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Teleinformática e Redes I Comunicação de Dados e Representação de Sinais Analógicos e Digitais Aula 03 Profa. Priscila Solís Barreto.

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1 Teleinformática e Redes I Comunicação de Dados e Representação de Sinais Analógicos e Digitais Aula 03 Profa. Priscila Solís Barreto

2 Bits, números e informação Bit: numero com valor 0 ou 1 n bits: representação digital para 0, 1, …, 2 n Byte ou Octeto, n = 8 Palavra, n = 16, 32, ou 64 n bits permitem a numeração de 2 n possibilidades Campo n-bit no cabeçalho Representação de n-bits de uma amostra de voz Mensagem consistente de n bits O número de bits requeridos para representar uma mensagem é a medida do seu conteúdo de informação Mais bits Mais conteúdo

3 Bloco vs. Informação de Stream Bloco Informação que ocorre em um único bloco Mensagem de texto Arquivo de dados Imagem JPEG Arquivo MPEG Tamanho = Bits / bloco ou bytes/bloco 1 kbyte = 2 10 bytes 1 Mbyte = 2 20 bytes 1 Gbyte = 2 30 bytes Stream Informação que é produzida e transmitida continuamente Voz tempo real Streaming vídeo Taxa de bits= bits / seg 1 kbps = 10 3 bps 1 Mbps = 10 6 bps 1 Gbps =10 9 bps

4 Receptor Canal de Comunicação Transmissor Visão Abstrata da Transmissão de Dados Propriedades do canal de comunicação: Largura de banda Atraso de propagação e transmissão Jitter Perdas/erros Buffering

5 Atraso de Transmissão Uso de compressão para reduzir L Uso de modem rápido para aumentar R Colocar servidor mais próximo para reduzir d L numero de bits na mensagem R bps velocidade do sistema de transmissão digital L/R tempo para transmitir a informação t prop tempo para que ou sinal se propague através do meio d distancia em metros c velocidade da luz (3x10 8 m/s não vazío) Delay = t prop + L/R = d/c + L/R segundos

6 Compressão Informação normalmente não representada de forma eficiênte Algoritmos de compressão de dados Representa a informação usando menos bits Sem ruido: informação original recuperada de forma exata E.g. zip, compress, GIF, fax Ruidoso: recuperar informação aproximadamente JPEG Balanço entre # bits e qualidade Relação da compressão #bits (arquivo orginal) / #bits (arquivo comprimido)

7 Informação de Stream Um sinal de voz de tempo real deve ser digitalizado e transmitido conforme é produzido O nível de um sinal analógico varia continuamente não tempo

8 Exemplo CD Largura de banda de 22KHz Cada amostra tem 16bits e ou sinal é amostrado a 44kamostras/seg Em um sistema stereo (com dois canais): amostas/seg * 16 bits/amostra x 2 canais=1.4 Mbps Uma hora de música = 317 Mbytes de informação

9 Um sistema de transmissão Transmissor Converte informação em um sinal adequado para transmissão Injeta energia não meio de comunicacação ou canal O telefone converte voz em corrente elétrica Modem converte bits em tons Receptor Recebe energia do méio Converte ou sinal recebido de forma adequada para ser entregue ao usuário Telefone converte corrente em voz Modem converte tons em bits Receptor Canal de comunicação Transmissor

10 Problemas de Transmissão Canal de Comunicação Par de fios de cobre Cabo coaxial Radio Luz em fibra óptica Luz não ar Infravermelho Problemas na Transmissão Atenuação do sinal Distorção do sinal Ruido Interferencia de outros sinais Sinal Transmitido Sinal Recebido Receptor Canal de Comunicação Transmissor

11 Comunicações de Longa Distância Analógicas Cada repetidor restaura ou sinal analógico à sua forma original A restauração é imperfeita Distorção não é completamente eliminada Ruido e interferência são parcialmente removidos A qualidade do sinal diminui com ou número de repetidores As comunicações são limitadas na distancia Ainda utilizado em sistemas analógicos de TV a cabo Analogia: Copiar uma música usando-se um gravador de fita Fonte Destinatário Repetidor Segmento de transmissão Repetidor...

12 Na transmissão digital todos os detalhes devem ser reproduzidos Enviado Recebido Exemplo: telefonia digial, áudio CD Na transmissão digital somente níveis discretos devem ser reproduzidos Exemplos: AM, FM, TV aberta Transmissão Analógica versus Digital Canal de comunicação d metros

13 Fonte Repetidor Receptor Repetidor Segmento de Transmissão Em um canal de comunicação Sinal atenuado e com distorção +ruído Equaliza dor Sinal recuperado + Ruído residual Repetidor Amp.

14 Analógico vs. Transmissão Digital Transmissão analógica : todos os detalhes devem ser produzidos de forma precisa Enviado Recebido Distorção Atenuação Transmissão Digital : somente níveis discretos devem ser reproduzidos Distorção Atenuação Receptor simples: O pulso original era positivo ou negativo?

15 Comunicações Digitais de Longa Distancia O regenerador recupera a sequencia original de dados e a transmite não segmento seguinte Projetado para que a probabilidade de erro seja pequena Cada regeneração é como a primeira vez! Comunicação é possível em distâncias muito longas Sistemas digitais vs. sistemas analógicos Menos potência, maiores distâncias, menor ou custo do sistema Monitoramento, multiplexação, codificação, encriptação, protocolos … Fonte Destino Regenerador Segmento de transmissão Regenerador...

16 Repetidor Digital Amplifier Equalizer Timing Recover y Decision Circuit. & Signal Regenerator

17 Digitalização de um Sinal Analógico Amostrar ou sinal analógico em tempo e amplitude Encontrar a aproximação mais próxima Sinal original valor amostragem Aproximação R s = Taxa de bits= # bits/amostra x # amostras/seg 3 bits / sample

18 Taxa de bits de um sinal digitalizado Largura de banda W s Hertz: a velocidade de variação do sinal Largura de banda mais alta amostrar mais frequentemente Taxa minima de amostragem = 2 x W s Precisão da representação : intervalo de aproximaçào de erro Maior precisão menor espaçamento entre valores de aproximação mais bits por amostra

19 Exemplo: Voz & Audio Voz no telefone W s = 4 kHz 8000 amostras/sec 8 bits/amostra R s =8 x 8000 = 64 kbps Telefones celulares usam algoritmos mais poderosos de : 8-12 kbps CD Audio W s = 22 kHertz amostras/seg 16 bits/amostra R s =16 x 44000= 704 kbps por canal de audio MP3 usa algoritmos mais poderosos de compressão : 50 kbps por canal de audio

20 Transmissão de Informação de Stream Taxa constante de bits Sinais tais como a voz digitalizada produzem um stream estável : e.g. 64 kbps A rede deve suportar a transmissão estável do sinal, e.g. circuito de 64 kbps Taxa variável de bits Os sinais tais como vídeo digitalizado produzem stream que variam na taxa de bits, e.g. de acordo com a movimentação e detalhe na cena A rede deve suportar taxa de transmissão variável do sinal, e.g. comutação de pacotes ou suavização da taxa com circuito de taxa constante de bits

21 Qualidade de Serviço de Stream Problemas na transmissão de rede Atraso: A informação é entregue no tempo certo? Jitter: A informação é entregue suficientemente suavizada? Perda: A informação é entregue sem perdas? Se ocorrem perdas, a qualidade do sinal é aceitável? Aplicações e protocolos de aplicação são desenvolvidos para lidar com estes problemas

22 Digitalização de Sinais Analógicos 1. Amostragem: obter amostras de x(t) em intervalos uniformes de tempo 2. Quantização: mapear cada amostra em um valor de aproximação finita Pulse Code Modulation: conversa de telefone CD audio 3. Compressão: para diminuir a taxa de bits mais adiante, aplicar um método adicional de compressão Coding diferencial : conversa telefonia celular Codificação Subband : MP3 audio

23 Taxa de Amostragem e Largura de Banda Um sinal que varia mais rapidamente precisa ser amostrada mais frequentemente Largura de Banda mede a velocidade de variação do sinal Que é a largura de banda de um sinal ? Como se relaciona a largura de banda com a taxa de amostragem? 1 ms t x 2 (t) t 1 ms x 1 (t)

24 Canal t t A in cos 2 ftA out cos (2 ft + (f)) A out A in A(f) = Caraterização do Canal – Domínio da Frequência

25 t 1 ms O pulso

26 Canal t 0 t h(t) tdtd Caraterização do Canal – Domínio do Tempo

27 Introdução a Séries de Fourier A análise de Fourier foi introduzida em 1822 no trabalho Théorie analyitique du chaleur para tratar da solução de problemas de valores na fronteira e na condução do calor. Mais de século e meio depois as aplicações desta teoría são amplas: Sistemas Lineares, Comunicações, Física moderna, Eletrónica, Óptica, Processamento de Sinais, entre muitas outras.

28 Funções Periódicas Uma Função Periódica f(t) tem a seguinte propriedade para todo valor de t. f(t)=f(t+T) A constante mínima para a qual se cumpre o anterior é chamado do período da função Aplicando ciclicamente a propriedade pode-se obter: f(t)=f(t+nT), onde n=0, 1, 2, 3,...

29 Funções Periódicas Exemplo: ¿Cuál é o período da função Solução.- Se f(t) é periódica então: Mas cos(x+2k )=cos(x) para qualquer inteiro k, então para manter a igualdade é necessário que T/3=2k 1, T/4=2k 2 Ou seja, T = 6k 1 = 8k 2 onde k 1 e k 2 são inteiros, O valor mínimo de T se obtém com k 1 =4, k 2 =3, ou seja,T=24

30 Funções Periódicas Gráfico da função f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24 T

31 Funções Periódicas Poderíamos pensar que qualquer soma de funções seno e coseno produz uma função periódica. Isto não é assim, por exemplo, consideremos a função f(t) = cos( 1 t)+cos( 2 t). Para que seja periódica precisamos encontrar dois inteiros m, n tais que 1 T= 2 m, 2 T=2 n onde Ou seja, a relação 1 / 2 deve ser um número racional.

32 Series de Fourier. 32 Funções Periódicas Exemplo: a função cos(3t)+cos( +3)t não é periódica, já que não é um número racional f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t) t f(t)

33 Funções Periódicas Tarefa 1 : Encontrar o período das seguintes funções, se é que são periódicas: 1) f(t) = sen(nt), onde n é um inteiro. 2) f(t)= sen 2 (2 t) 3) f(t)= sen(t)+sen(t+ ) 4) f(t)= sen( 1 t)+cos( 2 t) 5) f(t)= sen( 2 t)

34 Série Trigonométrica de Fourier Algumas funções periódicas f(t) de período T podem expresar-se pela seguinte série, chamada Série Trigonométrica de Fourier f(t) = ½ a 0 + a 1 cos( 0 t)+a 2 cos(2 0 t) b 1 sen( 0 t)+b 2 sen(2 0 t)+... onde 0 =2 /T. e,

35 Série Trigonométrica de Fourier É possível escrever de uma maneira ligeramente diferente a Série de Fourier, se observamos que o termo a n cos(n 0 t)+b n sen(n 0 t) se pode escrever como Podemos encontrar uma maneira mais compacta para expressar estes coeficiêntes pensando em um triângulo rectângulo:

36 Série Trigonométrica de Fourier Dessa forma, temos que : anan bnbn n

37 Série Trigonométrica de Fourier Se também definimos C 0 =a 0 /2, a série de Fourier pode-se escrever como Assim, e

38 Série Trigonométrica de Fourier Tarefa 2: Definir adecuadamente os coeficiêntes C 0, C n e n, de maneira que a série de Fourier se possa escrever como

39 Componentes e harmônicos Assim, uma função periódica f(t) se pode escrever como a soma de componentes sinusoides de diferentes frequências n =n 0. A componente sinusoide de frequência n 0 : C n cos(n 0 t+ n ) é chamada de n-éssimo harmônico de f(t). O primero harmônico (n=1) é o componente fundamental e seu período é o mesmo que o de f(t) A frequência 0 =2 f 0 =2 /T é a frequência angular fundamental.

40 Componentes e harmônicos A componente de frequência zero C 0, é ou componente de corrente direta (cd) e corresponde ao valor médio f(t) em cada período. Os coeficiêntes C n e os ángulos n são respectivamente as amplitudes e os ángulos de fase dos harmônicos.

41 Series de Fourier. 41 Componentes e harmônicos Exemplo: A função Como foi mostrado tem um período T=24, sua frequência fundamental é 0 =1/12 rad/seg. Componente fundamental é da forma: 0*cos(t/12). Terceiro harmônico: cos(3t/12)=cos(t/4) Quarto harmônico: Cos(4t/12)=cos(t/3) f(t)=cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24

42 Series de Fourier. 42 Componentes e harmônicos Exemplo: Como pode-se ver, a função anterior tem tantas partes positivas como negativas, então seu componente de cd é zero, em vez f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4) t f(t) 24 Têm tantas partes acima como abaixo de 1 então, seu componente de cd é 1.

43 Componentes e harmônicos Tarefa 3 Qual é a componente fundamental, de harmônicos diferentes de zero e o componente DC direta de a) f(t) = sen 2 t b) f(t) = cos 2 t ? Mostrar o gráfico das funções e marcar nelas o período fundamental e o componente de cd.

44 ortogonalidade de senos e cosenos Um conjunto de funções f k (t) são ortogonais no intervalo a

45 Series de Fourier. 45 ortogonalidade de senos e cosenos Exemplo: as funções t e t 2 são ortogonais no intervalo –1< t <1, pois Exemplo: As funções sen t e cos t são ortogonais no intervalo – / 2 < t < / 2, pois

46 Cálculo dos coeficiêntes da série Dada uma função periódica f(t), como se calcula a série de Fourier? O primeiro passo é calcular os coeficiêntes a 0,a 1,a 2,...,b 1,b 2,... e considerando a ortogonalidade das funções seno e coseno, o processo pode ficar simplificado.

47 Cálculo dos coeficiêntes da Série Multiplicando ambos lados por cos(n 0 t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos: Similarmente, multiplicando por sen(n 0 t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos: Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtemos:

48 Cálculo dos coeficiêntes da Série O intervalo de integração não precisa ser simêtrico respeito à origem. Como a ortogonalidade das funções seno e coseno não só acontece no intervalo de –T/2 a T/2, se não em qualquer intervalo que cobre um período completo: (de t 0 a t 0 +T, com t 0 arbitrário) as fórmulas anteriores podem calcularse em qualquer intervalo que cumpra este requisito.

49 Series de Fourier. 49 Cálculo de os coeficiêntes da Série Exemplo: Encontrar a Série de Fourier para a seguinte função de período T: Solução: A expressão para f(t) em –T / 2

50 Series de Fourier. 50 Cálculo dos coeficiêntes da Série Coeficiêntes a n :

51 Series de Fourier. 51 Cálculo dos coeficiêntes da Série Coeficiênte a 0 :

52 Series de Fourier. 52 Cálculo dos coeficiêntes da Série Coeficiêntes b n :

53 Series de Fourier. 53 Cálculo dos coeficiêntes da Série Série de Fourier: Finalmente a Série de Fourier fica assim: Na figura seguinte são mostrados o componente fundamental e os harmônicos 3, 5 e 7 assim como a soma parcial destes primeros quatro térmos da série para 0 =, ou seja, T=2:

54 Cálculo dos coeficiêntes da Série Componentes da Série de Fourier t Componentes Suma fundamental tercer harmônico quinto harmônico septimo harmônico

55 Cálculo dos coeficiêntes da Série Tarefa 4 : Encontrar a série de Fourier para o seguinte sinal senoidal retificado de meia onda de período Senoidal rectificada de media onda t f(t)

56 Funções Pares e ímpares Uma função (periódica ou não) é função par (ou com simetría par) se seu gráfico é simêtrico respeito ao eixo vertical, i. e., a função f(t) é par se f(t) = f(-t)

57 Funções Pares e ímpares De forma similar, uma função f(t) é função ímpar ou com simetría ímpar, se seu gráfico é simêtrico respeito à origem, ou seja, se cumpre ou seguinte:-f(t) = f(-t)

58 Series de Fourier. 58 Funções Pares e ímpares Exemplo: Que funções são pares ou ímpares? f(t) = t+1/t g(t) = 1/(t 2 +1), Solução: Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), então f(t) é função ímpar. Como g(-t)=1/((-t) 2 +1) = 1/(t 2 +1)=g(t), então g(t) é função par.

59 Series de Fourier. 59 Funções Pares e ímpares Exemplo: A função h(t)=f(1+t 2 ) é par ou ímpar?, onde f é uma função arbitraria. Solução: Sea g(t)= 1+t 2, então h(t)=f(g(t)) Ou seja h(-t) = f(g(-t)), Mas g(-t)=1+(-t) 2 = 1+t 2 =g(t), finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), então h(t) é função par, sem importar como seja f(t).

60 Series de Fourier. 60 Funções Pares e ímpares Exemplo: De acordo com o exemplo anterior, todas as siguientes funções são pares: h(t) = sen (1+t 2 ) h(t) = exp(1+t 2 )+5/ (1+t 2 ) h(t) = cos (2+t 2 )+1 h(t) = (10+t 2 )-(1+t 2 )1/2 etc... Pois todas tem a forma f(1+t 2 )

61 Funções Pares e ímpares Como a função sen(n 0 t) é uma função ímpar para todo n 0 e a função cos(n 0 t) é uma função par para todo n, é de esperar que: Si f(t) é par, sua série de Fourier não tera termos seno, então b n = 0 para todo n Si f(t) é ímpar, sua série de Fourier não terá termos coseno, então a n = 0 para todo n

62 Series de Fourier. 62 Funções Pares e ímpares Por exemplo, o sinal quadrado, analisado previamente : É uma função ímpar, pois sua série de Fourier não contem termos coseno: 1 f(t) t... -T / 2 0 T / 2 T...

63 Simetría de Meia Onda Uma função periódica de período T é simêtrica de meia onda, se cumpre a propriedade Ou seja, se no seu gráfico as partes negativas são um reflexo das positivas mas deslocadas meio período:

64 Series de Fourier. 64 Simetría de Quarto de Onda Se uma função tem simetría de meia onda e também é função par ou ímpar, podemos dizer que tem simetría de quarto de onda par ou ímpar Exemplo: Função com simetría ímpar de quarto de onda:

65 Series de Fourier. 65 Simetría de Quarto de Onda Exemplo: Função com simetría par de quarto de onda:

66 Simetría de Quarto de Onda Tarefa 5: Que tipo de simetría tem o seguinte sinal de voltagem? f(t) t

67 Simetrías e coeficiêntes de Fourier Simetríacoeficiêntes Funções na série Nenhuma Senos e cosenos Par b n =0 únicamente cosenos ímpar a n =0 únicamente senos meia onda Senos e cosenos ímpares

68 Simetrías e coeficiêntes de Fourier Simetríacoeficiêntes Funções na série Nenhuma Senos e cosenos ¼ de onda par a n =0 (n par) b n =0 Só cosenos ímpares ¼ de onda ímpar a n =0 b n =0 (n par) só senos ímpares

69 Series de Fourier. 69 Simetrías e coeficiêntes de Fourier Por exemplo, o sinal quadrado, já analisado em um exemplo prévio: É uma função com simetría de ¼ de onda ímpar, então a sua série de Fourier só contém termos seno de frequência ímpar: 1 f(t) t... -T / 2 0 T / 2 T...

70 Fenômeno de Gibbs Se a série de Fourier para uma função f(t) se trunca para alcançar uma aproximação em soma finita de senos e cosenos, é natural pensar que a medida que agreguemos mais harmônicos, a somatoria se aproximará mais a f(t).

71 Fenômeno de Gibbs 1 harmônico

72 Fenômeno de Gibbs 3 harmônicos

73 Fenômeno de Gibbs 5 harmônicos

74 Fenômeno de Gibbs 7 harmônicos

75 Fenômeno de Gibbs 15 harmônicos

76 Fenômeno de Gibbs 50 harmônicos

77 Fenômeno de Gibbs 100 harmônicos

78 Forma Complexa da Série de Fourier Consideremos a série de Fourier para uma função periódica f(t), com período T=2 / 0. É possível obter uma forma alternativa usando as fórmulas de Euler: onde

79 Forma Complexa da Série de Fourier Fazendo a substituição: E sabendo que 1/j=-j definimos: O que é coerente com a equação para b n, pois b -n =-b n, dado que a função seno é ímpar.

80 Forma Complexa da Série de Fourier A série pode-se escrever como Ou, Então,

81 Forma Complexa da Série de Fourier A expressão obtida É a forma Complexa da série de Fourier e seus coeficiêntes c n podem obter-se a partir dos coeficiêntes a n, b n, ou: Para n=0, 1, 2, 3,...

82 Forma Complexa da Série de Fourier Os coeficiêntes c n são números complexos, e também podem-se escrever em forma polar: Obviamente, onde, Para tudo n 0, Para n=0, c 0 é um número real:

83 Forma Complexa da Série de Fourier Exemplo. Encontrar a forma complexa da série de Fourier para a função: Solução 1. Os coeficiêntes na forma trigonomêtrica (a n e b n ): a n =0 para tudo n e 1 f(t) t... -T / 2 0 T / 2 T...

84 Forma Complexa de a Série de Fourier Podemos calcular os coeficiêntes c n de: Então a Série Complexa de Fourier fica

85 Series de Fourier. 85 Forma Complexa de a Série de Fourier Solução 2. Também podemos calcular os coeficiêntes c n mediante a integral

86 Series de Fourier. 86 Forma Complexa de a Série de Fourier Como 0 T=2 e temos o qual coincide com o resultado já obtido.

87 Forma Complexa da Série de Fourier Tarefa 6: Calcular os coeficiêntes c n para a seguinte função de período 2. a) A partir dos coeficiêntes a n,b n b) Diretamente da integral Senoidal retificada de meia onda t f(t)

88 Espectros de Frequência Discreta O gráfico da magnitud dos coeficiêntes c n contra a frequência angular da componente correspondente é o espectro de amplitude de f(t). O gráfico do ángulo de fase n dos coeficiêntes c n contra, é o espectro de fase de f(t). Como n só tem valores inteiros, a frequência angular =n 0 é uma variable discreta e os espectros mencionados são gráficos discretos.

89 Espectros de Frequência Discreta Dada uma função periódica f(t), lhe corresponde uma e somente uma série de Fourier, i. e. um conjunto único de coeficiêntes c n. Por isso, os coeficiêntes c n especifican a f(t) no domínio da frequência da mesma maneira que f(t) especifica a função no domínio do tempo.

90 Series de Fourier. 90 Espectros de Frequência Discreta Exemplo. Para a função já analisada: Encontramos Então, 1 f(t) t... -T / 2 0 T / 2 T...

91 Espectros de Frequência Discreta O espectro de amplitude: O eixo horizontal é um eixo de frequência, (n=número de harmônico = múltiplo de 0 ) Espectro de Amplitude de f(t) n Cn Frequência negativa (?)Frequência

92 Espectros de Frequência Discreta Tarefa 7 : Desenhar o espectro de amplitude para a função senoidal retificada de ½ onda.

93 Potência e Teorema de Parseval O valor médio de um sinal qualquer f(t) em um período (T) pode-se calcular como a altura de um rectângulo que tenha a mesma área que a área abaixo da curva de f(t) 1 f(t) t h=Altura média T Area=Th

94 Potência e Teorema de Parseval Pelo anterior, se a função periódica f(t) representa um sinal de voltagem ou corrente, a potencia média entregue a uma carga resistiva de 1 ohm em um período está dada por Se f(t) é periódica, também será [f(t)] 2 e o valor médio em um período será o valor médio em qualquer outro período.

95 Potência e Teorema de Parseval O teorema de Parseval nos permite calcular a integral de [f(t)] 2 mediante os coeficiêntes com- plexos c n de Fourier da função periódica f(t): Ou também, em termos dos coeficiêntes a n, b n :

96 Potência e Teorema de Parseval Uma consequência importante do teorema de Parseval é o seguinte resultado: O valor quadrático médio de uma função periódica f(t) é igual à soma dos valores quadráticos médios de seus harmônicos, onde C n é a amplitude do n-ésimo harmônico e C 0 é o componente DC.

97 Potência e Teorema de Parseval No resultado anterior é conveniente encontrar a relação entre os coeficiêntes complexos c n da série E os coeficiêntes reais C n da série onde C n é a amplitude do n-ésimo harmônico e C 0 é o componente DC.

98 Potencia e Teorema de Parseval Por um lado E Então, e, E para o harmônico Seu valor rms é então seu valor quadrático medio é Para a componente DC C 0, seu valor rms é C 0, então seu valor quadrático médio será C 0 2.

99 Series de Fourier. 99 Potência e Teorema de Parseval Exemplo. Calcular ou valor quadrático médio da função f(t): Solução. Do teorema de Parseval e do exemplo anterior então 1 f(t) t... -T / 2 0 T / 2 T...

100 Series de Fourier. 100 Potencia e Teorema de Parseval A série numérica obtida converge a então, Como era de esperarse. Então, que significa essa convergência ?

101 Potencia e Teorema de Parseval Tarefa 8 Calcular o valor quadrático médio para o sinal senoidal retificado de meia onda de período 2. Para que serve a relação entre a potência média de um sinal periódico com os seus coeficiêntes de Fourier ?

102 Exemplo Determinar as linhas espectrais para a função periódica f(t), dada por um trem de pulsos retangulares de amplitude 1 e de duração d= 0.05 s, cujo período é de T=0,25 s

103 Exemplo Esta função pode ser modelada matematicamente por:

104 Exemplo Aplicando-se a definição dos coeficientes complexos da série de Fourier, tem-se que :

105 Exemplo Aplicando as condições do problema, onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que

106 As tarefas 1 a 8 Devem ser feitas em grupo para praticar.

107 Espectro & Largura de Banda Espectro de um sinal : magnitude das amplitudes como função da frequência x 1 (t) varia mais rápido não tempo e tem conteúdo mais alto de frequencia que x 2 (t) A largura de banda W s é definida como ou intervalo de frequencias em que ou sinal tem uma potencia significante, ou seja, ou intervalo da banda que contém 99% da potencia total do sinal Espectro de x 1 (t) Espectro de x 2 (t)


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