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1 Fatoriais 2 k Introdução Temos k fatores, todos eles com dois níveis. Os níveis podem ser quantitativos (doses de nitrogênio, temperaturas, tempo) ou.

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1 1 Fatoriais 2 k Introdução Temos k fatores, todos eles com dois níveis. Os níveis podem ser quantitativos (doses de nitrogênio, temperaturas, tempo) ou qualitativos (duas variedades de aveia, dois locais de cultivo). Uma repetição completa tem 2 k unidades experimentais. Como esses experimentos só tem dois níveis de cada fator, eles nos dão o menor número de tratamentos, assim, eles são bastante utilizados na seleção de fatores importantes e que serão utilizados num experimento futuro. Fatoriais 2 2 Como um exemplo, considere um experimento com 2 concentrações de um antioxidante (TBHQ) e dois tempos. Fator A concentrações 15% e 25%. Fator B tempo 10 min e 20 min.

2 2 Outro exemplo (Montgomery, pág. 291). Experimento para verificar o efeito da concentração de um reagente e a quantidade de um catalisador na produção de uma reação química. Fator A: reagente níveis = 15% e 25%. Fator B: catalisador níveis = 2 pounds e 1 pound. Obs. 1 pound = 0,454 kg. O efeito AB representa a interação entre o fator A e o fator B. O menor e o maior nível de um fator podem ser representados pelos sinais - e +, respectivamente. Graficamente, este delineamento é usualmente representado por um quadrado. Os 4 tratamentos são representados por letras minúsculas: (1), a, b, ab. Assim, (1), é o tratamento correspondente aos menores níveis de A (-) e B (-); a, corresponde ao nível alto de A (+) e baixo de B (-); b, corresponde ao nível alto de B (+) e baixo de A (-); ab, corresponde a combinação dos níveis altos de A (+) e B (+).

3 3 (1)=80a=100 b=60 ab= A B Efeitos principais de A e de B e da interação AB. Podemos calcular esses efeitos por meio do quadrado acima. O efeito de A pode ser determinado como a diferença na resposta média dos dois tratamentos do lado direito do quadrado e dos dois tratamentos do lado esquerdo, isto é:

4 4 Efeito de B: Efeito da interação: é a média dos tratamentos da diagonal (da direita para a esquerda, iniciando por ab) menos a média dos tratamentos da diagonal (da esquerda para a direita). Outra maneira de se encontrar esses efeitos: I = corresponde a uma constante geral do experimento. Produto (A x B)

5 5 Por exemplo, para estimar o efeito de A, o contraste é dado por: -(1)+a-b+ab. E assim para os demais. Para os dados do experimento, temos: Interpretação: o efeito de A é positivo; isto sugere que aumentando a concentração do reagente de 15% para 25%, aumenta a produção. O efeito de B é negativo; sugere que aumentando-se a qtidade do catalisador, diminui a produção. O efeito da interação é pequeno em relação aos efeitos principais (pode ser desprezada).

6 6 Análise de variância As somas de quadrados dos efeitos de A, B e de AB, são obtidas elevando-se ao quadrado o contraste que estima o efeito de A, B e de AB, dividindo-se pelo produto entre o número de observações em cada total no contraste e a soma dos quadrados dos coeficientes do contraste.

7 7

8 8 Interpretação: Os efeitos principais de A e de B são significativos, enquanto o efeito da interação não foi significativo (Não há necessidade de desdobrar a interação). O modelo de regressão Como os dois fatores são quantitativos, além disso, o efeito da interação não foi significativo, o modelo de regressão fica: Onde x i é uma variável codificada, da seguinte forma. Assim, x 1 assume os valores: x 1 =-1 e x 1 =1; x 2 assume os valores: x 2 =-1 e x 2 =1. Os s são os parâmetros do modelo de regressão, desconhecidos e que serão estimados (método de mínimos quadrados).

9 9 Cálculo dos s no fatorial 2 k A estimativa de 0 é a média geral do experimento; as estimativas de 1 e de 2 é a metade do efeito correspondente. A razão disso é que o coeficiente de regressão mede a mudança em y quando ocorre a mudança de uma unidade em x. Aqui, a estimativa é baseada na mudança de duas unidades (-1 para 1). O modelo fica: [-1;1]

10 10 Resíduos e verificação do ajuste do modelo Saída do SAS: Resíduo = valores observados-valores estimados Valores estimados e resíduos do modelo de regressão OBS CATALISA REAGENTE REP YIELD ESTIMADO RESIDUOS Resíduo:

11 11 Os resíduos estão aleatoriamente distribuídos. Os gráficos estão satisfatórios. As nossas conclusões são válidas.

12 12 Superfície de resposta O modelo de regressão com os níveis naturais dos fatores é dado por:

13 13 Observamos no gráfico de contornos, que a produção aumenta quando a concentração do reagente aumenta e a quantidade do catalisador diminui. Freqüentemente, usa-se a superfície ajustada para verificar a direção de melhoria do processo. Fatoriais 2 3 Exemplo: o objetivo é produzir um pão com farelo de aveia. Os fatores em estudo foram: 1) porcentagem de substituição de farinha de trigo pelo farelo de aveia (Fator A), em dois níveis, 10% e 20%; 2) quantidade de gordura (Fator B), em dois níveis, 2,5g e 3,0g; 3) fermento (Fator C), em dois níveis, 3g e 4g. Exemplo (Montgomery): na fabricação do produto: água com gás. O objetivo é obter maior uniformidade no enchimento das garrafas. Teoricamente a máquina enche corretamente as garrafas, mas na prática existem variações e deseja-se saber quais são as possíveis fontes de variabilidade. As variáveis controladas no estudo foram: porcentagem de carbono (Fator A), pressão de operação (Fator B) e velocidade de operação (Fator C). 8 tratamentos

14 14 Tabela: dados experimentais Desvios da altura de enchimento desejado

15 15 Geometricamente, esse delineamento é representado por um cubo. Tratamentos: (1) a b ab c ac bc abc (1) a b c - + Fator A + - Fator C Fator B - + ac ab abc bc

16 16 Tabela 7-3. Tabela com sinais de + e de - formando os contrastes para estimar os efeitos Propriedades importantes: 1) Com excessão da 1a. coluna, todas as demais tem o mesmo número de sinais positivos e negativos ; 2) A soma dos produtos dos sinais em quaisquer duas colunas é zero; 3) A coluna I multiplicada por qualquer outra coluna deixa esta inalterada, isto é, a coluna I é um elemento identidade. 4) O produto de qualquer duas colunas produz uma coluna da tabela, por exemplo, A x B = AB, e AB x B = AB 2 = A

17 17 De maneira análoga, obtemos os seguintes valores para os demais efeitos Os maiores efeitos são verificados para o fator A=3,00, fator B=2,25, fator C=1,75 e para a interação AB=0,75, porém esta última bem inferior aos efeitos principais. Estimação dos efeitos dos fatores Os expoentes nos produtos são formados usando em aritmética o módulo 2, isto é, o expoente só pode ser zero ou um; se ele é maior do que um, ele é reduzido por múltiplos de dois até que o resto seja zero ou um. Módulo: Mod(n;d)=n-d.inteiro(n/d). Exemplo: Mod(3;2)=3-2.inteira(3/2)=3-2=1.

18 18 A soma de quadrados para os efeitos são facilmente calculados, já que cada efeito tem 1 grau de liberdade, correspondente ao contraste. No fatorial 2 3 com n repetições, a soma de quadrados para qualquer efeito é dada por: Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE FILLHEIG Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F CARBONO * PRESSAO * CARBONO*PRESSAO VELOCIDA * CARBONO*VELOCIDA PRESSAO*VELOCIDA CARBON*PRESSA*VELOCI

19 19 Modelo de regressão e superfície de resposta O modelo de regressão, a ser estimado, com as variáveis codificadas é dado por: Onde x 1, x 2 e x 3, representam os fatores A, B e C, respectivamente. Através do programa SAS, estimamos os parâmetros da regressão.

20 20 Modelo de regressão nas variáveis originais

21 21 É desejável que a resposta seja próxima de zero. Para velocidade (Fator C) no nível alto (250), há várias combinações de pressão e carbono que satisfazem esse objetivo.

22 22 Fatorial 2 k com 1 repetição Um problema nos experimentos fatoriais é que quando o número de fatores aumenta, o número de tratamentos aumenta rapidamente, exemplo, 2 5 = 32 e para um fatorial 2 6 =64 tratamentos. Em algumas situações, não existe disponibilidade de material experimental, para que se possa fazer as repetições dos tratamentos. Sem repetições não é possível estimar o erro experimental ou erro puro. Uma abordagem, para esse tipo de experimento (sem repetição), é assumir que algumas interações de maior ordem são desprezíveis e, combinar os seus quadrados médios para estimar o erro experimental. A sugestão é construir o gráfico normal de probabilidades com as estimativas dos efeitos dos tratamentos. Os efeitos que são desprezíveis são distribuídos normalmente, com média 0 e variância 2 e tendem a cair próximos à linha reta no gráfico, ao passo que os efeitos importantes (significativos) terão média diferente de 0 e se distanciarão da reta. Assim, o modelo conterá somente os efeitos significativos (efeitos diferente de zero), baseados no gráfico normal de probabilidades. Os efeitos não significativos serão combinados para estimar o erro experimental.

23 23 Exemplo (Montgomery, página 319, 4 ed.). Fatorial 2 4 com uma repetição. Produção de um produto químico num recipiente sob pressão. Esse experimento foi realizado com fatores que provavelmente influenciam a taxa de filtração do produto. Os quatro fatores colocados em estudo foram: A: temperatura B: pressão C: concentração de formaldeído D: taxa de agitação Os 16 experimentos foram realizados em ordem aleatória. O engenheiro está interessado em maximizar a taxa de filtração. O processo atual apresenta uma taxa de filtração em torno de 75 gal/h. O processo também utiliza o fator C no nível alto. Deseja-se reduzir a concentração de formaldeído tanto quanto possível, porém, isso causa uma diminuição na taxa de filtração.

24 24 Tabela do experimento com taxa de filtração (matriz do delineamento)

25 25 Estimativas dos efeitos :

26 26 Os valores dos demais efeitos são:

27 27 Interpretação: todos os efeitos que caem ao longo da linha são não significativos (desprezíveis), ao passo que os efeitos que estão longe da linha reta são significativos (A, AD, D, C, AC). Como as interações AC e AD foram significativas, não faz muito sentido interpretarmos os efeitos principais de A, C e D. - + Fator A = temperatura C-C- C+C+ - + Fator A D-D- D+D+ Interpretação: a interação AC indica que o efeito da temperatura é muito baixo para alto nível de concentração de formaldeído e, muito alto para baixo nível de concentração. A interação AD indica que D tem pouco efeito para baixo nível de temperatura e, tem grande efeito para alta temperatura. Parece que a melhor taxa de filtração é obtida para alto nível de A e D e baixo nível de C. Concentração Taxa

28 28 Projeto de experimento Como o fator B (pressão) e as interações envolvendo o fator B, não foram significativas, podemos desprezá-lo e considerar o delineamento como um fatorial 2 3, considerando os fatores A, C e D, com duas repetições. Isto pode ser facilmente comprovado, olhando-se para as colunas A, C e D da tabela dos dados (matriz do delineamento), e verificar que aquelas colunas formam duas repetições de um experimento fatorial 2 3. Como, agora, temos duas repetições, vamos ter uma estimativa do erro experimental. A ANOVA do experimento fatorial 2 3 é dada na tabela a seguir. Em geral, se temos um experimento fatorial 2 k, e se h (h

29 29 Source DF Sum of Squares Mean Square F Value Pr > F Model Error Corrected Total R-Square C.V. Root MSE RATE Mean Source DF Type I SS Mean Square F Value Pr > F A C A*C D A*D C*D A*C*D T for H0: Pr > |T| Std Error of Parameter Estimate Parameter=0 Estimate INTERCEPT A C A*C D A*D C*D A*C*D

30 30 Diagnóstico do modelo De acordo com os resultados da ANOVA, foram significativos os efeitos de A=21,625, C=9,875, D=14,625, AC=-18,125 e AD=16,625. As estimativas das taxas de filtração (para os efeitos significativos), são dadas pelo modelo de regressão: (as estimativas dos parâmetros do modelo estão no output do SAS) Onde 70,06 é a média geral; e as variáveis codificadas x 1, x 3 e x 4 possuem os valores -1 e +1. O valor predito para taxa no tratamento (1) vale:

31 31 Os valores observados, preditos e resíduos para as 16 observações são: OBS D C B A RATE PREDITO RESIDUO

32 32 Os pontos estão aleatoriamente distribuídos; considera-se que as suposições do modelo estão satisfeitas.

33 33 Superfície de resposta A superfície de regressão é gerada pelo modelo de regressão: D=1 ou x 4 =1

34 34 Os gráficos indicam que para maximizar a taxa de filtragem, as variáveis A (x 1 ) e D (x 4 ) devem ser utilizadas nos seus níveis altos. Os gráficos indicam uma relativa estabilidade para a variável C (x 3 ). Os mesmos resultados foram verificados na interpretação dos gráficos da interação. Para temperatura, x 1 =1:

35 35 Adição de pontos centrais no fatorial 2 k Existem muitas situações em que a função de resposta é adequadamente ajustada por um modelo de segunda ordem. O modelo sob consideração é: Onde jj representa o efeito quadrático. Essa equação é chamada de modelo de superfície de resposta de segunda ordem. Procedimento: Vamos fazer algumas repetições de certos pontos no fatorial 2 k com o objetivo de ajustar o modelo de segunda ordem e estimar o erro experimental. Método: Adicionar pontos centrais no fatorial 2 k. Vamos fazer n repetições nos pontos x i =0 (i=1,2,...,k). Estamos assumindo que os k fatores são quantitativos.

36 36 A soma de quadrados do efeito de curvatura é dada por: Onde, em geral, n F é o número de pontos do fatorial, n C é o número de repetições do ponto central. Essa soma de quadrados tem 1 grau de liberdade.y(barra) F é a média dos tratamentos dos pontos fatoriais. Y(barra) C é a média das repetições no ponto central. Teste do efeito de curvatura de segundo grau As hipóteses em teste são: Para testar essas hipóteses compara-se a SQ efeito da curvarutura de 2o. Grua com o quadrado médio residual. Se os pontos fatoriais só tem uma única repetição, usamos os n C pontos centrais para obter uma estimativa do erro com n C -1 graus de liberdade.

37 37 Exemplo: uma engenheira química está estudando a produção de um processo. As variáveis de interesse são: tempo e temperatura de reação. A engenheira usou um fatorial 2 2 com uma única repetição de cada combinação do fatorial aumentado com 5 pontos pontos centrais. O desenho e os dados são dados na figura tempo temperatura

38 38 Cálculo do quadrado médio do resíduo Cálculo da soma de quadrados do efeito quadrático Interpretação: o efeito da interação é não significativo; efeito significativo de tempo e temperatura. O efeito quadrático é não significativo, isto é a hipótese: H 0 : =0 não pode ser rejeitada. Portanto, um modelo de primeira ordem é indicado.

39 39 Vamos assumir um modelo de regressão de 2a. ordem Não podemos estimar os parâmetros nesse modelo porque existem 6 parâmetros para serem estimados e o fatorial 2 2 mais o ponto central tem apenas 5 observações independentes. Solução: - aumentar o fatorial 2 2 com pontos axiais. Veja figura (a) O desenho resultante chama-se delineamento central composto.Pode-se ajustar um modelo de segunda ordem (quadrático). Na figura (b) temos um DCC para três fatores. x2x2 Dois fatores. Fig (a) x3x3 x2x2 x1x1 Três fatores. Fig. (b) Tem 8+6+n C pontos (3 n C 5)


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