PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA – COPPE/UFRJ

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1 PROGRAMA DE ENGENHARIA QUÍMICA – COPPE/UFRJ
COQ862 – MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SISTEMAS DISTRIBUÍDOS Simulação do processo de ultrafiltração da albumina sérica bovina em membranas de fibra oca FREDERICO CARVALHO DE ALMEIDA REGO

2 OBJETIVOS Replicar os resultados das simulações de Secchi et al (1999): Principalmente os perfis de concentração ao longo de toda a parte interna da fibra Discretizando na direção radial por colocação ortogonal e aplicando método das linhas para integrar na direção axial;

3 INTRODUÇÃO sobre o processo
Fibra oca Principais problemas, fenômenos de: - Polarização da concentração - adsorção

4 Polarização da Concentração
acúmulo de soluto na superfície da membrana Polarização da Concentração o fluxo convectivo de soluto para a superfície da membrana entra em equilíbrio com o fluxo difusivo contrário da camada polarizada para o seio da solução modificação das condições operacionais, reversão do fluxo (Retirado de: Sistema de Tratamento e Reúso de Águas – PSM)

5 Polarização da Concentração
Membrana Direção do Escoamento Permeado Alimentação Cm J solvente Camada Polarizada J soluto Co (Retirado de: Sistema de Tratamento e Reúso de Águas – PSM)

6  “FOULING” –  adsorção do soluto no poro da membrana
- aumento da resistência da membrana à permeação, - em virtude da redução da porosidade (entupimento, adsorção), - motivada pela polarização da concentração na superfície da membrana (acúmulo de solutos).  Redução do Fluxo de Permeado (Retirado de: Sistema de Tratamento e Reúso de Águas – PSM)

7 Fouling Rg Rb Ra Rm RPC membrana alimentação Rb = bloqueio de poros
Fluxo Permeado membrana Ra Rm Rb RPC Rb = bloqueio de poros Ra = adsorção Rm = membrana Rpc = polarização da concentração Rg = camada gel (Retirado de: Sistema de Tratamento e Reúso de Águas – PSM)

8 Polarização da Concentração e ‘Fouling’
FLUXO PERMEADO TEMPO POLARIZAÇÃO DA CONCENTRAÇÃO REVERSÍVEL SOLVENTE PURO SOLUÇÃO IRREVERSÍVEL ‘FOULING’ (Retirado de: Sistema de Tratamento e Reúso de Águas – PSM)

9 Sistema de Tratamento e Reúso de Águas - PSM
Fouling

10 Considerações: Fibras de geometria cilíndrica regular (SEM imperfeições na parede polimérica)  raio interno(rm) cte e igual a 100 µm; Estado estacionário  Rejeição perfeita de soluto  [Soluto]permeado = 0; Densidade, Viscosidade e Difusividade do Soluto ctes; Difusão axial e efeitos angulares desprezíveis; Pressão no lado “casco” (lado externo das fibras) cte; Perfil de pressão linear dentro das fibras, variando na direção axial; Peclet cte e é igual ao Pe inicial.

11 Introdução do problema
Equação da Continuidade combinada com a equação do fluxo convectivo-difusivo: Coordenadas cilíndricas adimensionalizadas Condições Contorno: C.Alimentação C.C.1 C.C.2 C.Inicial

12 Cálculo das velocidades axial (U(R,Z)) e Radial (V(R,Z)), da eq
Cálculo das velocidades axial (U(R,Z)) e Radial (V(R,Z)), da eq. da continuidade

13 Método de Discretização da variável espacial
Método dos Resíduos Ponderados Vantajoso para problemas que apresentam simetria; Colocação Ortogonal método que zera os resíduos nos pontos Def.:propõe que o vetor resíduo seja anulado em alguns pontos do intervalo de definição do problema, o que é equivalente a obrigar que a equação original seja satisfeita nestes pontos com a solução aproximada Vantagens: Este método gera polinômios de maior ordem, logo é necessário um menor número de pontos para resolução com a mesma acurácia; Limitação: Se o problema for predominantemente advectivo pode dar soluções instáveis;

14 Algoritmo da colocação da ortogonal:
Definir intervalo de solução e função peso Definir o grau n de aproximação (o polinômio tem n+1 coeficientes) Calcular o polinômio ortogonal de grau n+1–ncc (nº de condições de contorno a ser satisfeitas) Calcular as n+1-ncc raízes (pontos de colocação) Determinar as matrizes Aij e Bij da primeira e segunda derivadas dos polinômios interpoladores de Lagrange nos pontos de colocação Escrever as equações do Resíduo nos pontos de colocação e as equações vindas da condição de contorno; Aumentar o grau de aproximação até não observar mais alteração significativa na solução, dentro do critério de tolerância; Resolver o sistema de equações resultante; Pinto e Lage [5]

15 Intervalo de Solução, Alfa, Beta e n
Para o cálculo das raízes do polinômio de Jacobi foi adotada quadratura do tipo Lobatto. Secchi (1999) adotou: β=0,87 para EDP´s sem mudança de variável; Com relação ao α, adotou-se o valor de 2 para EDP com mudança de variável. Estimando Pe*Vmj, através de 1+0,76.Pe. Vmj = α. Logo, α=0,69+0,29(1,316)  α = 1,072. Para a direção radial, foi adotado n=9 e na axial n=40;

16 Geração das EAD (Equações Algébricas Diferenciais)
𝜕𝐶 𝜕𝑡 = 1 𝑃𝑒∗𝑅 ∗ 𝜕 𝜕𝑅 𝜕𝐶 𝜕𝑅 −𝑉 𝑅,𝑍 ∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑅 −𝑈 𝑅,𝑍 ∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑍 0= 1 𝑃𝑒∗𝑅 ∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑅 + 1 𝑃𝑒 ∗ 𝜕²𝐶 𝜕𝑅² −𝑉∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑅 −𝑈∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑍 ; Regime Estacionário 𝑅𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜=0= 1 𝑃𝑒∗𝑅 −𝑉 ∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑅 + 1 𝑃𝑒 ∗ 𝜕²𝐶 𝜕𝑅² −𝑈∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑍 Discretizando por colocação ortogonal na direção radial: 𝐶 𝑅 =𝑦 𝑥 =𝑦 𝑛 𝑥 𝑛 ≅ 𝑗=1 𝑛+1 𝑙 𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 𝑅𝑒𝑠í𝑑𝑢𝑜=0= 1 𝑃𝑒∗𝑅 −𝑉 ∗ 𝑑( 𝑗=1 𝑛+1 𝑙 𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 ) 𝑑𝑅 + 1 𝑃𝑒 ∗ 𝜕² 𝑗=1 𝑛+1 𝑙 𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 𝜕𝑅² −𝑈∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑍 0= 1 𝑃𝑒∗𝑅 −𝑉 ∗ 𝑗=1 𝑛+1 𝐴 𝑖𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 + 1 𝑃𝑒 ∗ 𝑗=1 𝑛+1 𝐵 𝑖𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 −𝑈∗ 𝜕𝐶 𝜕𝑍

17 Geração das EAD (Equações Algébricas Diferenciais)
Condições de Contorno: CC2: 𝑑𝐶 𝑑𝑅 𝑅=0 = 0 .:. 𝑑( 𝑗=1 𝑛+1 𝑙 𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 ) 𝑑𝑅 =0 .:. 𝑗=1 𝑛+1 𝐴 𝑖𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 𝑅=0 = 0 CC3: 𝑑𝐶 𝑑𝑅 𝑅=1 = 𝑉 𝑚 ∗𝐶 𝑡,1, 𝑍 ∗𝑃𝑒 .:. 𝑑( 𝑗=1 𝑛+1 𝑙 𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 ) 𝑑𝑅 = 𝑉 𝑚 ∗ 𝑗=1 𝑛+1 𝑙 𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 ∗𝑃𝑒 𝑗=1 𝑛+1 𝐴 𝑖𝑗 ∗ 𝐶 𝑗 𝑅=1 = 𝑉 𝑚 ∗𝐶 𝑗 ∗𝑃𝑒 𝑙 𝑗 𝑥 𝑖 = 𝛿 𝑖𝑗 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖=𝑗 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖≠𝑗

18 Método das Linhas para resolução de problemas dinâmicos
Transforma EDP com distribuição espacial discretiza em uma direção e integra no tempo ou na outra direção Integração em Z pela técnica de integração BDF, Ode15i do Matlab;

19 RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
Evolução adimensional do perfil de concentração de soluto no interior da fibra em regime estacionário, de acordo com dados exp.7 (∆Pax = 6,8 kPa e ∆P re=20,66kPa) Polarização em R´s elevados (próx a membrana)

20 RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
Perfis Bidimensionais de concentração em Z Perfis Bidimensionais de concentração em R

21 RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
Fluxo reverso Concentração adimensional na superfície da membrana contra a coordenada axial para diferentes valores de pressão através da membrana. ↑ Concentração por polarização  ↑Ωad, ↑πm ↓Vm

22 RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES
Vel. de Permeação x Z, para diversos ∆Pre Vm = 0 (Polarização e adsorção) Pressão osmótica x Z, para vários ∆Pre. POSMm > ∆Pre

23 RESULTADOS DAS SIMULAÇÕES (PLOTAR)

24 CONCLUSÕES A resolução do sistema de EDA (Equações Diferenciais Algébricas) e sua integração em Z pela rotina crida em Matlab, conseguiu replicar com boa similaridade os resultados obtidos por Secchi et al.[1]. Foi possível confirmar na prática que o uso de colocação ortogonal na direção radial possibilitou a resolução do problema com o mesmo número de pontos de Secchi (1999), n=9. Da mesma forma, na direção axial foi possível resolver a integração em Z com n=40 pontos, números bem menores que os utilizados por Ma et al (1985). Pela análise gráfica, foi possível constar que as simulações representaram bem a ocorrência esperada do fenômeno da polarização da concentração e da adsorção

25 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Secchi, A. R.; Keiko, W.; Tessaro, I. C.; “Simulation of na ultrafiltration process of bovine serum albumin in hollow-fiber membranes”, Journal of Membrane Science, 160 (1999) 255 – 265. Ma, R. P.; Gooding, C.H.; Alexander, W.K.; “A dynamic model for low-pressure, hollow-fiber ultrafiltration”, AIChe J. 31 (1985) 1728. V. Gekas,V.; Aimar, P.; Lafaille, J.P.; Sanchez, V.; “Simulation study of adsorption – concentration polarization interplay in protein ultrafiltration”, Chem. Eng. Sci. 48 (1993) 2753. Habert, A.C.; Borges, C.P.; Nobrega, R.; Processos de Separação por membranas. E-papers serviços editoriais, Rio de Janeiro, p. Pinto, J.C.; Lage, P.L.C.; Métodos numéricos em problemas de engenharia química. E-papers serviços editoriais, Rio de Janeiro, p. Schlüter, H.; Apresentação do Curso Sistema de tratamento de águas por Processos de separação por membranas (PSM). Rio de janeiro, Slides

26 INÍCIO DO TRABALHO: A SUPERAÇÃO DA MONTANHA!!!
Vai usar Matcad, Matlab ou EMSO? Por que ñ devo usar o artigo c/ aquela EDO? Quemmm? É italiano? α β ω ξ ∑ π ∆ ℓі ∞ ∫ ∂²C/∂t² Ω f(x), g(x), R(x), Ф i j k n Qual método de discretização do sistema distribuído? [ A ]4x3*[ B ]3x2 =C]4x3 function, res, ode15i ode45, Nan Nan Resíduos Ponderados, Diferenças Finitas, ElementosFinitos, Volumes Finitos Por fim: respire, “NÃO DESISTA”, “comece pelo mais simples” E TRABALHE DURO!!!

27 AGRADECIMENTOS Amigos da turma