Universidade da Beira Interior

Apresentação em tema: "Universidade da Beira Interior"— Transcrição da apresentação:

1 Universidade da Beira Interior
AULA 11 MODELAÇÃO BIDIMENSIONAL DA PROPAGAÇÃO DE ONDAS DE CHEIA COM FRENTE ABRUPTA João Leal (UBI) 2006 IST, Lisboa

2 Universidade da Beira Interior
Observações experimentais clear water sheet-flow Vista lateral Planta o modelo conceptual tem que incluir o transporte de sedimentos o escoamento pode ser conceptualizado como 2 camadas de transporte (clear water + sheet-flow)

3 MODELO CONCEPTUAL (morfodinâmico)
Universidade da Beira Interior MODELO CONCEPTUAL (morfodinâmico) Depth average theory NOTA:

4 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO
Universidade da Beira Interior EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO MORFODINÂMICO Vectores de fluxo Variáveis dependentes Variáveis dependentes Termos de fonte cota da sup. livre caudal mássico por unidade de largura cota do fundo equivalente aos sedimentos acumulados na coluna de água

5 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO Variáveis dependentes
Universidade da Beira Interior EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO HIDRODINÂMICO Termos de fonte Variáveis dependentes Vectores de fluxo

6 Universidade da Beira Interior
ESQUEMA DE MACCORMACK O esquema (MacCormack, 1969) foi desenvolvido e implementado no âmbito da dinâmica de gases. A sua facilidade de implementação aliada a uma precisão de segunda ordem faz com que seja um dos esquemas mais utilizados na modelação numérica de ondas de cheia. Refira-se que a existência de choques na solução faz com que os esquemas de primeira ordem não sejam aplicáveis, dado que tendem a suavizar essas descontinuidades. O esquema numérico de MacCormack é explícito e constitui a variante de dois passos mais popular do esquema de Lax-Wendroff. Pertence à classe dos métodos de passo fraccionado (“fractional-step”) e garante uma aproximação de segunda ordem no tempo e no espaço.

7 ESQUEMA DE MACCORMACK 1D
Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 1D Diferenças Finitas Previsão Correcção Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção

8 ESQUEMA DE MACCORMACK 1D
Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 1D

9 ESQUEMA DE MACCORMACK 2D
Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2D Diferenças Finitas Previsão Correcção Aplicação alternada de diferenças progressivas e regressivas, respectivamente, nos passos de previsão e de correcção e também nos fluxos segundo x (F) e segundo y (G)

10 ESQUEMA DE MACCORMACK 2D
Universidade da Beira Interior ESQUEMA DE MACCORMACK 2D

11 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD De acordo com o teorema de Godunov, a utilização de um esquema de ordem superior à primeira produz oscilações espúrias na presença de descontinuidades. SOLUÇÃO DO PROBLEMA DE RIEMANN esquema primeira ordem (Godunov) simula mal (“adoça”) as descontinuidades esquema de segunda ordem (MacCormack) Simula bem as descontinuidades mas apresenta oscilações numéricas

12 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A tentativa de eliminar as oscilações numéricas resultantes dos termos de ordem superior deu origem aos esquemas TVD que garantem que a variação total das sucessivas soluções numéricas não aumenta no tempo, ou seja, Esta propriedade garante que não se geram novos mínimos ou máximos locais e que os mínimos e máximos locais existentes não são decrescentes ou crescentes, respectivamente. esquema de MacCormack sem TVD esquema de MacCormack com TVD

13 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A metodologia TVD só é aplicável a sistemas lineares de equações. A sua aplicação a sistemas não lineares só é possível através da linearização local do sistema através da aproximação desenvolvida por Roe (1981), em que as Jacobianas são aproximadas por matrizes Jacobianas de coeficientes constantes, determinados através da solução do problema de Riemann entre duas células de cálculo adjacentes.

14 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A metodologia TVD, por si só, não garante a satisfação da condição de entropia. Esta condição é fundamental para evitar a convergência dos esquemas para soluções não reais (espúrias). A obtenção de soluções com descontinuidades assenta no teorema de Lax e Wendroff que postula que se um esquema numérico, aplicado a um sistema de equações escrito na forma conservativa, é convergente, então converge para uma solução fraca (descontínua).

15 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Porém, o teorema não garante a unicidade da solução fraca obtida, podendo obter-se soluções sem significado físico (espúrias). Para que tal não aconteça é necessário garantir a satisfação da condição de entropia: esquema de MacCormack sem condição de entropia (choque não físico)

16 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A aplicação da metodologia TVD ao esquema de MacCormack em conjunto com a verificação da condição de entropia traduz-se na introdução de um termo de correcção, que no caso de esquemas centrados como o de MacCormack pode ser visto como um termo de dissipação artificial auto-adaptativo

17 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Valores próprios da matriz aproximada Condição de entropia Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem) Coeficientes da linearização de Vectores próprios da matriz aproximada Valores próprios da matriz aproximada Condição de entropia Função limitadora de fluxo (limita oscilações de 2ª ordem) Coeficientes da linearização de Vectores próprios da matriz aproximada

18 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD No caso das equações de Saint-Venant 2-D aplicadas a canais com secção rectangular, o cálculo das matrizes Jacobianas resulta nas conhecidas aproximações de Roe direcção x direcção y

19 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Os valores e vectores próprios das matrizes Jacobianas aproximadas e os coeficientes resultantes da linearização são dados por matriz matriz

20 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD A condição de entropia desenvolvida por Harten e Hyman (1983) escreve-se

21 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Existem diversos limitadores que podem ser utilizados, como sejam o de Van Albada, o “minmod”, o “superbee” ou o de Van Leer, entre outros. Por exemplo, o limitador de Van Leer é dado por com

22 CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD
Universidade da Beira Interior CORRECÇÃO DE ALTA RESOLUÇÃO TVD Note-se que os termos de correcção TVD aqui desenvolvidos dizem apenas respeito às equações de Saint-Venant 2-D (hidrodinâmico). O sistema 2-D (morfodinâmico) é mais complexo devido à consideração de duas camadas de transporte com propriedades distintas e, ainda, devido à existência de mais uma equação referente à conservação da massa de sedimentos. A complexidade das matrizes Jacobianas, assim obtidas, inviabiliza a determinação das expressões algébricas dos seus valores e vectores próprios. Consequentemente, o procedimento de linearização do sistema de equações não linear afigura-se de difícil aplicação.

23 ESTABILIDADE NUMÉRICA
Universidade da Beira Interior ESTABILIDADE NUMÉRICA O esquema de MacCormack, tal como todos os esquemas explícitos, tem que verificar a condição de estabilidade de Courant-Friedrichs-Lewy. Esta condição impõe o tamanho dos passos de cálculo da seguinte forma: Passo de tempo Número de Courant Valor máximo das características no instante de tempo anterior

24 ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES
Universidade da Beira Interior ESCOLHA DAS VARIÁVEIS DEPENDENTES Na resolução numérica de sistemas de equações às derivadas parciais em que a solução apresente descontinuidades (choques) é necessário ter em atenção que as variáveis dependentes devem ser escolhidas de forma ao sistema ser fisicamente conservativo. Note-se que para o sistema ser matematicamente conservativo bastará escreve-lo na forma conservativa Porém isso, por si só, não garante que o sistema é fisicamente conservativo.

25 Universidade da Beira Interior
Exemplo: Eqs. de Saint-Venant 1D para canais horizontais prismáticos com secção rectangular e sem atrito variáveis conservativas variáveis primitivas NOTA: ambos os sistemas são matematicamente conservativos mas o segundo não é fisicamente conservativo.

26 Formulações conservativas VS. não-conservativas
Universidade da Beira Interior Admitindo que a solução dos sistemas contém um choque Condições de Rankine-Hugoniot: são aplicáveis a soluções descontínuas de sistemas de leis de conservação hiperbólicos  com

27 Formulações conservativas VS. não-conservativas
Universidade da Beira Interior Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema com variáveis conservativas 

28 Formulações conservativas VS. não-conservativas
Universidade da Beira Interior Condições de Rankine-Hugoniot aplicadas ao sistema com variáveis primitivas 

29 Formulações conservativas VS. não-conservativas
Universidade da Beira Interior facilmente se demonstra que CONCLUSÃO: Soluções numéricas baseadas nas variáveis primitivas dão velocidades dos choques erradas (menores do que a real), tanto mais erradas quanto maior for a força do choque

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Exemplo:

31 condição de entropia de Harten e Hymen Limitador de fluxo de Van Leer
Universidade da Beira Interior MODELO NUMÉRICO conservação da massa da mistura Conservação da quantidade de movimento da mistura nas direcções x e y correção TVD aproximações de Roe condição de entropia de Harten e Hymen Limitador de fluxo de Van Leer conservação da massa de sedimentos viscosidade artificial de Jameson

32 VISCOSIDADE ARTIFICIAL
Universidade da Beira Interior VISCOSIDADE ARTIFICIAL A introdução da viscosidade artificial no esquema de MacCormack traduz-se, tal como na metodologia TVD, na introdução de um termo de correcção que pode ser visto como um termo de dissipação artificial, mas ao contrário do TVD não é auto-adaptativo.

33 VISCOSIDADE ARTIFICIAL
Universidade da Beira Interior VISCOSIDADE ARTIFICIAL viscosidade artificial de Jameson (1981)

34 TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE O tratamento dos termos de fonte é um aspecto fundamental na resolução numérica de equações. Existem duas formas de tratar os termos de fonte: i) aplicação de um esquema de divisão (“splitting”ou “pointwise approach”); ii) aplicação de um esquema “upwind”. No caso do esquema MacCormack a primeira alternativa é mais fácil de implementar, dado que a segunda é facilmente implementada em esquemas que usam discretização upwind do vector do fluxo, mas a sua aplicação a esquemas centrados não é trivial.

35 TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE aplicação de um esquema de divisão (“splitting”) Tendo em conta o problema não homogéneo: o esquema de divisão é construído considerando a solução de três problemas homogéneos e de seguida obtendo a solução de uma equação diferencial ordinária (ver Toro, 1999)

36 TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE aplicação de um esquema de divisão (“splitting”) Partindo das equações anteriores demonstra-se que: em que com Apesar de alguns autores referirem que  = 0 é a pior escolha, ainda assim dá resultados bons e evita cálculos complicados, já que

37 TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE
Universidade da Beira Interior TRATAMENTO DOS TERMOS DE FONTE Discretização de derivadas no termo de fonte Na discretização dos termos de fonte existe ainda outro problema relacionado com a existência de derivadas parciais, como sejam os declives do fundo zb/x e zb/y, que necessitam ser discretizadas Propõe-se uma discretização “upwind” de acordo com a do vector fluxo

38 CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA A resolução de um sistema de equações às derivadas parciais através da aplicação de um esquema numérico a um domínio de cálculo finito exige a formulação de condições iniciais e de fronteira, que definem o contorno desse domínio. Num problema hiperbólico o número de condições iniciais ou em cada fronteira deve ser idêntico ao número de características do sistema. Assim, o sistema de equações 2-D (morfodinâmico) deve ter quatro condições iniciais e quatro condições em cada uma das fronteiras.

39 CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Existem dois tipos de condições: físicas e numéricas. As condições físicas são aquelas que podem ser impostas livremente, e que representam a informação física que se pretende introduzir no domínio de cálculo. As condições numéricas constituem a informação adicional que é necessária para definir completamente o vector das variáveis dependentes no contorno do domínio de cálculo. Estas condições têm que ser consistentes com as propriedades físicas do escoamento e, ao contrário das condições físicas, têm que ser também compatíveis com o sistema de equações discretizadas.

40 CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA O número de condições físicas iniciais ou de fronteira a ser especificado em cada ponto do contorno do domínio de cálculo deve ser igual ao número de características que “entram” nesse ponto O esquema MacCormak-TVD é “upwind” no tempo, pelo que em cada ponto do contorno referente às condições iniciais entram todas as características do sistema de equações. Assim, não são necessárias condições iniciais numéricas, adoptando-se condições iniciais físicas do tipo:

41 CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA No que respeita às condições físicas em cada fronteira, a situação não é tão simples como a das condições iniciais, pois o número de características que entra em cada ponto do contorno depende do facto de a fronteira se situar a montante ou a jusante, à esquerda ou à direita. As condições físicas devem ainda, em cada ponto do contorno, ser estabelecidas de acordo com o tipo de informação (fase sólida ou fase líquida) propagada pelas características que entram nesse ponto. Assim, tem que se ter em conta a variação das características com o número de Froude

42 CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede de montante: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede de jusante: uma condição física referentes à característica negativa: 2, associada à fase líquida três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4

43 CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede lateral esquerda: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2 Parede lateral direita: uma condição física referentes à característica negativa: 2, associada à fase líquida três condições numéricas associadas a 1 , 3 e 4

44 CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA
Universidade da Beira Interior CONDIÇÕES INICIAIS E DE FRONTEIRA Parede que constitui o alargamento: três condições físicas referentes às características positivas: 1 e 4, associadas à fase líquida, e 3, associada à fase sólida uma condição numérica associada a 2

45 Universidade da Beira Interior
Instalação Experimental Planta do canal localizado no LNEC

46 Universidade da Beira Interior
Condições iniciais foram realizados 2 tipos de ensaios: fundo fixo e fundo móvel (areia e pedra-pomes) Fundo de areia (baixa mobilidade) Fundo de pedra-pomes (elevada mobilidade) diâmetro mediano, d = 0.8 mm densidade, s = 2.65 diâmetro mediano, d = 1.3 mm densidade, s = 1.40

47 Resultados experimentais
Universidade da Beira Interior Resultados experimentais AREIA Vista frontal

48 Resultados experimentais
Universidade da Beira Interior Resultados experimentais PEDRA-POMES Vista frontal

49 Resultados numéricos:
Universidade da Beira Interior Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zs Componentes da velocidade, u(x) and u(y) AREIA zs Vista lateral u(x) u(y) Planta Planta

50 Resultados numéricos:
Universidade da Beira Interior Resultados numéricos: Cota da sup. livre, zs Componentes da velocidade, u(x) and u(y) PEDRA-POMES zs Vista lateral u(x) u(y) Planta Planta

51 Universidade da Beira Interior
Resultados numéricos Cota da sup. livre, zs T = 20 Pedra-pomes Areia Os resultados numéricos ajustam-se bem aos observados experimentalmente: A reflexão na parede lateral origina um ressalto hidráulico. O ensaio com pedra-pomes apresenta uma propagação longitudinal mais lenta

52 Componentes da velocidade, u(x) e u(y)
Universidade da Beira Interior Resultados numéricos Componentes da velocidade, u(x) e u(y) T = 20 Areia Pedra-pomes u(x) u(y) Existe uma zona de recirculação, mais nítida no ensaio com pedra-pomes. A propagação transversal é mais rápida no caso da pedra-pomes.

53 Resultados Experimentais vs. Numéricos Evolução da cota da sup. livre
Universidade da Beira Interior Resultados Experimentais vs. Numéricos Evolução da cota da sup. livre Areia Pedra-pomes

54 Resultados Experimentais vs. Numéricos Evolução da cota da sup. livre
Universidade da Beira Interior Resultados Experimentais vs. Numéricos Evolução da cota da sup. livre Areia Pedra-pomes