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2006 MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM FRENTE ABRUPTA IST, Lisboa João Leal (UBI) Universidade da Beira Interior AULA 11.

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1 2006 MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM FRENTE ABRUPTA IST, Lisboa João Leal (UBI) Universidade da Beira Interior AULA 11

2 Observações experimentais o modelo conceptual tem que incluir o transporte de sedimentos Planta clear water sheet-flow Vista lateral o escoamento pode ser conceptualizado como clear water sheet-flow 2 camadas de transporte ( clear water + sheet-flow ) Universidade da Beira Interior

3 MODELO CONCEPTUAL (morfodinâmico) Depth average theory NOTA: Universidade da Beira Interior

4 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO Variáveis dependentes cota da sup. livre caudal mássico por unidade de largura cota do fundo equivalente aos sedimentos acumulados na coluna de água Variáveis dependentesVectores de fluxoTermos de fonte MORFODINÂMICO Universidade da Beira Interior

5 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO Variáveis dependentesVectores de fluxo Termos de fonte HIDRODINÂMICO Universidade da Beira Interior

6 O esquema (MacCormack, 1969) foi desenvolvido e implementado no âmbito da dinâmica de gases. A sua facilidade de implementação aliada a uma precisão de segunda ordem faz com que seja um dos esquemas mais utilizados na modelação numérica de ondas de cheia. Universidade da Beira Interior Refira-se que a existência de choques na solução faz com que os esquemas de primeira ordem não sejam aplicáveis, dado que tendem a suavizar essas descontinuidades. ESQUEMA DE MACCORMACK O esquema numérico de MacCormack é explícito e constitui a variante de dois passos mais popular do esquema de Lax-Wendroff. Pertence à classe dos métodos de passo fraccionado (fractional-step) e garante uma aproximação de segunda ordem no tempo e no espaço.

7 Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 1D Diferenças Finitas PrevisãoCorrecção Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção

8 Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 1D

9 Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2D Diferenças Finitas Previsão Correcção Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção e também nos fluxos segundo x (F) e segundo y (G)

10 Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2D

11 De acordo com o teorema de Godunov, a utilização de um esquema de ordem superior à primeira produz oscilações espúrias na presença de descontinuidades. Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD esquema primeira ordem (Godunov) simula mal (adoça) as descontinuidades esquema de segunda ordem (MacCormack) Simula bem as descontinuidades mas apresenta oscilações numéricas SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE RIEMANN

12 Universidade da Beira Interior A tentativa de eliminar as oscilações numéricas resultantes dos termos de ordem superior deu origem aos esquemas TVD que garantem que a variação total das sucessivas soluções numéricas não aumenta no tempo, ou seja, CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Esta propriedade garante que não se geram novos mínimos ou máximos locais e que os mínimos e máximos locais existentes não são decrescentes ou crescentes, respectivamente. esquema de MacCormack sem TVDesquema de MacCormack com TVD

13 A metodologia TVD só é aplicável a sistemas lineares de equações. A sua aplicação a sistemas não lineares só é possível através da linearização local do sistema através da aproximação desenvolvida por Roe (1981), em que as Jacobianas são aproximadas por matrizes Jacobianas de coeficientes constantes, determinados através da solução do problema de Riemann entre duas células de cálculo adjacentes. Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD

14 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A metodologia TVD, por si só, não garante a satisfação da condição de entropia. Esta condição é fundamental para evitar a convergência dos esquemas para soluções não reais (espúrias). A obtenção de soluções com descontinuidades assenta no teorema de Lax e Wendroff que postula que se um esquema numérico, aplicado a um sistema de equações escrito na forma conservativa, é convergente, então converge para uma solução fraca (descontínua).

15 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Porém, o teorema não garante a unicidade da solução fraca obtida, podendo obter-se soluções sem significado físico (espúrias). Para que tal não aconteça é necessário garantir a satisfação da condição de entropia: esquema de MacCormack sem condição de entropia (choque não físico)

16 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A aplicação da metodologia TVD ao esquema de MacCormack em conjunto com a verificação da condição de entropia traduz-se na introdução de um termo de correcção, que no caso de esquemas centrados como o de MacCormack pode ser visto como um termo de dissipação artificial auto-adaptativo

17 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Valores próprios da matriz aproximada Vectores próprios da matriz aproximadaCoeficientes da linearização de Condição de entropia Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem) Valores próprios da matriz aproximada Vectores próprios da matriz aproximadaCoeficientes da linearização de Condição de entropia Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem)

18 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD No caso das equações de Saint-Venant 2-D aplicadas a canais com secção rectangular, o cálculo das matrizes Jacobianas resulta nas conhecidas aproximações de Roe direcção xdirecção y

19 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Os valores e vectores próprios das matrizes Jacobianas aproximadas e os coeficientes resultantes da linearização são dados por matriz

20 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A condição de entropia desenvolvida por Harten e Hyman (1983) escreve-se

21 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Existem diversos limitadores que podem ser utilizados, como sejam o de Van Albada, o minmod, o superbee ou o de Van Leer, entre outros. Por exemplo, o limitador de Van Leer é dado por com

22 Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Note-se que os termos de correcção TVD aqui desenvolvidos dizem apenas respeito às equações de Saint-Venant 2-D (hidrodinâmico). O sistema 2-D (morfodinâmico) é mais complexo devido à consideração de duas camadas de transporte com propriedades distintas e, ainda, devido à existência de mais uma equação referente à conservação da massa de sedimentos. A complexidade das matrizes Jacobianas, assim obtidas, inviabiliza a determinação das expressões algébricas dos seus valores e vectores próprios. Consequentemente, o procedimento de linearização do sistema de equações não linear afigura-se de difícil aplicação.

23 Universidade da Beira Interior ESTABILIDADE NUMÉRICA O esquema de MacCormack, tal como todos os esquemas explícitos, tem que verificar a condição de estabilidade de Courant-Friedrichs- Lewy. Esta condição impõe o tamanho dos passos de cálculo da seguinte forma: Passo de tempo Número de Courant Valor máximo das características no instante de tempo anterior

24 Universidade da Beira Interior ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Na resolução numérica de sistemas de equações às derivadas parciais em que a solução apresente descontinuidades (choques) é necessário ter em atenção que as variáveis dependentes devem ser escolhidas de forma ao sistema ser fisicamente conservativo. Note-se que para o sistema ser matematicamente conservativo bastará escreve-lo na forma conservativa Porém isso, por si só, não garante que o sistema é fisicamente conservativo.

25 Exemplo: Eqs. de Saint-Venant 1D para canais horizontais prismáticos com secção rectangular e sem atrito variáveis conservativas variáveis primitivas NOTA: ambos os sistemas são matematicamente conservativos mas o segundo não é fisicamente conservativo. Universidade da Beira Interior

26 Admitindo que a solução dos sistemas contém um choque com Formulações conservativas VS. não-conservativas Condições de Rankine-Hugoniot: são aplicáveis a soluções descontínuas de sistemas de leis de conservação hiperbólicos Universidade da Beira Interior

27 Formulações conservativas VS. não-conservativas Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema com variáveis conservativas Universidade da Beira Interior

28 Formulações conservativas VS. não-conservativas Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema com variáveis primitivas Universidade da Beira Interior

29 Formulações conservativas VS. não-conservativas facilmente se demonstra queCONCLUSÃO: Soluções numéricas baseadas nas variáveis primitivas dão velocidades dos choques erradas (menores do que a real), tanto mais erradas quanto maior for a força do choque Universidade da Beira Interior

30 Exemplo:

31 MODELO NUMÉRICO conservação da massa da mistura Conservação da quantidade de movimento da mistura nas direcções x e y aproximações de Roe condição de entropia de Harten e Hymen Limitador de fluxo de Van Leer correção TVD conservação da massa de sedimentos viscosidade artificial de Jameson Universidade da Beira Interior

32 VISCOSIDADE ARTIFICIAL A introdução da viscosidade artificial no esquema de MacCormack traduz-se, tal como na metodologia TVD, na introdução de um termo de correcção que pode ser visto como um termo de dissipação artificial, mas ao contrário do TVD não é auto-adaptativo.

33 Universidade da Beira Interior VISCOSIDADE ARTIFICIAL viscosidade artificial de Jameson (1981)

34 Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE O tratamento dos termos de fonte é um aspecto fundamental na resolução numérica de equações. Existem duas formas de tratar os termos de fonte: i) aplicação de um esquema de divisão (splittingou pointwise approach); ii) aplicação de um esquema upwind. No caso do esquema MacCormack a primeira alternativa é mais fácil de implementar, dado que a segunda é facilmente implementada em esquemas que usam discretização upwind do vector do fluxo, mas a sua aplicação a esquemas centrados não é trivial.

35 Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE Tendo em conta o problema não homogéneo: aplicação de um esquema de divisão (splitting) o esquema de divisão é construído considerando a solução de três problemas homogéneos e de seguida obtendo a solução de uma equação diferencial ordinária (ver Toro, 1999)

36 Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE Partindo das equações anteriores demonstra-se que: aplicação de um esquema de divisão (splitting) em quecom Apesar de alguns autores referirem que = 0 é a pior escolha, ainda assim dá resultados bons e evita cálculos complicados, já que

37 Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE Na discretização dos termos de fonte existe ainda outro problema relacionado com a existência de derivadas parciais, como sejam os declives do fundo z b / x e z b / y, que necessitam ser discretizadas Discretização de derivadas no termo de fonte Propõe-se uma discretização upwind de acordo com a do vector fluxo

38 Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA A resolução de um sistema de equações às derivadas parciais através da aplicação de um esquema numérico a um domínio de cálculo finito exige a formulação de condições iniciais e de fronteira, que definem o contorno desse domínio. Num problema hiperbólico o número de condições iniciais ou em cada fronteira deve ser idêntico ao número de características do sistema. Assim, o sistema de equações 2-D (morfodinâmico) deve ter quatro condições iniciais e quatro condições em cada uma das fronteiras.

39 Universidade da Beira Interior Existem dois tipos de condições: físicas e numéricas. CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA As condições físicas são aquelas que podem ser impostas livremente, e que representam a informação física que se pretende introduzir no domínio de cálculo. As condições numéricas constituem a informação adicional que é necessária para definir completamente o vector das variáveis dependentes no contorno do domínio de cálculo. Estas condições têm que ser consistentes com as propriedades físicas do escoamento e, ao contrário das condições físicas, têm que ser também compatíveis com o sistema de equações discretizadas.

40 Universidade da Beira Interior O número de condições físicas iniciais ou de fronteira a ser especificado em cada ponto do contorno do domínio de cálculo deve ser igual ao número de características que entram nesse ponto CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA O esquema MacCormak-TVD é upwind no tempo, pelo que em cada ponto do contorno referente às condições iniciais entram todas as características do sistema de equações. Assim, não são necessárias condições iniciais numéricas, adoptando-se condições iniciais físicas do tipo:

41 Universidade da Beira Interior No que respeita às condições físicas em cada fronteira, a situação não é tão simples como a das condições iniciais, pois o número de características que entra em cada ponto do contorno depende do facto de a fronteira se situar a montante ou a jusante, à esquerda ou à direita. CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA As condições físicas devem ainda, em cada ponto do contorno, ser estabelecidas de acordo com o tipo de informação (fase sólida ou fase líquida) propagada pelas características que entram nesse ponto. Assim, tem que se ter em conta a variação das características com o número de Froude

42 Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede de jusante: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede de montante: uma condição física referentes à característica negativa: 2, associada à fase líquida três condições numéricas associadas a 1, 3 e 4

43 Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede lateral direita: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede lateral esquerda: uma condição física referentes à característica negativa: 2, associada à fase líquida três condições numéricas associadas a 1, 3 e 4

44 Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede que constitui o alargamento:

45 Instalação Experimental Planta do canal localizado no LNEC Universidade da Beira Interior

46 Condições iniciais foram realizados 2 tipos de ensaios: fundo fixo e fundo móvel (areia e pedra-pomes) Fundo de areia (baixa mobilidade) Fundo de pedra-pomes (elevada mobilidade) diâmetro mediano, d = 0.8 mm densidade, s = 2.65 diâmetro mediano, d = 1.3 mm densidade, s = 1.40 Universidade da Beira Interior

47 Resultados experimentais AREIA Vista frontal Universidade da Beira Interior

48 PEDRA-POMES Resultados experimentais Vista frontal

49 AREIA u(x)u(x) u(y)u(y) Planta Vista lateral zszs Resultados numéricos: Cota da sup. livre, z s Componentes da velocidade, u (x) and u (y) Universidade da Beira Interior

50 u(x)u(x) u(y)u(y) PEDRA-POMES zszs Planta Vista lateral Resultados numéricos: Cota da sup. livre, z s Componentes da velocidade, u (x) and u (y) Universidade da Beira Interior

51 Resultados numéricos Pedra-pomes Cota da sup. livre, z s T = 20 Areia Os resultados numéricos ajustam-se bem aos observados experimentalmente: A reflexão na parede lateral origina um ressalto hidráulico. O ensaio com pedra-pomes apresenta uma propagação longitudinal mais lenta Universidade da Beira Interior

52 Resultados numéricos Pedra-pomes Componentes da velocidade, u (x) e u (y) T = 20 Areia Existe uma zona de recirculação, mais nítida no ensaio com pedra-pomes. A propagação transversal é mais rápida no caso da pedra-pomes. u(x)u(x) u(y)u(y) Universidade da Beira Interior

53 Resultados Experimentais vs. Numéricos Pedra-pomes Areia Evolução da cota da sup. livre Universidade da Beira Interior

54 Resultados Experimentais vs. Numéricos Pedra-pomes Areia Evolução da cota da sup. livre Universidade da Beira Interior


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