Teleinformática e Redes I

Teleinformática e Redes I
Comunicação de Dados e Representação de Sinais Analógicos e Digitais Aula 03 Profa. Priscila Solís Barreto

Bits, números e informação
Bit: numero com valor 0 ou 1 n bits: representação digital para 0, 1, … , 2n Byte ou Octeto, n = 8 Palavra, n = 16, 32, ou 64 n bits permitem a numeração de 2n possibilidades Campo n-bit no cabeçalho Representação de n-bits de uma amostra de voz Mensagem consistente de n bits O número de bits requeridos para representar uma mensagem é a medida do seu conteúdo de informação Mais bits → Mais conteúdo

Bloco vs. Informação de Stream
Informação que ocorre em um único bloco Mensagem de texto Arquivo de dados Imagem JPEG Arquivo MPEG Tamanho = Bits / bloco ou bytes/bloco 1 kbyte = 210 bytes 1 Mbyte = 220 bytes 1 Gbyte = 230 bytes Stream Informação que é produzida e transmitida continuamente Voz tempo real Streaming vídeo Taxa de bits= bits / seg 1 kbps = 103 bps 1 Mbps = 106 bps 1 Gbps =109 bps

Visão Abstrata da Transmissão de Dados
Transmissor Receptor Canal de Comunicação Propriedades do canal de comunicação: Largura de banda Atraso de propagação e transmissão Jitter Perdas/erros Buffering

Atraso de Transmissão Uso de compressão para reduzir L
L numero de bits na mensagem R bps velocidade do sistema de transmissão digital L/R tempo para transmitir a informação tprop tempo para que ou sinal se propague através do meio d distancia em metros c velocidade da luz (3x108 m/s não vazío) Delay = tprop + L/R = d/c + L/R segundos Uso de compressão para reduzir L Uso de modem rápido para aumentar R Colocar servidor mais próximo para reduzir d

Compressão Informação normalmente não representada de forma eficiênte
Algoritmos de compressão de dados Representa a informação usando menos bits Sem ruido: informação original recuperada de forma exata E.g. zip, compress, GIF, fax Ruidoso: recuperar informação aproximadamente JPEG Balanço entre # bits e qualidade Relação da compressão #bits (arquivo orginal) / #bits (arquivo comprimido)

Informação de Stream Um sinal de voz de tempo real deve ser digitalizado e transmitido conforme é produzido O nível de um sinal analógico varia continuamente não tempo

Exemplo CD Largura de banda de 22KHz
Cada amostra tem 16bits e ou sinal é amostrado a 44kamostras/seg Em um sistema stereo (com dois canais): amostas/seg * 16 bits/amostra x 2 canais=1.4 Mbps Uma hora de música = 317 Mbytes de informação

Um sistema de transmissão
Receptor Canal de comunicação Transmissor Transmissor Converte informação em um sinal adequado para transmissão Injeta energia não meio de comunicacação ou canal O telefone converte voz em corrente elétrica Modem converte bits em tons Receptor Recebe energia do méio Converte ou sinal recebido de forma adequada para ser entregue ao usuário Telefone converte corrente em voz Modem converte tons em bits

Problemas de Transmissão
Sinal Transmitido Sinal Recebido Receptor Canal de Comunicação Transmissor Canal de Comunicação Par de fios de cobre Cabo coaxial Radio Luz em fibra óptica Luz não ar Infravermelho Problemas na Transmissão Atenuação do sinal Distorção do sinal Ruido Interferencia de outros sinais

Comunicações de Longa Distância Analógicas
Fonte Destinatário Repetidor Segmento de transmissão . . . Cada repetidor restaura ou sinal analógico à sua forma original A restauração é imperfeita Distorção não é completamente eliminada Ruido e interferência são parcialmente removidos A qualidade do sinal diminui com ou número de repetidores As comunicações são limitadas na distancia Ainda utilizado em sistemas analógicos de TV a cabo Analogia: Copiar uma música usando-se um gravador de fita

Transmissão Analógica versus Digital
Na transmissão digital todos os detalhes devem ser reproduzidos Enviado Recebido Exemplos: AM, FM, TV aberta Na transmissão digital somente níveis discretos devem ser reproduzidos Enviado Recebido Exemplo: telefonia digial, áudio CD d metros Canal de comunicação

Em um canal de comunicação
Segmento de Transmissão Fonte Repetidor Receptor Repetidor Sinal recuperado + Ruído residual Sinal atenuado e com distorção +ruído Amp. Equalizador Repetidor

Analógico vs. Transmissão Digital
Transmissão analógica : todos os detalhes devem ser produzidos de forma precisa Distorção Atenuação Enviado Recebido Transmissão Digital : somente níveis discretos devem ser reproduzidos Recebido Enviado Distorção Atenuação Receptor simples: O pulso original era positivo ou negativo?

Comunicações Digitais de Longa Distancia
Fonte Destino Regenerador Segmento de transmissão . . . O regenerador recupera a sequencia original de dados e a transmite não segmento seguinte Projetado para que a probabilidade de erro seja pequena Cada regeneração é como a primeira vez! Comunicação é possível em distâncias muito longas Sistemas digitais vs. sistemas analógicos Menos potência, maiores distâncias, menor ou custo do sistema Monitoramento, multiplexação, codificação, encriptação, protocolos …

Repetidor Digital Decision Circuit. & Signal Amplifier Regenerator
Equalizer Timing Recovery

Digitalização de um Sinal Analógico
Amostrar ou sinal analógico em tempo e amplitude Encontrar a aproximação mais próxima Sinal original valor amostragem D/2 3D/2 5D/2 7D/2 -D/2 -3D/2 -5D/2 -7D/2 Aproximação 3 bits / sample Rs = Taxa de bits= # bits/amostra x # amostras/seg

Taxa de bits de um sinal digitalizado
Largura de banda Ws Hertz: a velocidade de variação do sinal Largura de banda mais alta → amostrar mais frequentemente Taxa minima de amostragem = 2 x Ws Precisão da representação : intervalo de aproximaçào de erro Maior precisão → menor espaçamento entre valores de aproximação → mais bits por amostra

Exemplo: Voz & Audio Voz no telefone Ws = 4 kHz → 8000 amostras/sec
8 bits/amostra Rs=8 x 8000 = 64 kbps Telefones celulares usam algoritmos mais poderosos de : kbps CD Audio Ws = 22 kHertz → amostras/seg 16 bits/amostra Rs=16 x 44000= 704 kbps por canal de audio MP3 usa algoritmos mais poderosos de compressão : 50 kbps por canal de audio

Transmissão de Informação de Stream
Taxa constante de bits Sinais tais como a voz digitalizada produzem um stream estável : e.g. 64 kbps A rede deve suportar a transmissão estável do sinal, e.g. circuito de 64 kbps Taxa variável de bits Os sinais tais como vídeo digitalizado produzem stream que variam na taxa de bits, e.g. de acordo com a movimentação e detalhe na cena A rede deve suportar taxa de transmissão variável do sinal, e.g. comutação de pacotes ou suavização da taxa com circuito de taxa constante de bits

Qualidade de Serviço de Stream
Problemas na transmissão de rede Atraso: A informação é entregue no tempo certo? Jitter: A informação é entregue suficientemente ‘suavizada’? Perda: A informação é entregue sem perdas? Se ocorrem perdas, a qualidade do sinal é aceitável? Aplicações e protocolos de aplicação são desenvolvidos para lidar com estes problemas

Digitalização de Sinais Analógicos
Amostragem: obter amostras de x(t) em intervalos uniformes de tempo Quantização: mapear cada amostra em um valor de aproximação finita Pulse Code Modulation: conversa de telefone CD audio Compressão: para diminuir a taxa de bits mais adiante, aplicar um método adicional de compressão Coding diferencial : conversa telefonia celular Codificação Subband : MP3 audio

Taxa de Amostragem e Largura de Banda
Um sinal que varia mais rapidamente precisa ser amostrada mais frequentemente Largura de Banda mede a velocidade de variação do sinal . . . t 1 ms x1(t) 1 ms . . . t x2(t) Que é a largura de banda de um sinal ? Como se relaciona a largura de banda com a taxa de amostragem?

Caraterização do Canal – Domínio da Frequência
Aincos 2ft Aoutcos (2ft + (f)) Canal t t Aout Ain A(f) =

O pulso . . . t 1 ms

Caraterização do Canal – Domínio do Tempo
h(t) Canal t t td

Introdução a Séries de Fourier
A análise de Fourier foi introduzida em 1822 no trabalho “Théorie analyitique du chaleur” para tratar da solução de problemas de valores na fronteira e na condução do calor. Mais de século e meio depois as aplicações desta teoría são amplas: Sistemas Lineares, Comunicações, Física moderna, Eletrónica, Óptica, Processamento de Sinais, entre muitas outras.

f(t)=f(t+nT), onde n=0,1,  2, 3,...
Funções Periódicas Uma Função Periódica f(t) tem a seguinte propriedade para todo valor de t. f(t)=f(t+T) A constante mínima para a qual se cumpre o anterior é chamado do período da função Aplicando ciclicamente a propriedade pode-se obter: f(t)=f(t+nT), onde n=0,1,  2, 3,...

Funções Periódicas Exemplo: ¿Cuál é o período da função
Solução.- Se f(t) é periódica então: Mas cos(x+2kp)=cos(x) para qualquer inteiro k, então para manter a igualdade é necessário que T/3=2k1p, T/4=2k2p Ou seja , T = 6k1p = 8k2p onde k1 e k2 são inteiros, O valor mínimo de T se obtém com k1=4, k2=3, ou seja,T=24p

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)
Funções Periódicas Gráfico da função 50 100 150 200 -3 -2 -1 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24p T

f(t) = cos(w1t)+cos(w2t).
Funções Periódicas Poderíamos pensar que qualquer soma de funções seno e coseno produz uma função periódica. Isto não é assim, por exemplo, consideremos a função f(t) = cos(w1t)+cos(w2t). Para que seja periódica precisamos encontrar dois inteiros m, n tais que w1T= 2pm, w2T=2pn onde Ou seja, a relação w1/ w2 deve ser um número racional.

f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)
Funções Periódicas Exemplo: a função cos(3t)+cos(p+3)t não é periódica, já que não é um número racional. 5 10 15 20 25 30 -2 -1 1 2 f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t) t f(t)

Funções Periódicas Tarefa 1 : Encontrar o período das seguintes funções, se é que são periódicas: f(t) = sen(nt), onde n é um inteiro. f(t)= sen2(2pt) f(t)= sen(t)+sen(t+p/2) f(t)= sen(w1t)+cos(w2t) f(t)= sen(2 t)

Série Trigonométrica de Fourier
Algumas funções periódicas f(t) de período T podem expresar-se pela seguinte série, chamada Série Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a0 + a1cos(w0t)+a2cos(2w0t)+... + b1sen(w0t)+b2sen(2w0t)+... onde w0=2p/T. e,

É possível escrever de uma maneira ligeramente diferente a Série de Fourier, se observamos que o termo ancos(nw0t)+bnsen(nw0t) se pode escrever como Podemos encontrar uma maneira mais compacta para expressar estes coeficiêntes pensando em um triângulo rectângulo:

Dessa forma, temos que : bn qn an

Se também definimos C0=a0/2, a série de Fourier pode-se escrever como Assim, e

Tarefa 2: Definir adecuadamente os coeficiêntes C0, Cn e qn, de maneira que a série de Fourier se possa escrever como

Componentes e harmônicos
Assim, uma função periódica f(t) se pode escrever como a soma de componentes sinusoides de diferentes frequências wn=nw0. A componente sinusoide de frequência nw0: Cncos(nw0t+qn) é chamada de n-éssimo harmônico de f(t). O primero harmônico (n=1) é o componente fundamental e seu período é o mesmo que o de f(t) A frequência w0=2pf0=2p/T é a frequência angular fundamental.

A componente de frequência zero C0, é ou componente de corrente direta (cd) e corresponde ao valor médio f(t) em cada período. Os coeficiêntes Cn e os ángulos qn são respectivamente as amplitudes e os ángulos de fase dos harmônicos.

Exemplo: A função Como foi mostrado tem um período T=24p, sua frequência fundamental é w0=1/12 rad/seg. Componente fundamental é da forma: 0*cos(t/12). Terceiro harmônico: cos(3t/12)=cos(t/4) Quarto harmônico: Cos(4t/12)=cos(t/3) 50 100 150 200 -3 -2 -1 1 2 3 f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24p

Exemplo: Como pode-se ver, a função anterior tem tantas partes positivas como negativas, então seu componente de cd é zero, em vez Têm tantas partes acima como abaixo de 1 então, seu componente de cd é 1. 50 100 150 200 -3 -2 -1 1 2 3 f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24p

Tarefa 3 Qual é a componente fundamental, de harmônicos diferentes de zero e o componente DC direta de f(t) = sen2t f(t) = cos2t ? Mostrar o gráfico das funções e marcar nelas o período fundamental e o componente de cd.

ortogonalidade de senos e cosenos
Um conjunto de funções fk(t) são ortogonais no intervalo a<t<b se duas funções fm(t), fn(t) de tal conjunto cumprem

ortogonalidade de senos e cosenos
Exemplo: as funções t e t2 são ortogonais no intervalo –1< t <1, pois Exemplo: As funções sen t e cos t são ortogonais no intervalo –p/2< t <p/2, pois

Cálculo dos coeficiêntes da série
Dada uma função periódica f(t), como se calcula a série de Fourier? O primeiro passo é calcular os coeficiêntes a0,a1,a2,...,b1,b2,... e considerando a ortogonalidade das funções seno e coseno, o processo pode ficar simplificado.

Cálculo dos coeficiêntes da Série
Multiplicando ambos lados por cos(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos: Similarmente, multiplicando por sen(nw0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos: Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtemos:

O intervalo de integração não precisa ser simêtrico respeito à origem. Como a ortogonalidade das funções seno e coseno não só acontece no intervalo de –T/2 a T/2, se não em qualquer intervalo que cobre um período completo: (de t0 a t0+T, com t0 arbitrário) as fórmulas anteriores podem calcularse em qualquer intervalo que cumpra este requisito.

Cálculo de os coeficiêntes da Série
Exemplo: Encontrar a Série de Fourier para a seguinte função de período T: Solução: A expressão para f(t) em –T/2<t<T/2 é 1 f(t) t T/ T/ T -1

Coeficiêntes an:

Coeficiênte a0:

Coeficiêntes bn:

Série de Fourier: Finalmente a Série de Fourier fica assim: Na figura seguinte são mostrados o componente fundamental e os harmônicos 3, 5 e 7 assim como a soma parcial destes primeros quatro térmos da série para w0=p, ou seja , T=2:

-1 -0.5 0.5 1 -1.5 1.5 Componentes da Série de Fourier t Componentes Suma fundamental tercer harmônico quinto harmônico septimo harmônico

Tarefa 4 : Encontrar a série de Fourier para o seguinte sinal senoidal retificado de meia onda de período 2p. -6 -4 -2 2 4 6 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Senoidal rectificada de media onda t f(t)

Funções Pares e ímpares
Uma função (periódica ou não) é função par (ou com simetría par) se seu gráfico é simêtrico respeito ao eixo vertical, i. e. , a função f(t) é par se f(t) = f(-t)

De forma similar, uma função f(t) é função ímpar ou com simetría ímpar, se seu gráfico é simêtrico respeito à origem, ou seja, se cumpre ou seguinte: -f(t) = f(-t)

Exemplo: Que funções são pares ou ímpares? f(t) = t+1/t g(t) = 1/(t2+1), Solução: Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), então f(t) é função ímpar. Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), então g(t) é função par.

Exemplo: A função h(t)=f(1+t2) é par ou ímpar?, onde f é uma função arbitraria. Solução: Sea g(t)= 1+t2, então h(t)=f(g(t)) Ou seja h(-t) = f(g(-t)), Mas g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t), finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), então h(t) é função par, sem importar como seja f(t).

Exemplo: De acordo com o exemplo anterior, todas as siguientes funções são pares: h(t) = sen (1+t2) h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2) h(t) = cos (2+t2)+1 h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2 etc... Pois todas tem a forma f(1+t2)

Como a função sen(nw0t) é uma função ímpar para todo n0 e a função cos(nw0t) é uma função par para todo n, é de esperar que: Si f(t) é par, sua série de Fourier não tera termos seno, então bn= 0 para todo n Si f(t) é ímpar, sua série de Fourier não terá termos coseno, então an= 0 para todo n

Por exemplo, o sinal quadrado, analisado previamente : É uma função ímpar, pois sua série de Fourier não contem termos coseno: 1 f(t) t T/ T/ T -1

Simetría de Meia Onda Uma função periódica de período T é simêtrica de meia onda, se cumpre a propriedade Ou seja, se no seu gráfico as partes negativas são um reflexo das positivas mas deslocadas meio período:

Simetría de Quarto de Onda
Se uma função tem simetría de meia onda e também é função par ou ímpar, podemos dizer que tem simetría de quarto de onda par ou ímpar Exemplo: Função com simetría ímpar de quarto de onda:

Exemplo: Função com simetría par de quarto de onda:

Tarefa 5: Que tipo de simetría tem o seguinte sinal de voltagem? f(t) t

Simetrías e coeficiêntes de Fourier
Funções na série Nenhuma Senos e cosenos Par bn=0 únicamente cosenos ímpar an=0 únicamente senos meia onda Senos e cosenos ímpares

Funções na série Nenhuma Senos e cosenos ¼ de onda par an=0 (n par) bn=0 Só cosenos ímpares ¼ de onda ímpar an=0 bn=0 (n par) só senos ímpares

Por exemplo, o sinal quadrado, já analisado em um exemplo prévio: É uma função com simetría de ¼ de onda ímpar, então a sua série de Fourier só contém termos seno de frequência ímpar: 1 f(t) t T/ T/ T -1

Fenômeno de Gibbs Se a série de Fourier para uma função f(t) se trunca para alcançar uma aproximação em soma finita de senos e cosenos, é natural pensar que a medida que agreguemos mais harmônicos, a somatoria se aproximará mais a f(t).

Fenômeno de Gibbs 1 harmônico

Fenômeno de Gibbs 3 harmônicos

Forma Complexa da Série de Fourier
Consideremos a série de Fourier para uma função periódica f(t), com período T=2p/w0. É possível obter uma forma alternativa usando as fórmulas de Euler: onde

Fazendo a substituição: E sabendo que 1/j=-j definimos: O que é coerente com a equação para bn, pois b-n=-bn, dado que a função seno é ímpar.

A série pode-se escrever como Ou, Então,

A expressão obtida É a forma Complexa da série de Fourier e seus coeficiêntes cn podem obter-se a partir dos coeficiêntes an, bn, ou: Para n=0, 1, 2, 3, ...

Os coeficiêntes cn são números complexos, e também podem-se escrever em forma polar: Obviamente, onde , Para tudo n0, Para n=0, c0 é um número real:

Exemplo. Encontrar a forma complexa da série de Fourier para a função: Solução 1. Os coeficiêntes na forma trigonomêtrica (an e bn): an=0 para tudo n e 1 f(t) t T/ T/ T -1

Forma Complexa de a Série de Fourier
Podemos calcular os coeficiêntes cn de: Então a Série Complexa de Fourier fica

Solução 2. Também podemos calcular os coeficiêntes cn mediante a integral

Como w0T=2p e temos o qual coincide com o resultado já obtido.

Tarefa 6: Calcular os coeficiêntes cn para a seguinte função de período 2p. A partir dos coeficiêntes an,bn Diretamente da integral -6 -4 -2 2 4 6 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Senoidal retificada de meia onda t f(t)

Espectros de Frequência Discreta
O gráfico da magnitud dos coeficiêntes cn contra a frequência angular w da componente correspondente é o espectro de amplitude de f(t). O gráfico do ángulo de fase fn dos coeficiêntes cn contra w, é o espectro de fase de f(t). Como n só tem valores inteiros, a frequência angular w=nw0 é uma variable discreta e os espectros mencionados são gráficos discretos.

Dada uma função periódica f(t), lhe corresponde uma e somente uma série de Fourier, i. e. um conjunto único de coeficiêntes cn. Por isso, os coeficiêntes cn especifican a f(t) no domínio da frequência da mesma maneira que f(t) especifica a função no domínio do tempo.

Exemplo. Para a função já analisada: Encontramos Então, 1 f(t) t T/ T/ T -1

O espectro de amplitude: O eixo horizontal é um eixo de frequência, (n=número de harmônico = múltiplo de w0). -30 -20 -10 10 20 30 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 Espectro de Amplitude de f(t) n Cn  Frequência negativa (?) Frequência

Tarefa 7 : Desenhar o espectro de amplitude para a função senoidal retificada de ½ onda.

Potência e Teorema de Parseval
O valor médio de um sinal qualquer f(t) em um período (T) pode-se calcular como a altura de um rectângulo que tenha a mesma área que a área abaixo da curva de f(t) f(t) 1 T Area=Th h=Altura média t

Pelo anterior, se a função periódica f(t) representa um sinal de voltagem ou corrente, a potencia média entregue a uma carga resistiva de 1 ohm em um período está dada por Se f(t) é periódica, também será [f(t)]2 e o valor médio em um período será o valor médio em qualquer outro período.

O teorema de Parseval nos permite calcular a integral de [f(t)]2 mediante os coeficiêntes com-plexos cn de Fourier da função periódica f(t): Ou também, em termos dos coeficiêntes an, bn:

Uma consequência importante do teorema de Parseval é o seguinte resultado: O valor quadrático médio de uma função periódica f(t) é igual à soma dos valores quadráticos médios de seus harmônicos, onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e C0 é o componente DC.

No resultado anterior é conveniente encontrar a relação entre os coeficiêntes complexos cn da série E os coeficiêntes reais Cn da série onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e C0 é o componente DC.

Potencia e Teorema de Parseval
Por um lado E Então, e, E para o harmônico Seu valor rms é então seu valor quadrático medio é Para a componente DC C0, seu valor rms é C0, então seu valor quadrático médio será C02.

Exemplo. Calcular ou valor quadrático médio da função f(t): Solução. Do teorema de Parseval e do exemplo anterior então 1 f(t) t T/ T/ T -1

A série numérica obtida converge a então, Como era de esperarse. Então, que significa essa convergência ?

Tarefa 8 Calcular o valor quadrático médio para o sinal senoidal retificado de meia onda de período 2p. Para que serve a relação entre a potência média de um sinal periódico com os seus coeficiêntes de Fourier ?

Exemplo Determinar as linhas espectrais para a função periódica f(t), dada por um trem de pulsos retangulares de amplitude 1 e de duração d= 0.05 s, cujo período é de T=0,25 s

Exemplo Esta função pode ser modelada matematicamente por:

Exemplo Aplicando-se a definição dos coeficientes complexos da série de Fourier, tem-se que:

Exemplo Aplicando as condições do problema, onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que

As tarefas 1 a 8 Devem ser feitas em grupo para praticar.

Espectro & Largura de Banda
Espectro de x1(t) Espectro de um sinal : magnitude das amplitudes como função da frequência x1(t) varia mais rápido não tempo e tem conteúdo mais alto de frequencia que x2(t) A largura de banda Ws é definida como ou intervalo de frequencias em que ou sinal tem uma potencia significante, ou seja, ou intervalo da banda que contém 99% da potencia total do sinal Espectro de x2(t)

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