FACULDADE DO CENTRO LESTE 1 Prof. Julio Rezende DINÂMICA 25 de dezembro de de dezembro de de dezembro de

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1 FACULDADE DO CENTRO LESTE 1 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 DINÂMICA 25 de dezembro de 201625 de dezembro de 201625 de dezembro de 201625 de dezembro de 201625 de dezembro de 2016 Cinemática do movimento plano de um corpo rígido

2 FACULDADE DO CENTRO LESTE 2 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Partícula (Ponto Material): Ponto geométrico que representa o Corpo Material. Um corpo pode ser tratado como uma partícula se o seu movimento pode ser caracterizado pelo movimento do seu centro de massa. Qualquer rotação do corpo em torno do seu centro de massa pode ser desconsiderado. Movimento Retilíneo das Partículas Posição: Trajetória da partícula será definida por um eixo Coordenado (s ou x). Origem “O” é uma referência fixa. A localização do ponto P em cada instante é dada pela magnitude da distância “ s ”. A direção é definida pelo sinal algébrico de “ s ”. Deslocamento: É definido como a mudança de posição da partícula. Se a partícula move-se de P para P’, sofrerá um deslocamento  s.

3 FACULDADE DO CENTRO LESTE 3 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Velocidade: Se a partícula move-se com um deslocamento  s, durante o intervalo de tempo  t, a velocidade média da partícula será: Movimento Retilíneo das Partículas ou Tomando-se valores cada vez menores para  t, teremos  s cada vez menores. A velocidade instantânea é definida como: A Velocidade média de percurso é definida como a distância total percorrida pela partícula s t dividida pelo tempo decorrido  t. A intensidade da velocidade é conhecida com velocidade escalar.

4 FACULDADE DO CENTRO LESTE 4 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Aceleração: Se a variação da velocidade da partícula é conhecida entre dois pontos, durante um intervalo de tempo  t, a sua aceleração média é definida como: Para intervalos de Δt cada vez menores, corresponderão a valores cada vez menores de  v: Movimento Retilíneo ou

5 FACULDADE DO CENTRO LESTE 5 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Retilíneo Uniforme: Movimento Retilíneo Uniformente acelerado: Movimento Retilíneo Velocidade Constante: Se a velocidade é constante a aceleração é nula. Aceleração Constante:

6 FACULDADE DO CENTRO LESTE 6 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Retilíneo Uniformente acelerado: Movimento Retilíneo Aceleração Constante:

7 FACULDADE DO CENTRO LESTE 7 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 O gráfico abaixo mostra a variação do deslocamento em relação tempo, de t 1 a t 2, de um determinado movimento retilíneo. A velocidade representa a inclinação da curva (tangente) para qualquer instante de tempo t. Movimento Retilíneo – análise gráfica

8 FACULDADE DO CENTRO LESTE 8 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Traçando-se o gráfico da variação da velocidade pelo tempo, para o mesmo movimento retilíneo, verificamos que a área abaixo da curva é igual vdt, que é igual a ds. A aceleração da partícula representa a inclinação da curva v-t, para qualquer instante t. Movimento Retilíneo – análise gráfica

9 FACULDADE DO CENTRO LESTE 9 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Traçando-se o gráfico da variação da aceleração pelo tempo, para o mesmo movimento retilíneo, verificamos que a área abaixo da curva é igual adt, que é igual a dv. Movimento Retilíneo – análise gráfica

10 FACULDADE DO CENTRO LESTE 10 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Um carro move-se em linha reta de tal maneira que por um curto período de tempo, a sua velocidade é definida por v = (0,9t 2 + 0,6t) m/s, onde t está em segundos. Determine a sua posição e aceleração quando t = 3 s. Quando t = 0, s = 0. R:s = 10,8 m a = 6,0 m/s 2

11 FACULDADE DO CENTRO LESTE 11 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Um carro parte do repouso e move-se com aceleração constante de 1,5 m/s 2 até alcançar uma velocidade de 25 m/s. Em seguida, move-se com velocidade constante por 60 segundos. Determine a velocidade escalar e a distância total percorrida. R:v = 22,3 m/s s = 1078,3 m

12 FACULDADE DO CENTRO LESTE 12 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento curvilíneo Movimento Curvilíneo x, y, z: Posição: A intensidade do vetor posição r é dada por: O movimento curvilíneo ao longo da trajetória curvilínea s, pode ser decomposto em um movimento retilíneo ao longo dos eixos x, y, z. A posição da partícula, num dado instante é determinada pelo vetor posição r, que liga a origem O do sistema de coordenadas à partícula.

13 FACULDADE DO CENTRO LESTE 13 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Velocidade: A intensidade do vetor velocidade v é dada por: Derivando-se o vetor posição r em relação ao tempo resulta na velocidade da partícula. A direção do vetor velocidade é sempre tangente à trajetória. Movimento curvilíneo

14 FACULDADE DO CENTRO LESTE 14 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Aceleração: A intensidade do vetor aceleração a é dada por: A aceleração da partícula é obtida através da derivação do vetor velocidade. Representa a variação temporal tanto na intensidade quanto da direção da velocidade. Movimento curvilíneo

15 FACULDADE DO CENTRO LESTE 15 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento de um projétil: O movimento em vôo livre de um projétil segue uma trajetória parabólica. Ele possui velocidade constante na direção horizontal, e aceleração constante, para baixo, igual a g = 9,81 m/s 2 na direção vertical. Movimento curvilíneo

16 FACULDADE DO CENTRO LESTE 16 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento de um projétil: Movimento Horizontal:a x = 0 ; v x = constante Movimento Vertical:a y = -g = -9,81 m/s 2 Movimento curvilíneo

17 FACULDADE DO CENTRO LESTE 17 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento curvilíneo n, t: ou Se os eixos normal e tangencial são usados para a análise, então v está sempre na direção t positiva. A componente tangencial da aceleração a t, leva em consideração a variação na intensidade da velocidade. A componente normal da aceleração (aceleração centrípeta) a n, leva em consideração a variação na direção da velocidade. Essa componente está sempre na direção n positiva. Movimento curvilíneo

18 FACULDADE DO CENTRO LESTE 18 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento curvilíneo r, θ: Velocidade Aceleração Velocidade angular [rad/s] Aceleração angular [rad/s 2 ] Se a trajetória do movimento é expressa em coordenadas polares, então as componentes da velocidade e aceleração podem ser relacionadas derivadas em relação o tempo r e θ. Se a trajetória r = f (θ) é dada, então pode-se utilizar a regra da cadeia do cálculo as derivadas temporais. Movimento curvilíneo

19 FACULDADE DO CENTRO LESTE 19 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Um veículo parte do repouso em uma estrada cujo raio de curvatura constante é de 40 m, com inclinação lateral de 10°. O movimento ocorre no plano horizontal. Se a aceleração constante do veículo, para a frente, é de 1,8 m/s 2, determine o módulo da aceleração total após 5 segundos da sua partida. R:a = 2,71 m/s 2

20 FACULDADE DO CENTRO LESTE 20 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Coordenadas cilíndricas r, θ, z : Se a partícula se move ao longo de uma curva espacial, a sua posição pode ser definida pelas coordenadas cilíndricas r, θ, z. O vetor unitário u z, que define a coordenada z é constante, a posição, velocidade e aceleração da partícula são definidas como: Movimento curvilíneo

21 FACULDADE DO CENTRO LESTE 21 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Relativo entre duas Partículas Movimento relativo entre duas partículas usando eixos de translação: Se duas partículas A e B realizam movimentos independentes, esses movimentos podem ser relacionados ao seu movimento relativo através de eixos de translação, ligados a uma das partículas.

22 FACULDADE DO CENTRO LESTE 22 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 O jato de passageiros B está voando para o norte com velocidade v B = 600 km/h, quando uma aeronave menor A passa por baixo do jato, dirigido na direção a 60°, conforme mostrado. Para os passageiros do jato B, no entanto, a aeronave A aparenta estar voando lateralmente e movendo-se para leste. Determine a velocidade real de A e a velocidade que A aparenta ter em relação a B. R:v A = 1200 km/h v A/B = 1039,2 km/h

23 FACULDADE DO CENTRO LESTE 23 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 O trem A viaja com velocidade constante v A = 120 km/h ao longo da estrada de ferro em linha reta e horizontal. O motorista do carro B, antecipando a passagem de nível C reduz a velocidade do carro de 90 km/h na taxa constante de 3 m/s 2. Determine a velocidade e a aceleração do trem em relação ao carro. R:v A/B = (70,9i – 46,9j) km/h a A/B = (1,5i + 2,6j) m/s 2

24 FACULDADE DO CENTRO LESTE 24 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 24 Movimento Absoluto entre duas Partículas Movimento absoluto dependente de duas partículas: A altura h e comprimento total l são constantes. A primeira derivada temporal da equação fornece a relação entre as velocidades dos blocos. A segunda derivada temporal fornece a relação entre as acelerações. O movimento dependente de dois blocos suspensos por cabos e polias pode ser relacionado pela geometria do sistema, estabelecendo-se coordenadas de posição medidas a partir de uma origem fixa para cada bloco, direcionada ao longo da linha de movimento do bloco. Os comprimentos em vermelho são fixos e não se alteram.

25 FACULDADE DO CENTRO LESTE 25 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Em um dado instante, o cilindro A tem velocidade para baixo de 0,8 m/s e com uma aceleração para cima de 2 m/s 2. Determine a velocidade e a aceleração correspondente ao cilindro B. R:v B = - 1,2 m/s a B = 3,0 m/s 2

26 FACULDADE DO CENTRO LESTE 26 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Um veículo equipado com um guincho motorizado puxa a si próprio para cima em um plano inclinado com o arranjo de cabo e polia mostrado. Se o cabo é enrolado sobre o tambor do guincho na taxa de 40 mm/s, quanto tempo levará para subir 4 m de aclive? R:t = 200 s ( 3 min e 20 s)

27 FACULDADE DO CENTRO LESTE 27 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016

28 FACULDADE DO CENTRO LESTE 28 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Corpo rígido: É um corpo cuja massa está distribuída em todo o seu volume ocupado no espaço e as mudanças na sua forma são desprezíveis comparadas com as dimensões gerais do corpo, ou seja, a distância entre dois pontos deste corpo não podem ser alteradas. O corpo é considerado quando existe a possibilidade de rotação do corpo, ou seja, mudança de orientação em relação a um sistema de coordenadas definido. Movimento Plano Partícula (Ponto Material): Ponto geométrico que representa o Corpo Material. Um corpo pode ser tratado como uma partícula se o seu movimento pode ser caracterizado pelo movimento do seu centro de massa. Qualquer rotação do corpo em torno do seu centro de massa pode ser desconsiderado.

29 FACULDADE DO CENTRO LESTE 29 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Trajetória de translação retilínea Rotação em torno de um eixo fixo Trajetória de translação curvilínea Movimento plano geral

30 FACULDADE DO CENTRO LESTE 30 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano

31 FACULDADE DO CENTRO LESTE 31 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Translação Retilínea e Curvilínea Derivando a expressão em relação ao tempo:  A direção de qualquer linha reta dentro do corpo rígido é constante durante o movimento;  Todas as partículas do corpo movem-se em trajetórias paralelas (retas) ou de mesmo formato e eqüidistantes (curvas). A e B são duas partículas quaisquer do corpo r B/A => Direção e intensidade constantes Derivando novamente a expressão em relação ao tempo: Todos os pontos do corpo rígido têm a mesma velocidade e a mesma aceleração.

32 FACULDADE DO CENTRO LESTE 32 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Rotação em torno de um eixo fixo Posição Angular de r É definida pelo ângulo , medido de uma linha de referência fixa em relação a r Deslocamento Angular É a mudança de posição angular, que pode ser medida como um vetor diferencial d . Velocidade Angular (  ) É a taxa de variação da posição angular no tempo. [rad/s] Aceleração Angular (  ) Mede a taxa temporal de variação da velocidade angular. [rad/s 2 ]

33 FACULDADE DO CENTRO LESTE 33 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Rotação em torno de um eixo fixo

34 FACULDADE DO CENTRO LESTE 34 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Velocidade angular em função do tempo: Posição angular em função do tempo: Velocidade angular em função da posição angular: Aceleração Angular constante Rotação em torno de um eixo fixo

35 FACULDADE DO CENTRO LESTE 35 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Na medida em que o corpo rígido gira, o ponto P se desloca ao longo de uma trajetória circular de raio r com o centro no ponto O. Movimento do ponto P A posição de P é definida pelo vetor posição r, que se estende de O a P, Se o corpo gira dθ, então P vai se deslocar ds = r dθ. Posição e deslocamento do ponto P Rotação em torno de um eixo fixo

36 FACULDADE DO CENTRO LESTE 36 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A velocidade de P tem a sua intensidade determinada por: Velocidade do ponto P como: A direção de v é tangente à trajetória circular. A intensidade e a direção de v também podem ser obtidas através do produto vetorial de ω e r P (vetor dirigido de qualquer ponto sobre o eixo de rotação até o ponto P ). como: Rotação em torno de um eixo fixo

37 FACULDADE DO CENTRO LESTE 37 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A aceleração de de P pode ser expressa pelas suas componentes normais e tangenciais: Aceleração do ponto P como: A componente tangencial da aceleração a t representa a taxa de variação, em relação ao tempo, na intensidade da velocidade.,,, A componente normal da aceleração a n representa a taxa de variação, em relação ao tempo, na direção da velocidade. Rotação em torno de um eixo fixo

38 FACULDADE DO CENTRO LESTE 38 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Assim como a velocidade, a aceleração pode ser expressa em termos de produto vetorial: Aceleração do ponto P como: Então: Rotação em torno de um eixo fixo

39 FACULDADE DO CENTRO LESTE 39 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Rotação em torno de um eixo fixo A rotação de um corpo rígido em torno de eixo fixo pode ser definido pelo movimento de uma placa representativa em um plano de referência perpendicular ao eixo de rotação. Rotação de uma placa representativa Velocidade de qualquer ponto P da placa: Aceleração de qualquer ponto P da placa:

40 FACULDADE DO CENTRO LESTE 40 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral O movimento plano geral pode ser sempre considerado como uma soma de uma translação e uma rotação. Movimento Plano Geral Movimento Plano = Translação + Rotação O deslocamento dos pontos A 1 e B 1, para A 2 e B 2, pode ser dividido em duas partes: 1)Translação para A 2 e B’ 1 ; 2)Rotação de B’ 1 para B 2, em torno de A 2.

41 FACULDADE DO CENTRO LESTE 41 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Movimento Plano = Translação + Rotação

42 FACULDADE DO CENTRO LESTE 42 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Considerando o movimento de um ponto de referência arbitrário A e uma rotação em torno de A, simultaneamente. A velocidade absoluta de B é obtida de: A velocidade v A corresponde à translação do ponto A. A velocidade relativa v B/A corresponde à rotação em torno do ponto A, e é medida com relação aos eixos de referência fixa. r B/A é o vetor posição de B em relação a A e ω k é a velocidade angular da placa em relação aos eixos de referência fixa. r = distância entre A e B Movimento Plano = Translação + Rotação

43 FACULDADE DO CENTRO LESTE 43 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Considerando que a velocidade v A seja conhecida, podemos definir a velocidade v B em termos de v A, l e . A velocidade absoluta é dada por: Se as direções das velocidades v A e v B/A são conhecidas, podemos definir as intensidades v B e ω : Movimento Plano = Translação + Rotação

44 FACULDADE DO CENTRO LESTE 44 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral À medida que o bloco A se desloca horizontalmente para a esquerda com velocidade v A, ele faz com que a manivela CB gire no sentido anti-horário, de tal maneira que o vetor v B é dirigido em direção tangente à sua trajetória circular. A biela AB é submetida ao movimento plano geral e, no instante mostrado, ele tem velocidade angular ω.

45 FACULDADE DO CENTRO LESTE 45 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 O pinhão A do motor de elevação aciona a engrenagem B, que está presa ao tambor de elevação. A carga P é elevada a partir da sua posição de repouso a adquire uma velocidade para cima de 2 m/s em uma distância vertical de 0,8 m/s com aceleração constante. Quando a carga passa por esta posição, calcule (a) a aceleração do ponto C no cabo em contato com o tambor e (b) a velocidade angular e a aceleração angular do pinhão A. R: a C = 10,3 m/s 2  A = 15 rad/s  A = 18,75 rad/s 2

46 FACULDADE DO CENTRO LESTE 46 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A rotação do braço robótico ocorre em virtude do movimento linear dos cilindros hidráulicos A e B. Se esse movimento faz com que a engrenagem em D gire com velocidade de 5 rad/s, no sentido horário, determine a intensidade da velocidade e da aceleração da peça C, segura pela garra do braço. R: v C = 6,36 m/s a C = 31,75 m/s 2

47 FACULDADE DO CENTRO LESTE 47 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Se o motor gira o eixo A em ω A = 40 rad/s, determine a velocidade angular do eixo de transmissão, ω B. O raio primitivo de cada engrenagem está listado abaixo: R:  B = 89,6 rad/s

48 FACULDADE DO CENTRO LESTE 48 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016

49 FACULDADE DO CENTRO LESTE 49 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Análise do movimento relativo Esta análise envolve dois conjuntos de eixos coordenados. O sistema fixo mede a posição absoluta dos pontos A e B. O sistema x’, y’ está conectado ao ponto base A e translada mas não gira. Análise do movimento relativo: Velocidade Posição: Posição: Deslocamento: Deslocamento: Durante um intervalo de tempo dt, os pontos A e B sofrem deslocamentos dr A e dr B. Rotação em A Translação de A Translação e Rotação

50 FACULDADE DO CENTRO LESTE 50 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Para determinar a relação entre as velocidades dos pontos A e B => derivada temporal Velocidade:, Análise do movimento relativo

51 FACULDADE DO CENTRO LESTE 51 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 O ponto A, na barra de ligação, desloca-se ao longo de uma trajetória horizontal e o ponto desloca-se ao longo de uma trajetória circular. As direções dos vetores v A e v B são tangentes às sua respectivas trajetórias de movimento. A roda é um elemento que “rola sem deslizar”, ou seja, o ponto A, momentaneamente, tem velocidade igual a zero, uma vez que o solo não se move. O centro da roda B, se desloca-se longo de uma trajetória horizontal e a direção de v B é horizontal. Análise do movimento relativo

52 FACULDADE DO CENTRO LESTE 52 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A manivela CB oscila em torno de C através de um arco limitado, obrigando a manivela OA a oscilar em torno de O. Quando o mecanismos passa pela posição mostrada, com CB na horizontal e OA na vertical, a velocidade angular de CB é de 2 rad/s no sentido anti-horário. Para esse instante, determine as velocidades angulares de OA e AB. R:  AB = - 0,857 rad/s  OA = - 0,429 rad/s

53 FACULDADE DO CENTRO LESTE 53 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Determinar a velocidade do centro de gravidade G da biela no instante mostrado. O pistão P está se deslocando para cima com uma velocidade de 7,5 m/s. R: v G = (-4,67i + 6,82j) m/s; v G = 8,27 m/s  = 124,4°

54 FACULDADE DO CENTRO LESTE 54 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A unidade de bombeamento consiste da manivela AB, da barra de ligação BC, do balancim CDE e do tirante F, Se a manivela está girando com uma velocidade angular de ω = 10 rad/s, determine a velocidade angular do balancim e a velocidade do tirante EFG, no instante mostrado. R:  CDE = 6,9 rad/s v E = 12,42 m/s

55 FACULDADE DO CENTRO LESTE 55 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016

56 FACULDADE DO CENTRO LESTE 56 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Se o ponto base A é escolhido como tendo velocidade nula, então a equação da velocidade relativa se reduz a: Centro Instantâneo de Velocidade Nula Momentaneamente, o corpo B parece girar em torno de CI do eixo instantâneo, em uma trajetória circular. Devido a este fato, a direção de v B é, sempre, perpendicular a r B/CI.

57 FACULDADE DO CENTRO LESTE 57 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Centro Instantâneo de Velocidade Nula Localização do CI Localização do CI A velocidade v A de um ponto A e a velocidade angular ω são conhecidas. Traçando-se uma linha perpendicular a v A, no ponto A. A distância de A até CI é dada por: 1) Localização do CI conhecendo-se v A e ω

58 FACULDADE DO CENTRO LESTE 58 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Localização do CI: As linhas de ação de duas velocidades não paralelas v A e v B são conhecidas. Traçando-se linhas perpendiculares a v A e v B, partindo dos pontos A e B, estendendo estas linhas até o ponto de interseção. 2) Localização do CI conhecendo-se as direções de v A e v B. A intensidade e direção de duas velocidades paralelas v A e v B são conhecidas. O CI é definido através de do método de semelhança de triângulos. 3) Se a distância d é conhecida, então:

59 FACULDADE DO CENTRO LESTE 59 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Localização do CI: O ponto escolhido como centro instantâneo de velocidade nula para um corpo somente pode ser utilizado no instante considerado. O lugar geométrico dos pontos que definem a localização do CI durante o movimento do corpo é chamado de Centrodo. Cada ponto sobre o Centrodo atua como CI do corpo somente em um determinado instante. No CI, apesar da velocidade ser nula, a aceleração, normalmente, não é nula. A linha de ação de cada vetor velocidade v é perpendicular à sua linha radial associada r, e o sentido de direção tende a deslocar o ponto de maneira consistente com a rotação angular ω.

60 FACULDADE DO CENTRO LESTE 60 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Centro Instantâneo de Velocidade Nula O vetor velocidade v B, é perpendicular à trajetória AB, que forma um ângulo  com a vertical. O vetor velocidade v C tem a sua direção na horizontal, devido ao movimento restrito do pistão neste sentido. Se traçarmos linhas perpendiculares a estes vetores, partindo da sua origem, o ponto CI, será no ponto de intersecção destas linhas.

61 FACULDADE DO CENTRO LESTE 61 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Movimento Plano Geral Centro Instantâneo de Velocidade Nula Os pontos B e C seguem trajetórias circulares em torno de eixos que passam por A e D, respectivamente. Portanto, vetor velocidade v B e v C são perpendiculares às respectivas trajetórias AB e BC. Se traçarmos linhas perpendiculares a estes vetores, partindo da sua origem, obteremos duas linhas paralelas, ou seja, o ponto CI estará no infinito.

62 FACULDADE DO CENTRO LESTE 62 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A extremidade A da barra possui velocidade descendente v A de 2 m/s durante um intervalo de seu movimento. Para a posição na qual  = 30°, determine a velocidade angular  de AB e a velocidade v G do ponto central G da barra. R:  AB = 11,55 rad/s v G = 1,155 m/s

63 FACULDADE DO CENTRO LESTE 63 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Se o segmento CD tem velocidade angular  CD = 6 rad/s, determine a velocidade do ponto E no segmento BC e a velocidade angular do segmento AB, no instante mostrado. R:  AB = 6,0 rad/s v E = 4,76 m/s

64 FACULDADE DO CENTRO LESTE 64 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A unidade de bombeamento consiste da manivela AB, da barra de ligação BC, do balancim CDE e do tirante F, Se a manivela está girando com uma velocidade angular de ω = 10 rad/s, determine a velocidade angular do balancim e a velocidade do tirante EFG, no instante mostrado. R:  CDE = 6,9 rad/s v E = 12,42 m/s

65 FACULDADE DO CENTRO LESTE 65 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A unidade de bombeamento de petróleo consiste do balancim AB, da barra de ligação BC e da manivela CD. Se a manivela gira com taxa constante de 6 rad/s, determine a velocidade da barra H, no instante mostrado. R: v H = 5,4 m/s

66 FACULDADE DO CENTRO LESTE 66 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016

67 FACULDADE DO CENTRO LESTE 67 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Análise do movimento relativo: Aceleração Para relacionarmos as acelerações de dois pontos sobre um corpo rígido submetido ao movimento plano geral, podemos obter uma equação, diferenciando a equação: Movimento Plano Geral Medidas num sistema de eixos fixos x,y. Logo, são acelerações absolutas dos pontos A e B Aceleração de B em relação a A, medida por um observador fixo num sistema de eixos x’,y’ em translação, que têm como origem o ponto de base A.,

68 FACULDADE DO CENTRO LESTE 68 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Análise do movimento relativo: Aceleração Para o observador, o ponto B parece se deslocar ao longo de uma trajetória circular de raio r B/A. Movimento Plano Geral Componente tangencial da aceleração relativa de B em relação a A. O módulo é (a B/A ) t =  r B/A e a direção é perpendicular a r B/A. Componente normal da aceleração relativa de B em relação a A. O módulo é (a B/A ) n =  2 r B/A, a direção é a de B/A e o sentido é sempre de B para A.

69 FACULDADE DO CENTRO LESTE 69 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Análise do movimento relativo: Aceleração Em um dado instante, a aceleração de B é determinada considerando-se que a barra translada com aceleração a A e, simultaneamente rotaciona em torno do ponto base A com velocidade angular instantânea ω e aceleração angular . Movimento Plano Geral = +

70 FACULDADE DO CENTRO LESTE 70 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Análise do movimento relativo: Aceleração O movimento acelerado de um corpo rígido conectado por um pino a dois outros corpos, os pontos coincidentes no pino, se deslocam com a mesma aceleração, pois ambos descrevem a mesma trajetória. Movimento Plano Geral

71 FACULDADE DO CENTRO LESTE 71 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Análise do movimento relativo: Aceleração Se dois corpos estão em contato, sem deslizar, e os pontos em contato descrevem trajetórias diferentes, as componentes tangenciais da aceleração serão iguais. Porém, as componentes normais poderão não ser iguais. Movimento Plano Geral

72 FACULDADE DO CENTRO LESTE 72 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 No instante mostrado, o bloco deslizante B está se deslocando para a direita com velocidade e aceleração mostradas. Determine a aceleração angular da roda, nesse instante. R:  A = 0,232 rad/s 2

73 FACULDADE DO CENTRO LESTE 73 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Determine a velocidade angular e a aceleração angular da placa CD do mecanismo britador, no instante em que AB está na horizontal. Neste instante,  = 30° e  = 90°. O elemento de acionamento AB está girando com velocidade angular constante de  AB = 4 rad/s. R:  CD =1,0 rad/s  CD = -10,93 rad/s 2

74 FACULDADE DO CENTRO LESTE 74 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016

75 FACULDADE DO CENTRO LESTE 75 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Taxa de variação no tempo de um vetor unitário: A derivada em relação ao tempo de um vetor unitário é igual ao produto vetorial da velocidade angular do vetor com ele mesmo. Sistema de eixos em rotação

76 FACULDADE DO CENTRO LESTE 76 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Sistema de eixos em rotação Análise do movimento relativo : Sistema de eixos em rotação Situações que envolvem elementos conectados que deslizam um em relação ao outro, ou pontos não localizados no mesmo corpo podem ser analisados utilizando-se um sistema de coordenadas que translade e rotacione. Posição: X, Y, Z – sistema de coordenadas fixo x, y, z – sistema de coordenadas que pode transladar e rotacionar em relação ao sistema de referência fixo X, Y, Z No instante considerado:, Ponto A => v A ; a A Eixos x,y => Velocidade angular:  Aceleração angular:

77 FACULDADE DO CENTRO LESTE 77 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Velocidade Relativa:, Componentes da velocidade de P, medidas por observador fixo no sistema de coordenadas móvel x, y, z. Pode ser representado por : Taxa de variação temporal instantânea dos vetores unitários i, j e k medida por observador no sistema de coordenadas fixo X, Y, Z. Pode ser representado por: Sistema de eixos em rotação

78 FACULDADE DO CENTRO LESTE 78 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Velocidade: velocidade absoluta de P, medida a partir da referência fixa X, Y, Z velocidade absoluta da origem A, da referência fixa x,y,z, medida a partir da referência X, Y, Z velocidade de “ P em relação a A ”, medida por um observador fixo à referência em rotação x, y, z efeito da velocidade angular causado pela rotação da referência x, y, z, observado a partir da referência X, Y, Z Onde: Sistema de eixos em rotação

79 FACULDADE DO CENTRO LESTE 79 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Aceleração Relativa: Sistema de eixos em rotação

80 FACULDADE DO CENTRO LESTE 80 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 aceleração absoluta de P, medida a partir da referência X, Y, Z aceleração absoluta da origem A da referência x,y,z, medida a partir da referência X, Y, Z Efeito combinado da P deslocando-se em relação às coordenadas x, y, z e da rotação do sistema x, y, z efeito da aceleração angular causado pela rotação da referência x, y, z, movimento do sistema x, y, z, observado a partir da referência X, Y, Z Onde: efeito da velocidade angular causado pela rotação do sistema x, y, z, movimento do sistema x, y, z, observado a partir do sistema X, Y, Z aceleração de P em relação a A, movimento observado a partir do sistema x, y, z Sistema de eixos em rotação

81 FACULDADE DO CENTRO LESTE 81 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Aceleração de Coriólis, que representa a diferença na aceleração de P quando medida a partir dos eixos x, y, z em rotação e sem rotacionar. É sempre perpendicular a ambos  e (v P/A ) xyz. É uma componente importante da aceleração que tem de ser considerado sempre que sistema de referência em rotação são utilizados. Reescrevendo a equação: E comparado-a com: aceleração de P em relação a A, movimento observado a partir do sistema x, y, z Diferença Sistema de eixos em rotação

82 FACULDADE DO CENTRO LESTE 82 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 No instante mostrado, a esfera B está rolando ao longo da ranhura no disco com velocidade de 600 mm/s a aceleração de 150 mm/s 2, ambas medidas em relação ao disco e dirigidas para longe do centro O do disco. Se no mesmo instante, o disco tem velocidade angular e aceleração mostradas, determine a velocidade e aceleração da esfera, neste instante. R:v B = {0,6 i + 2,4 j} m/s a B = {- 14,25 i + 8,4 j} m/s 2

83 FACULDADE DO CENTRO LESTE 83 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 O braço telescópico do guindaste gira com velocidade angular e aceleração angular mostradas. No mesmo instante, a seção da lança está estendendo-se com velocidade constante de 0,15 m/s, medida em relação ao braço. Determine as intensidades da velocidade e aceleração do ponto B, nesse instante. R:v B = 0,39 m/s; v B = {0,36 i + 0,15 j} m/s a B = 0,186 m/s 2 ; a B = {0,186 i + 0,15 j} m/s 2

84 FACULDADE DO CENTRO LESTE 84 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 A calha basculante é articulada em torno do ponto C e é operada pelo cilindro hidráulico AB. Se o cilindro está estendendo-se a uma taxa constante de 0,15 m/s, determine a velocidade angular ω da calha no instante em que ela está na posição horizontal, mostrada. Utilizar o método da aceleração de Coriólis para solucionar o problema. R:  BC = 0,833 rad/s

85 FACULDADE DO CENTRO LESTE 85 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br85 Devido à ação da correnteza, o centro de massa B, do barco, se movimenta com velocidade v B = 1m/s e velocidade angular ω =1°/s, em relação ao eixo vertical. A velocidade do ponto B é constante, mas a velocidade angular ω decresce a uma taxa de 0,5°/s. Uma pessoa está parada no ponto A. Determine a velocidade e a aceleração que o ponto A, parece ter, quando observado por um passageiro, fixo, girando junto com o barco, posicionado em B. Considere o problema em duas dimensões. R:(v A/B ) xyz = {-2,71i - 0,259 j} m/s(a A/B ) xyz = {0,864i +0,064j} m/s 2

86 FACULDADE DO CENTRO LESTE 86 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br86 A manivela OA gira com velocidade angular constante de 10 rad/s, no sentido horário. Para a posição  = 30°, determine a velocidade angular do elemento com ranhura CB e a aceleração de A medida em relação à ranhura de CB. R:  = 5,0 rad/s(a A/C ) xyz = -8,65 m/s 2

87 FACULDADE DO CENTRO LESTE 87 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br25/12/2016 Prof. Julio Rezende juliorezende@ucl.br87 O trem B está circulando em uma linha férrea de trilhos circulares a uma velocidade constante de 50 m/s, conforme mostrado. O trem A está circulando em uma linha férrea de trilhos retos a uma velocidade 20 m/s e aumentando a sua velocidade a uma taxa de 2 m/s 2, na direção mostrada. Determine a velocidade e a aceleração de um passageiro do trem A quando observado por um passageiro que está fixo, movimentando-se (girando) com o trem B no instante mostrado. R:(v A/B ) xyz = (-120j) m/sa B = (-14i – 2j) m/s 2