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Estatística ANOVA Análise de Variância (ANOVA) 1 -metodologia -cálculo de “within sample sum of square”, SS W -cálculo de “between samples sum of square”,

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1 Estatística ANOVA Análise de Variância (ANOVA) 1 -metodologia -cálculo de “within sample sum of square”, SS W -cálculo de “between samples sum of square”, SS B -comparação de SS w e SS B -tabela de ANOVA -ANOVA é um modelo aditivo Pontos mais importantes:

2 Estatística ANOVA 2 Já tínhamos visto como se construi um teste para a igualdade das médias de duas populações: H 0 :  X  Y Hipótese nula: Hipótese alternativa: H 1 :  X  Y O que acontece, quando temos mais do que duas médias (tratamentos) para comparar?

3 Estatística ANOVA 3 O tempo de coagulação da sangue (segundo) em animais sujeitos à quatro dietas diferentes [X]= A B C D i/j

4 Estatística ANOVA 4 Questão: Os dados observados indicam qualquer evidência que existe uma diferença entre os (valor médio) tratamentos? H 0 :  A =  B =  C =  D Hipótese nula: Hipótese alternativa: H 1 :  A   B   C   D Conceito: avaliar, se a dispersão do valor médio entre tratamentos estivesse maior do que podia ser esperado (provável) baseado no cálculo de dispersão dos dados dentro dos tratamentos. Metodologia:-cálculo da estimativa da  2, só válida quando H 0 é verdadeira -cálculo da estimativa da  2, sempre válida -comparação de estas duas

5 Estatística ANOVA 5 Cálculo de estimativa da  2, sempre válida- “within sample sum of squares” (soma dos quadrados dentro da amostra), SS W A média amostral de tratamento “i” obtenha-se: Variância amostral de tratamento i: i=1, 2,...,m

6 Estatística ANOVA 6 como aplicando independência, a distribuição conjunta da soma de estas variâncias amostrais tem:

7 Estatística ANOVA 7 XiXi S2iS2i A B C D SS w =112 -Exemplo SS W =3     6.8 = 112

8 Estatística ANOVA 8 Cálculo de estimativa da  2, só válida quando H 0 é verdadeira - “between sample sum of squares” (soma dos quadrados entre as amostras), SS B Se H 0 for verdadeira, cada X ij tem uma distribuição normal com  e  2. Uma estimativa para o valor médio  pode ser calculada: Se H 0 for verdadeira, X i também tem uma distr. com valor médio  mas com variância igual à  2 /n i. Uma estimativa da variância do valor médio é dada pela:

9 Estatística ANOVA 9 Considerando o facto que: s 2 /  2 ~  2 Temos: Por isso Nota: pode-se mostrar que quando H 0 é falso, SS B /(m-1) sobre estima a variância (  2 )

10 Estatística ANOVA 10 XiXi S2iS2i A B C D X= SS B = Exemplo SS B =4  (61-64)  (66-64)  (68-64)  (61-64) 2 = 228

11 Estatística ANOVA 11 Comparação de SS w e SS B A divisão de duas v.a.s  2 k e  2 l resulta uma v.a. de distribuição F com k e l graus de liberdade a forma seguinte: Aplicando isto para as duas estimativas da variância temos quando H 0 é verdade:

12 Estatística ANOVA 12 Assim, já é relativamente fácil avaliar o teste de hipótese: H 0 :  A =  B =  C =  D Hipótese nula: Hipótese alternativa: H 1 :  A   B   C   D porque-aceita H 0 se -rejeita H 0 se

13 Estatística ANOVA 13 Tabela de analise de variância (ANOVA) Para simplificar o cálculo e visualização dos resultados da ANOVA, é costumo apresentar a tabela ANOVA Fonte de variabilidade Soma quadradaGrau de liberdade F Entre das amostras m-1 dentro da amostra

14 Estatística ANOVA 14 -Exemplo Fonte de variabilidade Soma quadrada Grau de liberdade F Entre das amostras SS B =2283 F 3,20 = (228/3)/(112/20)=13.6 dentro da amostra SS W =11220

15 Estatística ANOVA 15

16 Estatística ANOVA -Output de programa SPSS

17 Estatística ANOVA 17 Caso especial: o número de dados em cada tratamento e igual, n 1 = n 2 =...= n m Fonte de variabilidade Soma quadradaGrau de liberdade F Entre das amostras m-1 dentro da amostra m(n-1)

18 Estatística ANOVA 18 Analogia entre o conceito de analise de variância (ANOVA) e um modelo aditivo Modelo linear: y=  X+  Dados experimentais: Suponha que a=1, a equação anterior pode ser escrita após de aplicar a uma amostra: valor médio amostral incremento de linha (tratamento) resíduo

19 Estatística ANOVA 19 A equação anterior pode ser apresentada em forma matricial: [X]=[A]+[T]+[R] Exemplo: XjiXji XX i -XX ji -X i valor médio amostral incremento de coluna (tratamento) resíduo

20 Estatística ANOVA 20 Questão: [T] pode ser considerada 0 ou não? Para dar a resposta, determina-se o “tamanho” da matrizes utilizando a norma. e.g. {v}={a b c} ||v||=a 2 +b 2 +c 2 Assim: SS B SS W O teste de ANOVA é a avaliação de SS B em relação de SS W. Se for pequeno, aceita H 0, se for grande, rejeita H 0.


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