2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações

2.3 Experimentos Fatoriais 22 Efeitos das Interações
Uma interação significante pode mascarar a significância dos efeitos principais. Visualização da não-Interação: + - 50 B+ 10 B+ B+ Resposta B- B- Fator A Experimento Fatorial sem interação

Visualização da Interação: + - 50 B+ 10 B+ B- Resposta B- B+ Fator A Experimento Fatorial com interação

Uma alternativa ao planejamento fatorial (infelizmente) usada na prática, é a mudança de fatores, um de cada vez, em vez de variá-los simultaneamente.

Exemplo: um engenheiro está interessado em achar a temperatura e o tempo que maximizem a produção. Fixamos a temperatura em 155ºF (nível de operação corrente) e realizamos 5 rodadas em níveis diferentes de tempo (0,5h; 1h; 1,5h; 2h; 2,5h). Veja os resultados:

Esta figura indica que a produção máxima é alcançada por volta de 1,7h de tempo de reação. Para otimizar a temperatura, o engenheiro fixa o tempo em 1,7h (o ótimo aparente) e realiza 5 rodadas em diferentes temperaturas: 140ºF, 150ºF, 160º, 170º e 180ºF. 0, , , ,0 2,5 80 50 Produção (%) Tempo (horas)

Os resultados das rodadas estão na figura a seguir. A produção máxima ocorre em 155ºF (aprox.). Concluiríamos que executar o processo em 155ºF e 1,7h é o melhor conjunto de condições de operação. 80 50 Produção (%) Temperatura (ºF)

O gráfico a seguir mostra o contorno da produção como função da temperatura e do tempo, com o experimento um-fator-de-cada-vez mostrado nos contornos.

60% 70% 90% 80% 95% Temperatura (º F) 0, , , , ,5 Tempo (h)

Claramente, o planejamento um-fator-de-cada-vez falhou aqui: o verdadeiro ótimo está, no mínimo, vinte pontos de produção acima e ocorre um tempo de reação muito mais baixo e em temperatura mais alta.

O fracasso em determinar tempos mais curtos de reação é particularmente importante pois poderia ter impacto significativo sobre o volume ou capacidade de produção, sobre o planejamento da produção, sobre o custo de produção e sobre a produtividade total.

O método um-fator-de-cada-vez falhou aqui porque deixou de detectar a interação entre a temperatura e o tempo. Experimentos fatoriais são o único caminho para detectar interações. O método um-de-cada-vez é ineficaz: ele exigirá mais experimentações que um fatorial e não há certeza que produzirá os resultados corretos.

As somas de quadrados dos efeitos principais são das pelas expressões:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA As somas de quadrados dos efeitos principais são das pelas expressões:

Observações de um experimento fatorial de dois fatores podem ser descritas pelo modelo:

Fator A

A soma dos quadrados do efeito da interação:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA A soma dos quadrados do efeito da interação:

2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA
A Soma de Quadrados Total é:

As Somas de Quadrados dos Erros
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA As Somas de Quadrados dos Erros

Neste caso temos experimentos fatoriais 22. Fazendo a = b = 2 temos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Neste caso temos experimentos fatoriais 22. Fazendo a = b = 2 temos:

Para experimentos fatoriais 22, temos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Para experimentos fatoriais 22, temos:

Temos, então, a Tabela ANOVA:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Temos, então, a Tabela ANOVA: Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Quadrados Médios Estatística F A SQA a - 1 B SQB b - 1 AB SQAB (a - 1) (b - 1) Erro SQE ab (r - 1) Total SQT abr - 1

Retomando o Exemplo da reação Química, temos a Tabela ANOVA para verificação dos efeitos dos fatores e se a interação entre eles são significativos (r=3): Fonte G. L. Soma Quad Quadrado Médio Estat. F P-valor A 1 787,32 129,28 B 182,52 29,97 0,0006 AB 12 1,97 0,198 Resíduos 8 48,72 6,09 Total 1030,56 11

Temos: Fobs = 129,28 > F(0,95; 1; 8) = 5,32. Então o fator A é significativo. Para o fator B: Fobs = 29,97 > F(0,95; 1; 8) = 5,32. Então o fator B também é significativo. Como F_AB < F(0,95; 1; 8) a interação não é significativa (como já podíamos observar no Gráfico das Interações (slide 34)

Estudo das mudanças quando passamos de um nível para outro:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Estudo das mudanças quando passamos de um nível para outro:

Logo, a melhor configuração para se obter menor tempo de reação é A_ e B+ Concentração de 10% e temperatura em 90oC

Pode-se propor um modelo da forma: onde: é a média geral da resposta assume valor -1 ou 1 (dependendo do nível do fator A assume valor -1 ou 1 (dependendo do nível do fator B

Y X1 ... Y1 X11 X12 X1k Y2 X21 X22 X2k Yn Xn1 Xn2 Xnk
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA O método dos mínimos quadrados é o mais utilizado para estimar os parâmetros do modelo de regressão linear múltiplo. Suponha que temos n > k observações (k+1 o número de parâmetros). Os dados são dispostos na forma: Y X1 ... Y1 X11 X12 X1k Y2 X21 X22 X2k Yn Xn1 Xn2 Xnk

Hipóteses: ε é uma variável aleatória tal que: E[ε] = 0 e Var[ε] = σ2 Considere o modelo, para todo i = 1, 2, ..., n. Também supõe-se que os erros experimentais i não são correlacionados.

Pode-se escrever o modelo de regressão na forma matricial Y = Xβ+ε onde Y = (Y1, Y2,...,Yn)´, β = (β0, β1,..., βn)´, ε = (ε1, ε2,..., εn)´ Matriz X é definida: X = 1 X11 X12 ... X1k X21 X22 X2k Xn1 Xn2 Xnk

Os estimadores que minimizam o erro quadrático são dados pelas expressões: Aqui foram aplicadas as propriedades da transposição de uma matriz, a saber: (Xβ)´= β´X´ e como β´X´Y é um escalar (um número real), ele é igual a sua transposição Y´X β

Calculamos as derivadas de E em relação a β e igualamos a zero:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Ficamos com a equação: Pré-multiplicando ambos os lados pela inversa de X´X:

Substituindo β por e escrevendo , resolvemos a equação encontramos:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Substituindo β por e escrevendo , resolvemos a equação encontramos: O modelo ajustado é definido por Ou, em notação escalar:

A diferença entre a observação e o valor ajustado é denominado resíduo. Vetor de resíduos:

Um experimento fatorial 22 pode ser representado como:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Um experimento fatorial 22 pode ser representado como: Y I X1 X2 X1*X2 1 -1 +1 a b ab

O modelo, na forma matricial, fica: Y = Xβ+ε
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA O modelo, na forma matricial, fica: Y = Xβ+ε

Escrevemos o modelo na forma matricial:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Escrevemos o modelo na forma matricial:

Temos, então:

Os estimadores correspondem ao efeito do fator A, de B e da interação AB divididos por 2.

Considere os dados abaixo. Calcular os coeficientes do modelo.
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Considere os dados abaixo. Calcular os coeficientes do modelo. A B AB Y1 Y2 Y3 Tratamento -1 +1 28 25 27 26,67 (0) 36 32 33,33 a 18 19 23 20,00 b 31 30 29 30,00 ab

Média geral: Efeito de A: Efeito de B: Efeito de AB: Modelo ajustado:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Média geral: Efeito de A: Efeito de B: Efeito de AB: Modelo ajustado:

Temos: Logo, é um estimador não-viciado para o parâmero β. A matriz de covariância do estimador β é dada por:

Substituímos na expressão acima. Então:

Por definição:

Para desenvolvermos um estimador para este parâmetros, considere a soma de quadrados dos redíduos. Substituindo :

Como obtemos: Pode-se mostrar que esta soma de quadrados apresente n – k – 1 graus de liberdade, pois Então, um estimador não viciado para é definido por

As hipóteses são: A estatística de teste é dada por: Onde é um elemento da diagonal da matriz correspondente a

O critério do teste é: Rejeitamos H0 se Caso contrário não rejeitamos a hipótese nula. O p-valor é dado por

Com os dados já apresentados, a) Obter as estimativas dosparâmetros do modelo; b) Fazer testes de hipóteses para analisar a significância dos parâmetros. Tratamento A B Y1 Y2 Y3 (0) -1 26,6 (1) 22,0 (7) 22,8 (10) 23,8 (a) +1 40,9 (4) 36,4 (9) 36,7 (12) 38 (b) 11,8 (3) 15,9 (8) 14,3 (11) 14 (ab) 34,0 (2) 29,0 (5) 33,6 (6) 32,2

Forma matricial do modelo: Y = Xβ+ε
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Forma matricial do modelo: Y = Xβ+ε (A) (B) (AB)

Podemos estimar β fazendo
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Podemos estimar β fazendo

Temos:

Então: Temos, então que:

Os efeitos dos fatores e da interação já foram vistos no Exemplo e são: A = 16,2 e B = -7, 8 e AB = 2 Disto podemos obter os efeitos dos fatores e interação: A = 16,2 e B = -7,8 e AB = 2

O modelo ajustado é: Onde Xi assume valor -1 ou 1, dependendo do nível do fator A Onde Xj assume valor -1 ou 1, dependendo do nível do fator B Xij = XiXj

Testes de significâncias para os parâmetros
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Testes de significâncias para os parâmetros Estatística de teste Onde é o elemento da matriz correspondente a

A matriz X´X neste caso é dada por
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA A matriz X´X neste caso é dada por Onde

Assim, Calcula-se os valores das estatísticas para os parâmetros do modelo Para

Construindo uma Tabela com os valores acima e os p-valores:
2.4 Análise dos Efeitos via ANOVA Construindo uma Tabela com os valores acima e os p-valores: Termo Efeito Coeficiente da Regressão Desvio Padrão T p-valor Média Geral 27 0,07124 37,9 A 16,2 8,1 11,37 B -7,8 -3,9 -5,47 0,0005 A*B 2 1 1,4 0,198

Rejeita-se H0 se O valor de para Portanto os fatores A, B são significativos e a interação AB não é. Para obter o menor tempo de reação escolhe-se os níveis A_B+

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