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Distribuição F Considere duas populações com distribuição de Gauss com médias 1, 2 e variâncias 1 2 e 2 2. Retire uma amostra aleatória de tamanho n 1.

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1 Distribuição F Considere duas populações com distribuição de Gauss com médias 1, 2 e variâncias 1 2 e 2 2. Retire uma amostra aleatória de tamanho n 1 da primeira população, tendo uma variância s 1 2, e outra amostra aleatória de tamanho n 2 da segunda população com variância s 2 2. A estatística indica a relação entre as razões das variâncias amostral e da população. Supondo que as variâncias amostrais sejam oriundas de amostras aleatórias independentes e com as mesmas variâncias populacionais, então: F=s 1 2 /s 2 2. A distribuição teórica que modela essa razão denomina-se Distribuição F

2 Teste igualdade de variâncias Altura média de um país é de 1,68 m com variância 0,30m 2. Em uma amostra de 31 pessoas de uma determinada região do país a variância foi 0,25m 2. EXCEL No Menu Ferramentas, a opção Análise de Dados leva ao Teste F:duas amostras para variâncias, que realiza o teste de igualdade de variâncias.

3 Teste igualdade de variâncias H 0 : 2 = 2 0 H a : (ou 2 > 2 0 ou 2 < 2 0 ) Para testar a hipótese H 0, obtemos uma amostra de tamanho n da população e consideramos a quantidade:

4 Teste igualdade de variâncias S 2 = variância amostral se população da qual a amostra foi retirada se comporta de acordo com o modelo normal, então, sob a hipotese H 0 temos que: H 0 : 2 = 0,30 H a : 2 < 0,30

5 Utilizando-se a tabela 2 com 30 graus de liberdade e =0,05 crit = 18,49 logo obs > crit, portanto não rejeitamos H 0

6 Exercício - Teste F X= medida do diâmetro de esferas por método antigo Y= medida do diâmetro de esferas por método novo x obs = 29,93 mm s 2 Xobs = 0,03 mm 2 n 1 =15 y obs = 29,89 mm s 2 Yobs = 0,19 mm 2 n 2 =15 Construir teste de hipótese H 0 : 2 X = 2 Y X ~ N( X, 2 X ) H a : 2 X 2 Y Y ~ N( Y, 2 Y ) Utilizaremos a quantidade: F = S 2 X / S 2 Y

7 Exercício - Teste F Para a distribuição de Fisher-Snedecor utilizamos a notação F (a, b) sendo que a = n 1 -1 e b = n 2 -1 (portanto a e b são os graus de liberdade) P (F > f c )

8 Exercício - Teste F A região crítica para o teste bilateral é dada por: RC= : 2 Portanto se obs RC, rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias P (F 2 ) = F F (n 1 -1; n 2 -1) H 0 : 2 X = 2 Y H 0 : 2 X / 2 Y =1 H a : 2 X 2 Y H a : 2 X / 2 Y 1 F= S 2 X /S 2 Y F (14; 14)

9 Exercício - Teste F Determinamos a região crítica do teste, de modo que, P(F 2 )=0,05 P (F > 1 ) = 1 - P (F 1 ) = 0,95 Essas quantidades estão representadas nas figuras: 0,95 0,05 1 2

10 Exercício - Teste F Da tabela a distribuição de Fisher-Snedecor com 14 GL para o numerador e 14 GL para o denominador temos: 1 = 0,403 e 2 = 2,484 Logo: RC= + : 2,484 obs = S 2 X /S 2 Y = 0,03 / 0,19 = 0,158 RC Portanto, confirmando as evidências fornecidas pela análise descritiva, concluímos, ao nível de =10% que existem diferenças em termos de homogeniedades dos diâmetros das esferas, dependendo do método utilizado

11 Exercício - Teste F Para panetones de 500 g, suspeita-se que o produto de segunda qualidade apresenta maior variabilidade que o de primeira, quanto ao peso. X= peso de panetones de primeira qualidade Y= peso de panetones de segunda qualidade s 2 Xobs = 0,29 n 1 =26 s 2 Yobs = 0,73 n 2 =20 H 0 : 2 X = 2 Y versus H a : 2 X < 2 Y

12 Exercício - Teste F Para determinar a região crítica e quantidade de F corretamente: H 0 : 2 X / 2 Y =1 versus H a : 2 X / 2 Y <1 F = S 2 X /S 2 Y A região crítica será da forma: RC= : < c F~F(25, 19) para = 0,05 c =0,495 obs = S 2 X /S 2 Y =0,29/0,73=0,356 RC, portanto, concluímos que os panetones de segunda qualidade apresentam pesos com maior variabilidade do que os de primeira qualidade

13 Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias Considerando iguais as variâncias das populações A variável aleatória X 1 é modelada por uma distribuição de Gauss com média 1 e variância 1 2, isto é, X 1 ~N( 1, 1 2 ) e a variável X 2, também é de Gauss, isto é, X 2 ~N( 2, 2 2 ) O intervalo de 100(1- )% de confiança para a diferença ( ) entre as médias das duas populações é dado por: Com a variância comum, ponderada, dada por:

14 Distribuição Qui-quadrado Considere uma população de tamanho n que tem uma distribuição de Gauss com média 0 e variância 1, ou seja, z 1 2, z 2 2,..., z n 2. A distribuição qui-quadrado( 2 ) é definida como a soma dos quadrados dos n valores de z i : 2 =z z z z n 2 Se continuarmos a retirar as amostras da mesma população, cada uma das n quantidades terá uma distribuição de probabilidade 2 que poderá ser representado por um histograma. Com o número de amostras(n) grande, tem-se a distribuição do qui-quadrado com n-1 graus de liberdade.

15 Distribuição Qui-quadrado f(x) região crítica 2

16 Análise de Variância Considere um número qualquer de amostras amostras a>2, definidas por uma variável qualitativa (fator, por exemplo sexo, tratamento, etc.). A análise de variância faz a comparação entre as correspondentes médias de cada nível do fator. É possível o cálculo: da variância total; da variância entre as amostras; e da variância dentro das amostras.

17 Análise de Variância A variância total ( s T 2 ), é aquela que se obtém quando as a amostras são reunidas de modo a constituir uma única amostra, composta de todos os seus elementos. Consideremos a situação em que todas as a amostras têm o mesmo tamanho n, pode-se dizer a reunião de todas a amostras fornece an=N elementos

18 Análise de Variância A soma de quadrados em relação as amostras reunidas(soma de quadrados total): e considerando que esta soma de quadrados tem an-1 ou N-1 graus de liberdade, então tem-se também que a variância total é:

19 Análise de Variância A variância entre as amostras, ou simplesmente, a variância entre, que pode ser simbolizada por s 2 E, mede a variação existente entre todas as a amostras. Consideremos as a médias fornecidas pelas amostras. Soma de quadrados entre: Variância entre ou Quadrado médio entre:

20 Análise de Variância A variância dentro das amostras, ou simplesmente, variância dentro pode ser simbolizada por s 2 D, mede a variação dentro dentro das a amostras tomadas do em conjunto. Soma de quadrados dentro: Variância dentro ou Quadrado médio dentro:

21 Análise de Variância Temos todos os elementos para testar a hipótese nula de que as a amostras representam a mesma população, contra a hipótese alternativa de que isto não é verdadeiro. H o :as a médias não diferem significativamente entre si ou seja, as médias das a amostras estimam a mesma média. H a :as médias das a amostras não estimam a mesma média, porque elas diferem significativamente entre si.

22 Análise de Variância De acordo com a fórmula geral da variância entre, tem-se que seu valor será tanto menor quanto mais semelhantes forem as médias amostrais, ocorrendo o inverso, quando as médias diferirem muito entre si. A fórmula geral da variância dentro indica que seu valor não é afetado pela variação existente entre as diferentes médias amostrais. A razão entre as variâncias entre e dentro, é o valor de F calculado por:

23 Análise de Variância O valor de F calculado, será tanto maior quanto forem as diferenças entre as médias das amostras analisadas. Se F calculado for inferior ao F crítico ao nível de significância estabelecido, não rejeitamos Ho, ou seja, as médias das amostras não diferem significativamente. Se F calculado for superior ao F crítico ao nível de significância estabelecido, rejeitamos Ho, ou seja, as médias das amostras diferem significativamente.

24 Análise de Variância Fontes de Variação GL SQ QM F entre tratamentos t -1 SQ E E(QM E ) E(QM E ) dentro tratamento N -t SQ D E(QM D ) E(QM D ) Total N - 1 SQ T E(QM E )=E(QM trat )= 2 res + t 2 trat E(QM D )=E(QM res )= 2 res

25 Análise de Variância


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