Dept. de Ciência da Computação do IME

Apresentação em tema: "Dept. de Ciência da Computação do IME"— Transcrição da apresentação:

1 Dept. de Ciência da Computação do IME www.ime.usp.br/~vwsetzer
A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA (ILUSTRAÇÕES) Uma aula do Projeto Embaixadores da Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação do IME V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

2 Cursos de graduação do IME. Matemática (pura). Matemática aplicada
Cursos de graduação do IME Matemática (pura) Matemática aplicada Licenciatura em matemática Estatística Ciência da computação Matemática aplicada e computacional V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

3 ONE-MINUTE PAPER: NO FIM DA AULA, ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1
ONE-MINUTE PAPER: NO FIM DA AULA, ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE? 2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU? 3. COMENTÁRIOS V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

4 Espiral de Arquimedes (passo constante)
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6 Fibonacci, de autor desconhecido
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7 Trecho do original do Liber Abaci
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8 No início, nasce um casal de coelhos.
Essa sequência já era conhecida por matemáticos hindus desde o séc. VI. Fibonacci escreveu a sequência até o 13º elemento, 233. No livro, na página vista, ele descreveu e resolveu o problema da multiplicação dos coelhos, com as seguintes regras fictícias: No início, nasce um casal de coelhos. Os coelhos nascidos levam 1 mês para atingir a maturação sexual e se acasalarem. O tempo de gestação é de 1 mês. Cada casal maduro produz um casal de novos coelhos a cada mês. V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

9 Recém nascidos: cinza; férteis: rosa
Os coelhos cinzas tornam-se rosas na linha seguinte; se há m coelhos rosas em uma linha, a seguinte é aumentada por m coelhos cinzas; se há um total de n coelhos numa linha, na linha seguinte haverá n coelhos rosas. Sequência de Fibonacci! Quantos casais de coelhos haverá depois de um ano? f12 ! V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

10 Estátua em Pisa V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações
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11 Camposanto, Pisa V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações
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12 Piazza del Duomo ou Campo dei Miracoli
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13 A sequência de Fibonacci aparece em muitas áreas da matemática, como no triângulo de Pascal:
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14 Convergência das curvas (exponenciais!)
1, Convergência das curvas (exponenciais!) V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

15 Considerando as duas curvas, na verdade há uma
oscilação em torno do valor de convergência “amortecimento exponencial”). Ex: amortecedor. 1, V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

16 Espiral de Fibonacci V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

17 b a+b 1 ––– = –––– = ϕ  ϕ = 1 + ––– a b ϕ __ 1 + √ 5  ϕ = –––––– 2
––– = –––– = ϕ  ϕ = 1 + ––– a b ϕ __ 1 + √ 5  ϕ = –––––– √ 5 = 2,  ϕ = 1, V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

18 Mas por que Barr usou o ϕ em homenagem ao Fídias? Veremos mais tarde.
O ϕ não vem de Fibonacci. Mark Barr, matemático americano usou o ϕ em 1909 em homenagem ao escultor grego Fídias ( a.C.), o mais famoso da antiga Grécia, que supervisionou a construção do Partenon em Atenas e foi o autor de estátuas famosas. Mas por que Barr usou o ϕ em homenagem ao Fídias? Veremos mais tarde. V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

19 Partenon (432 a.C.) Atena Partenos (447 a.C), Restaurada no séc. II
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20 Proporções áureas: cabelo→queixo/olhos→queixo, olhos→queixo/nariz→queixo
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21 Retângulo áureo, com lados proporcionais a 1 e Φ, aproximadamente 5 e 8, ou a 8 e 13. Proporções agradáveis? Por que? 1; 5; 8 Φ (1,618...); 8; 13 V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

22 https://www.youtube.com/watch?v=kKWV-uU_SoI (Acionar vídeo)
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23 Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides (325-265 a. C
Quem primeiro mencionou a razão áurea foi Euclides ( a.C.), em seu Elementos (ca. 300 a.C.): “Uma linha reta é dita ter sido seccionada na razão extrema e média quando a linha toda está para o segmento maior assim como o maior para o menor.” O primeiro a usar a expressão “seção áurea” (goldener Schnitt) parece ter sido Martin Ohm em 1835, e aparece na Enciclopaedia Britannica na 9ª edição de 1875. Quem provou que a razão de dois elementos consecutivos da sequência da Fibonacci converge para a razão áurea foi o escocês Robert Simpson em 1753 V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

24 Aparelho usado por pintores
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25 a a' b b' α Dois triângulos isóceles com os lados iguais proporcionais (a/a') e um ângulo igual (α) são semelhantes. Portanto a/a' = ϕ  b/b'= ϕ V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

26 Aparelho usado por dentistas para deduzir o tamanho de implante
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27 Meu aparelho para verificar a razão áurea
b b' c' c ɑ ( ) ɑ' ● a/a' = b/b' = ϕ e ɑ = ɑ' → c/c' = ϕ Meu aparelho para verificar a razão áurea (por semelhança de triângulos) V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

28 Notar a construção de retângulos áureos a partir de um retângulo áureo adicionando-se quadrados:
2+3ϕ 1+ϕ ϕ ϕ 1+ϕ 1 2+3ϕ 1+2ϕ 1+2ϕ 3+5ϕ V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

29 Partenon, Atenas, com retângulos áureos
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30 Verde: espiral com arcos de círculo; vermelha: espiral áurea; amarelo: coincidentes.
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31 vermelho vermelho verde azul
––––––––– = ––––––––– = ––––––– = –––––––– = ϕ amarelo verde azul magenta V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

32 Como desenhar um segmento de reta dividido na proporção áurea:
____ __ a2 = 12 + ½2 = 1 + ¼= 5/ a = √ 5/ a = ½√ 5 V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

33 “EADEM MUTATA RESSURGO” “Apesar de mudada, ressurjo”
Lápide do túmulo de Jacob Bernoulli (†1708), na catedral de Basel, Suíça V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

34 A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos
Um triângulo áureo: ϕ 1 A partir dele pode-se construir uma sequência de triângulos áureos V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

35 Uma sequência de triângulos áureos:
1 ϕ 1+ϕ 1+2ϕ 2+3ϕ 3+5ϕ 5+8ϕ Uma sequência de triângulos áureos: A partir dessa sequência pode-se construir uma espiral áurea, ligando-se um vértice de cada base V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

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37 Caramujos do Rio Tapajós (Notar as mesmas proporções)
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38 Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França
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39 Caramujo de Montségur, na região dos Cátaros, sudeste da França
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40 Notar a mesma forma das câmaras (dimensões proporcionais)
Nautilus pompilius Notar a mesma forma das câmaras (dimensões proporcionais) V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

41 Margarida V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

42 ← → (Margarida) V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

43 ← 55 34 → (Girassol) ← 55 34 → (Girassol)
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44 ← → V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

45 Brócoli Romanesco V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações
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46 Brócoli Romanesco V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações
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47 ← → Pinha de Araucária V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

48 Furacão V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

49 Galáxia V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

50 Qual a maior maravilha física na natureza? O corpo humano!
Exercício. Prestar atenção nas plantas e descobrir as espirais e números de Fibonacci na natureza. Dessa maneira desenvolve-se uma admiração, um respeito, uma veneração pela natureza, a única maneira de preservá-la e cultivá-la. Qual a maior maravilha física na natureza? O corpo humano! V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

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52 ATENÇÃO: Nem tudo na natureza segue a sequência de Fibonacci;
a espiral de Fibonacci; a razão áurea; uma espiral logarítmica. Mas podemos reconhecer em muitos casos regularidades, tanto matemáticas quando não matemáticas. Exs: Costela de Adão Adelpha capucinus velia V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

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F I M A SEQUÊNCIA E A ESPIRAL DE FIBONACCI, A RAZÃO E A ESPIRAL ÁUREAS E SUAS OCORRÊNCIAS NA NATUREZA (ILUSTRAÇÕES) Uma aula do Projeto Embaixadores da Matemática do Instituto de Matemática e Estatística da USP Valdemar W. Setzer Dept. de Ciência da Computação do IME V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

54 ONE-MINUTE PAPER ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1
ONE-MINUTE PAPER ESCREVER NUM PEDAÇO DE PAPEL: 1. O QUE APRENDI DE MAIS IMPORTANTE? 2. QUAL A MAIOR DÚVIDA QUE FICOU? 3. COMENTÁRIOS V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

55 Por que essa aula foi tão interessante, quem
PARA OS PROFESSORES Por que essa aula foi tão interessante, quem sabe entusiasmando os alunos? Ingredientes básicos para uma aula interessante: Ter algo estético, mexendo com os sentimentos: só a geometria faz isso. (No caso, desenhar as espirais.) A álgebra é puramente simbólica, morta. V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

56 A aula deve ter atividade dos alunos (no caso, desenhar, calcular as razões). Muito importante: dar uma aula idealmente sempre com ritmo de inspiração (alunos absorvem algo) e expiração (alunos fazem algo, põem para fora). Perguntar aos alunos com frequência, pelo nome deles. A aula deve conter algo da história da matéria, inclusive biografias, pois isso traz realidade. (Fibonacci, Bernoulli.) V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16

57 Abordar vários tópicos da matemática, e não um só.
A aula deve relacionar o que é visto com a realidade, eventualmente com a natureza. (No caso, plantas, galáxias, furacões, corpo humano.) Não dar aulas exclusivamente corretas. Avisar que se vai cometer alguns erros e pedir para ver quem os descobre. Abordar vários tópicos da matemática, e não um só. Dar aulas com entusiasmo, admiração pela matéria. Isso se transmite aos alunos. V.W.Setzer – espirais e a razão áurea -- ilustrações 13/6/16