A apresentação está carregando. Por favor, espere

A apresentação está carregando. Por favor, espere

Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis André Lacerda Biurrum Jaqueline Maschmann Goes MAT02264 - PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 2.

Apresentações semelhantes


Apresentação em tema: "Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis André Lacerda Biurrum Jaqueline Maschmann Goes MAT02264 - PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 2."— Transcrição da apresentação:

1 Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis André Lacerda Biurrum Jaqueline Maschmann Goes MAT PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 2

2 FATORIAL FRACIONÁRIO Definição : Experimento que consiste apenas parte das combinações de tratamentos de uma repetição completa. Principal uso: experimentos pilotos (screening experiments) são experimentos, nos quais, usamos muitos fatores, com o propósito de identificar aqueles com efeito significativo. Geralmente são realizados numa etapa anterior ao experimento definitivo. Os fatores identificados com efeito significativo, são estudados num experimento mais completo.

3 Características: Os experimentos fatoriais fracionários caracterizam-se como experimentos preliminares (screening experiments) trabalhando com as seguintes idéias: (1) Princípio do Efeito Escasso (sparsity effect), onde os efeitos principais e as interações de baixa ordem são de interresse inicial, (2) Propriedade de Projeção e (3) Experimentação Seqüencial. FATORIAL FRACIONÁRIO

4 IDÉIAS BÁSICAS: 1) Quando existem muitas variáveis, o processo ou o sistema é conduzido por alguns poucos efeitos principais e interações de menor ordem; 2) A partir dos experimentos fatoriais fracionários podemos projetar experimentos mais completos (maiores) dentro de um subconjunto de fatores significativos; 3) Pode-se combinar dois ou mais experimentos fracionários, seqüencialmente e, assim, estimar os efeitos e interações de interesse.

5 CARACTERIZAÇÃO Fração 1/2 de um delineamento 2 k Vamos considerar didaticamente um experimento fatorial: 2 3 =8 tratamentos. Porém, só podemos realizar 4 tratamentos, assim, temos: A tabela com sinais de + e - para o fatorial 2 3 é dada na tabela a seguir: 2 k-p onde k=3 e p=1

6 CONTRASTE DE DEFINIÇÃO Podemos escolher os tratamentos a, b,c, abc, para o nosso experimento. Observe que o nosso fatorial fracionário 2 3-1, é formado pelos tratamentos com sinal + para a coluna ABC. Então, ABC é chamado de GERADOR da fração. Observe que, para a fração escolhida, temos: I=ABC denominada de CONTRASTE DE DEFINIÇÃO. Em geral, o contraste de definição, sempre será o conjunto de todas as colunas que são iguais a coluna identidade I. No exemplo, temos uma só coluna.

7 ESTIMATIVAS DOS EFEITOS Observando-se a tabela de sinais (+ e -), as combinações lineares para estimar os efeitos principais de A, B e C, são: Observamos, também, que as combinações lineares para estimar os efeitos das interações com dois fatores são: Observamos, que: A redução do tamanho do experimento, de grande vantagem em muitas situações, não poderá ser levada a efeito impunemente. Os resultados de um experimento em repetição fracionada exigem, para sua interpretação, cuidados de outra ordem que os encontrados nos delineamentos com repetições completas.

8 ESTRUTURA DOS ALIASES A estrutura dos aliases pode ser encontrada usando a relação de definição I=ABC. Multiplicando qualquer coluna pela relação de definição, obtemos os aliases para aquele efeito. No exemplo, o aliás do efeito A é: A.I=A.ABC=A 2 BC=A 0 BC=BC A=BC De forma similar, encontramos: B.I=B.ABC=AB 2 C=AB 0 C=AC B=AC e C.I=C.ABC=ABC 2 =ABC 0 =AB C=AB

9 CONSEQÜÊNCIAS A conseqüência do uso de uma meia repetição apenas é a perda de um efeito fatorial, ABC, e o confundimento de todos os efeitos principais como uma das interações simples. Se um experimento acusar um aparente efeito de A, não há maneira de saber se o observado é realmente do fator A, ou se é devido à interação BC, ou se é mistura de ambos. Na interpretação dos resultados cabe ao experimentador decidir a qual aliás atribuir o efeito observado.

10 OBSERVAÇÕES Aliases são efeitos fatoriais estimados pela mesma comparação; É possível obter novas frações caso seja de interesse do pesquisador. Em uma segunda divisão deve-se obter outro contraste de definição; O contraste de definição é a interação de ordem mais elevada.

11 DELINEAMENTOS DE RESOLUÇÃO III: os efeitos principais tem como aliás as interações simples I= ABC IV: nenhum efeito principal tem como aliás outro efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como aliás outra interação simples. I= ABCD V: os efeitos principais ou interação simples não tem como aliás qualquer efeito principal ou interação simples. As interações simples têm como aliás as interações tríplices. I= ABCDE VI: os efeitos principais têm como aliases as interações quíntuplas, as interações simples têm como aliases somente as interações quádruplas e as interações tríplices têm como aliases somente as interações tríplices. I= ABCDEF

12 Meia repetição do fatorial 2 4 : contraste de definição I=ABCD Causas de Variação GL Efeitos Principais4 Erro experimental (de interações simples) 3 Total 7

13 Meia repetição do fatorial 2 5 : contraste de definição I=ABCDE

14 Meia repetição do fatorial 2 6 : contraste de definição I=ABCDEF

15 EXEMPLO Exemplo: (Montgomery). Sobre a produção de um produto químico em um recipiente sob pressão. É um experimento fatorial 2 4, com uma repetição, onde os fatores são: A= Temperatura; B= Pressão; C= Concentração de formaldeído; D= Taxa de agitação. Vamos usar o delineamento 2 4-1, com contraste de definição I=ABCD, com esta escolha do gerador vamos conseguir um delineamento com a maior resolução possível (IV). O delineamento é mostrado na tabela a seguir.

16 RESULTADOS

17 Observamos, na tabela acima, os seguintes efeitos significativos: A, C, D, AC e AD. Como o fator B, não é significativo, vamos desconsiderá-lo da análise. Pode-se verificar o efeito das interações na figura abaixo. Temperatura (A) - + Agitação - + Concentração (C) (D)

18 Para o exemplo acima o experimentador utilizou-se da Propriedade de Projeção (2) que está apoiada na idéia de que se o experimentador tem K fatores e acredita que apenas K-1 destes têm efeito importante, então, um delineamento fatorial fracionário de resolução K projetar-se-á em um fatorial completo com K-1 fatores significativos. Assim, para uma projeção do delineamento, o experimentador considerou os efeitos A, C e D, bem como as interações AC e AD como significativos. RESULTADOS

19 ANOVA

20 GRÁFICO DOS EFEITOS PRINCIPAIS

21 GRÁFICO DAS INTERAÇÕES SIMPLES

22 Fração 1/4 de um delineamento 2 k Estes experimentos contém 2 k-2 =2 k 2 -2 =2 k /2 2 =2 k /4 tratamentos. São chamados de fatoriais fracionários 2 k-2. Construção: vamos através de um exemplo ilustrar a construção desses fatoriais fracionários.

23 Vamos considerar um fatorial fracionário ) Inicialmente, vamos escrever um fatorial completo com k-2 fatores, no exemplo, 6-2=4 (ver tabela na próxima página). 2) Adicionar duas colunas, com escolha apropriada de interações com os primeiros k-2 fatores. Assim os fracionários 2 k-2, tem dois geradores. Suponha que escolhemos I=ACDF e I=BCDE como geradores. A interação dos geradores ACDF e BCDE é ABEF; portanto, o contraste de definição completo é dado por: I=ACDF=BCDE=ABEF, sendo um delineamento de resolução IV. Fração 1/4 de um delineamento 2 k

24 Os aliases, para qualquer efeito, é obtido multiplicando-se este fator por cada letra do contraste de definição. Por exemplo, para o efeito A, temos: A=CDF=ABCDE=BEF (cada fator tem 3 aliases).Os efeitos principais estão associados com interações de três e cinco fatores, ao passo que interações com dois fatores estão associados com interações de dois fatores ou mais. Portanto, quando estimamos A, na verdade estamos estimando, A+CDF+ABCDE+BEF. Se as interações triplas ou de maior ordem são desprezíveis, então este delineamento dá estimativas dos efeitos principais.

25 Fração 1/4 de um delineamento 2 k Exemplo usando fatorial 2 6-2, onde A=concentração de farelo de aveia; B=níveis de gordura; C=níveis de bromato de potássio; D=níveis de fermento; E= água; F=leite em pó. Vamos supor que o pesquisador usou as 16 combinações da tabela abaixo:

26 Fração 1/4 de um delineamento 2 k

27 I = A*B*E*F = A*C*D*F = B*C*D*E A = B*E*F = C*D*F = A*B*C*D*E B = A*E*F = C*D*E = A*B*C*D*F C = A*D*F = B*D*E = A*B*C*E*F D = A*C*F = B*C*E = A*B*D*E*F E = A*B*F = B*C*D = A*C*D*E*F F = A*B*E = A*C*D = B*C*D*E*F A*B = E*F = A*C*D*E = B*C*D*F A*C = D*F = A*B*D*E = B*C*E*F A*D = C*F = A*B*C*E = B*D*E*F A*E = B*F = A*B*C*D = C*D*E*F A*F = B*E = C*D = A*B*C*D*E*F B*C = D*E = A*B*D*F = A*C*E*F B*D = C*E = A*B*C*F = A*D*E*F A*B*C = D*E*F = B*D*F = A*E*F A*B*D = A*C*E = B*C*F = D*E*F

28 ANOVA * significativo a 0,05 ** significativo a 0,01

29 CONCLUSÃO Os maiores efeitos são: C (níveis de bromato de potássio); D (níveis de fermento) e a interação AF (Farelo de aveia*Leite em pó). Como a interação AF foi significativa, para manter o princípio da hierarquia, recomenda-se incluir no modelo os efeitos de A e de F.

30 Fatoriais fracionários 2 k-p Quando usamos a fração 1/(2 p ), temos um experimento com 2 k-p tratamentos e o experimento é denominado de fatorial fracionário 2 k-p. - Necessita-se de p geradores independentes - A relação definição é formada pelos p geradores inicialmente selecionados e as 2 p -p-1 interações. A estrutura de aliases pode ser encontrada multiplicando-se cada efeito pelo contraste de definição.

31 Fatoriais fracionários 2 k-p Deve-se ter cuidado na escolha dos p geradores para um fatorial fracionário 2 k-p, de tal forma que efeitos de interesse não estejam associados com outros também de interesse. Um critério razoável é selecionar os geradores de tal forma que o delineamento tenha a maior resolução possível. Montgomery, 1997, página , apresenta uma série de experimentos fatoriais fracionários 2 k-p para k 15fatores e até 128 tratamentos. Apresenta sugestões de geradores os quais resultam num delineamento de maior resolução possível.

32 PROCEDIMENTO NO MINITAB

33


Carregar ppt "Delineamentos Fatoriais Fracionários com Dois Níveis André Lacerda Biurrum Jaqueline Maschmann Goes MAT02264 - PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS 2."

Apresentações semelhantes


Anúncios Google