237,4667,5967,7167,8287,9328,0308,1228,208 63,4604,3394,8965,3055,6285,8956,1226,3196,4936,6496,7896,9177,0347,1437,2447,3387,4267,5087,586 73,3444,1654,6815,0605,3595,6065,8155,9976,1586,3026,4316,5506,6586,7596,8526,9397,0207,0977,169 83,2614,0414,5294,8865,1675,3995,5965,7675,9186,0536,1756,2876,3896,4836,5716,6536,7296,8016,869 93,1993,9484,4154,7555,0245,2445,4325,5955,7385,8675,9836,0896,1866,2766,3596,4376,5106,5796,643 103,1513,8774,3274,6544,9125,1245,3045,4605,5985,7225,8335,9356,0286,1146,1946,2696,3396,4056,467 113,1133,8204,2564,5744,8235,0285,2025,3535,4865,6055,7135,8115,9015,9846,0626,1346,2026,2656,325 123,0813,7734,1994,5084,7504,9505,1195,2655,3955,5105,6155,7105,7975,8785,9536,0236,0896,1516,209 133,0553,7344,1514,4534,6904,8845,0495,1925,3185,4315,5335,6255,7115,7895,8625,9315,9956,0556,112 143,0333,7014,1114,4074,6394,8294,9905,1305,2535,3645,4635,5545,6375,7145,7855,8525,9155,9736,029 153,0143,6734,0764,3674,5954,7824,9405,0775,1985,3065,4035,4925,5745,6495,7195,7855,8465,9045,958 162,9983,6494,0464,3334,5574,7414,8965,0315,1505,2565,3525,4395,5195,5935,6625,7265,7865,8435,896 172,9843,6284,0204,3034,5244,7054,8584,9915,1085,2125,3065,3925,4715,5445,6125,6755,7345,7905,842 182,9713,6093,9974,2764,4944,6734,8244,9555,0715,1735,2665,3515,4295,5015,5675,6295,6885,7435,794 192,9603,5933,9774,2534,4684,6454,7944,9245,0375,1395,2315,3145,3915,4625,5285,5895,6475,7015,752 202,9503,5783,9584,2324,4454,6204,7684,8955,0085,1085,1995,2825,3575,4275,4925,5535,6105,6635,714 252,9133,5233,8904,1534,3584,5264,6674,7894,8974,9935,0795,1585,2305,2975,3595,4175,4715,5225,570 302,8883,4863,8454,1024,3014,4644,6014,7204,8244,9175,0015,0775,1475,2115,2715,3275,3795,4295,475 402,8583,4423,7914,0394,2324,3884,5214,6344,7354,8244,9044,9775,0445,1065,1635,2165,2665,3135,358 602,8293,3993,7373,9774,1634,3144,4414,5504,6464,7324,8084,8784,9425,0015,0565,1075,1545,1995,241 1202,8003,3563,6853,9174,0964,2414,3634,4684,5604,6414,7144,7814,8424,8984,9504,9985,0435,0865,126  2,7723,3143,6333,8584,0304,1704,2864,3874,4744,5524,6224,6854,7434,7964,8454,8914,9344,9745,012 41

42 Teste de Tukey (teste de comparação múltipla) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 Usando-se o exemplo da ANOVA: 13 15 19 27 42

43 Teste de Tukey (teste de comparação múltipla) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 Usando-se o exemplo da ANOVA: 13 15 19 27 aaaa 43

44 Teste de Tukey (teste de comparação múltipla) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 Usando-se o exemplo da ANOVA: 13 15 19 27 aaaaaa 44

45 Teste de Tukey (teste de comparação múltipla) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 Usando-se o exemplo da ANOVA: 13 15 19 27 aaabaaab (mesma letra – não precisa testar) 45

46 Teste de Tukey (teste de comparação múltipla) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 Usando-se o exemplo da ANOVA: 13 15 19 27 aaabaaab 46

47 Teste de Tukey (teste de comparação múltipla) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 Usando-se o exemplo da ANOVA: 13 15 19 27 aaabaaab ab 47

48 Teste de Tukey (teste de comparação múltipla) T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 Total 30395754180 Média 1513192718 njnj 233210 Usando-se o exemplo da ANOVA: 13 15 19 27 a ab b T2T1T3T4 102030 T2T1T3T4 T2 T1 T3 T4 48

49 Teste de Tukey / R T1T2T3T4 12141924 18121730 1321 ANOVA: fator único >dados<-c(12,18,14,12,13,19,17,21,24,30) >trat<-factor(c("t1","t1","t2","t2","t2","t3","t3","t3","t4","t4")) >resultado<-aov(dados~trat) #analise de variancia >tukey<-TukeyHSD(resultado,ordered=TRUE, conf.level=0.95) >plot(tukey) 49 13 15 19 27 T2 T1 T3 T4 aaaa a b ab