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Professor Vilson Schwantes – www.pvilson.com.br PROPORÇÃO. PRELIMINARES: Para se compreender o que vem a ser uma proporção é necessário ter idéia a respeito.

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2 Professor Vilson Schwantes – PROPORÇÃO. PRELIMINARES: Para se compreender o que vem a ser uma proporção é necessário ter idéia a respeito do que seja uma razão. Razão é uma relação entre dois valores, ou seja, uma divisão entre duas grandezas. Ex: A soma das idades de um pai [Paulo] e seu filho [Felipe] é de 40 anos. Sabendo-se que a razão entre essas idades é de 5/3, calcule a idade do pai e a do filho. RAZÃO

3 Professor Vilson Schwantes – PF = 40 PaiFilho Aplicando propriedades proporções. P+F=40; 1)Propriedades; 2)Direto…

4 Professor Vilson Schwantes – Outros exemplos: Você já deve ter ouvido expressões como: De cada 20 habitantes 5 são analfabetos; De cada 10 alunos, 2 gostam de matemática; No mês de agosto de 2002, tivemos um dia de sol, para cada 3 dias de chuva. Em cada uma dessas frases está sempre uma comparação entre dois números. Assim, no primeiro caso, destacamos 5 entre 20; No segundo 2 entre 10 e no último 1 para cada 3. Todas as comparações são matematicamente expressas por um quociente chamado razão. Teremos, pois:

5 Professor Vilson Schwantes – de cada 20 habitantes, 5 são analfabetos. Razão = de cada 10 alunos, 2 gostam de matemática. Razão = Razão= Comparação entre quantidades de uma mesma grandeza ou grandezas diferentes.

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20 RAZÕES EQUIVALENTES. *Um automóvel gasta 1 litro de gasolina para percorrer 8 Km, então: Com 2 litros de gasolina percorrerá 16 Km; Com 3 litros de gasolina percorrerá 24 Km; Com 4 litros de gasolina percorrerá 32 Km. Km 24 Km

21 Professor Vilson Schwantes – Retomando: Numa prova de matemática, um aluno acertou 30 questões e errou 20. A razão entre as questões certas e as questões erradas é igual a quanto : Um terreno tem 200 metros quadrados de área livre para 600 metros de área construída. A razão da área livre para a área construída é:

22 Professor Vilson Schwantes – * O comprimento de uma sala de aula é 6 metros. Num desenho, este comprimento está representado por 2 cm. Qual foi a escala usada para fazer o desenho? cm 2cm x 1cm X=300 cm; ou; 1cm ~ 3m

23 Professor Vilson Schwantes – A capacidade total de um reservatório é de 1000 litros. Neste momento, o reservatório contém 750 litros de água. Qual é a razão entre a quantidade de água que o reservatório contém neste momento e a sua capacidade total?

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26 Propriedades das Proporções. P 1 : O produto dos extremos é igual ao produto dos meios e vice-versa. Ex: Resolver uma proporção através desta propriedade significa determinar o valor do termo desconhecido na proporção

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35 PARA NÃO ESQUECER.

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38 Propriedades das Proporções. P 2. Uma proporção não se altera se somarmos simultaneamente o antecedente ao conseqüente da primeira e o antecedente ao conseqüente da segunda.

39 Professor Vilson Schwantes – Resp. P=35 anos e F=10 anos. PF

40 Professor Vilson Schwantes – Propriedades das Proporções. P 3 Uma proporção não se altera se subtrairmos simultaneamente o antecedente ao conseqüente da primeira e o antecedente ao conseqüente da segunda. A diferença entre as idades de Carlos e José é 18 anos. Se a razão dessas idades é 19/10, qual é a idade de José? 20 ANOS

41 Professor Vilson Schwantes – A soma de 2 números é 27. Se a razão entre eles é 2/7, quais são os números? 6 e 21 A razão entre a base e a altura de um retângulo é 8/3 e a soma 22. Calcule a base e a altura do retângulo? b=16 e h=6

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43 MÉDIA PONDERADA. A média ponderada de vários números, com pesos diferentes, é igual à soma dos produtos dos números (ou valores) pelos respectivos pesos, dividida pela soma dos pesos. Onde N são os números ou valores e P são os pesos. Num concurso para um banco atribui-se peso 3 à prova de matemática, peso 2 para a prova de contabilidade e peso 1 para português. Um candidato tirou as seguintes notas: português 6, contabilidade 6 e matemática 5. Qual a média do candidato? 5,5

44 Professor Vilson Schwantes – MÉDIA PONDERADA. Um professor combinou com seus alunos que a nota de um determinado bimestre seria calculada através da média aritmética ponderada dos testes T 1,T 2 e T 3 realizados durante o bimestre, com os respectivos pesos 3;3 e 4. As notas do aluno Marcos foram T 1 =7, T 2 =5 e T 3 =9. Qual foi a nota bimestral de Marcos? 7,2

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46 Professor Vilson Schwantes – GRANDEZAS PROPORCIONAIS e DIVISÃO PROPORCIONAL. No dia a dia, lidamos com situações que envolvem números, tais como: Preço, peso, salário, dias de trabalho, índice de inflação, velocidade, tempo, idade e outros. Passaremos a nos referir a cada uma dessas situações mensuráveis como uma grandeza. Cada grandeza não é independente, mas, vinculada a outra conveniente. O salário está relacionado a dias de trabalho; a velocidade com o tempo e espaço percorrido; a pesos que dependem da idade do indivíduo, etc. Vamos analisar dois tipos básicos de dependência entre grandezas proporcionais.

47 Professor Vilson Schwantes – GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. Observe que, quando na primeira grandeza (lata(s) de cerveja) aumenta na razão 1 para 2, a segunda grandeza (preço) passa de 1,20 para 2,40. Como é equivalente Temos a proporção: = = 0,5 = 0,5 Idem de 1 para 3; r=0,3333….

48 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. Dessa forma, dizemos que as duas grandezas (quantidade de latas de cerveja e preços) são diretamente proporcionais. Assim duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se (variando) uma delas, a outra também (varia) na mesma razão da primeira. Ou ainda, duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumentando-se (ou diminuindo-se) uma delas numa determinada razão, a outra aumenta (ou diminui) nessa mesma razão. Grandezas como o trabalho produzido e remuneração obtida são, quase sempre diretamente proporcionais. De fato, se você receber R$ 20,00 por dia trabalhado (já incluído descanso remunerado), no final de 15 dias receberá R$ 300,00 de salário ou no final de 30 dias receberá R$ 600,00. X=300X=600

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53 GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. Seja dividir R$ 660,00 em partes diretamente proporcionais a 6 e 5 que são as horas que A e B trabalharam. Quanto deve receber cada sujeito? 300 e 360 x+y=660; Ou Macete 6+5=11; 660:11=60 (Constante) Dividir o número 18 em partes diretamente proporcionais a 5 e e 8

54 Professor Vilson Schwantes – GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. A distância entre Cascavel e Foz do Iguaçu é 120 Km. Um veículo pode percorrer esta distância com diferentes velocidades. Vamos examinar a relação que existe entre as grandezas velocidade e tempo gasto no percurso VelocidadeTempo Gasto A30 Km/h4 h B40 Km/h3 h C60 Km/h2 h D120 Km/h1 h Razão Velocidade Razão Tempo Razão Velocidade é Inverso Razão Tempo

55 Professor Vilson Schwantes – Problematizando: X=3 h Duas grandezas são inversamente proporcionais quando aumentando-se (ou variando-se) uma delas a outra diminui (ou varia) na mesma razão da primeira (na inversa da primeira).

56 Professor Vilson Schwantes – GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS. Grandezas como tempo de trabalho e número de operários para a mesma tarefa são, em geral, inversamente proporcionais. Assim, para uma tarefa de que 10 operários executam em 20 dias devemos esperar que 5 operários a realizem em 40 dias; 10 Oper. 20 dias. 5 Oper. x 40 dias Velocidade média e tempo de viagem, são inversamente proporcionais, pois, se você dobrar a velocidade de seu veículo, mantendo fixa a distância a ser percorrida, reduzirá o tempo do percurso pela metade;

57 Professor Vilson Schwantes – Dividir R$ 160,00 em partes inversamente proporcionais a 3 e a 5 que correspondem as faltas no trabalho das pessoas A e B. Quando deve receber cada um? Macete: 160 : 8= 20 Razão e 100 Resolva também utilizando as propriedades das proporções.

58 Professor Vilson Schwantes – *Seja dividir o número 336 em partes inversamente proporcionais a 6;10;12. Macete: 336 : 21= ; 96 e 80 16=Razão Resolva também utilizando as propriedades das proporções.

59 Professor Vilson Schwantes – A quantia de R$ 850,00 deve ser repartida em três parcelas que são inversamente proporcionais aos números 10; 8 e 5. Qual é o valor de cada uma das parcelas? R$ 200,00 ; 250,00 e R$ 400,00 Um barbante de 200 cm de comprimento foi dividido em pedaços diretamente proporcionais aos números 3 ; 5 e 2. Qual é o comprimento de cada pedaço? 60 cm ; 100 cm e 40 cm

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61 Professor Vilson Schwantes – REGRA DE TRÊS Uma regra de três pode ser simples (direta ou inversa) e composta. Vejamos no exemplo. Se 10 quilos de uma certa mercadoria custam 120 reais, quanto custarão 2,5 quilos. Onde está a incógnita x, desce sempre a seta, ok. Agora você deve descobrir se a regra de 3 é direta ou inversa. A regra de 3 será direta, se a um aumento de mercadoria corresponder a um aumento de preço, ou ainda, se uma diminuição de mercadoria corresponder a uma diminuição de preço.

62 Professor Vilson Schwantes – REGRA DE TRÊS No caso temos uma regra de 3 direta, pois, 2,5 Kg (menos mercadoria) vai custar menos dinheiro, isto é, menos do que 120,00 reais. Colocamos então, uma seta para baixo, indicativa de regra de 3 direta na coluna onde não estiver a variável. Após isso arme uma proporção, começando com a coluna que tem a incógnita e a iguale a outra que teve ser disposta no mesmo sentido da seta, isto é, se a seta vem do 10 para o 2,5 o numerador é o 10 e do denominador o 2,5. Resolvendo, vem: x= R$ 30,00

63 Professor Vilson Schwantes – REGRA DE TRÊS 1) De cada litro de água salgada podemos extrair 4g de sal. Quantos litros da mesma água serão necessários para obtermos um quilo de sal? 250 litros Um automóvel percorre 30Km em 45 minutos. Quantos Km percorrerá em 5 horas? Km Um avião consome 400 litros de gasolina por hora. Calcule o consumo numa etapa de 2h, 10 min e 3s? litros.

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