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ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr. Fenômenos de Transporte.

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1 ANÁLISE DIMENSIONAL E SEMELHANÇA Prof. Carlos Ruberto Fragoso Jr. Fenômenos de Transporte

2 Análise Dimensional e Semelhança A maioria dos problemas na mecânica dos fluidos não podem ser resolvidos com procedimentos analíticos, apenas utilizando procedimentos experimentais; Muitos problemas são resolvidos utilizando abordagem experimental e analítica; Um objetivo de qualquer experimento é obter resultados amplamente aplicáveis (medidas obtidas num sistema em laboratório podem ser utilizadas para descrever o comportamento de um sistema similar); Para isso é necessário estabelecer a relação que existe entre o modelo de laboratório e o outro sistema.

3 Análise Dimensional e Semelhança Estudaremos os aspectos dimensionais do escoamento, fazendo uso do princípio de homogeneidade dimensional, aplicado às equações e leis de conservação. O desenvolvimento da Mecânica dos Fluidos depende de : análise teórica resultados experimentais (numéricos e/ou de laboratório) Em certas situações são conhecidas as variáveis envolvidas no fenômeno físico, mas não a relação funcional entre elas. A análise dimensional permite associar variáveis em grupos adimensionais. Quando o teste experimental em um protótipo em tamanho real é impossível ou caro, utiliza-se modelos reduzidos representativos.

4 Pelo procedimento chamado análise dimensional, o fenômeno pode ser formulado como uma relação entre um conjunto de grupos adimensionais das variáveis. Quando se realiza um trabalho de laboratório, desejamos : o maior número de informações o menor número de ensaios Análise dimensional Parâmetros adimensionais (apresentação resumida em gráficos) Os fenômenos em Mecânica dos Fluidos dependem : parâmetros geométricos parâmetros do escoamento

5 Exemplo : Força de arraste F sobre uma esfera lisa, de diâmetro D, estacionária, imersa em um escoamento uniforme de velocidade V. Que experiências serão necessárias para determinar a força de arraste F sobre a esfera ? Sabemos que F = f(D, V, ρ, μ)desconsiderando a rugosidade superficial. [mas, esta hipótese é razoável?] Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório. Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. Faremos 10 ensaios para cada variável: Curva F vs. V com parâmetros D, ρ, μ 10 ensaios Curva F vs. D com parâmetros V, ρ, μ 10 ensaios Curva F vs. com parâmetros D, V, 10 ensaios TOTAL : 10 4 ensaios Se cada ensaio leva 0,5 hora 8 horas/dia 2,5 anos para completar o trabalho ! ! Existirá uma enorme dificuldade na apresentação dos resultados.

6 Exemplo : Considere o escoamento em regime permanente, incompressível de um fluido Newtoniano num tubo longo, horizontal e que apresenta parede lisa. Que experiências serão necessárias para determinar a diferença de pressão por unidade de comprimento do tubo Δp1? Sabemos que Δp1 = f(D, V, ρ, μ)desconsiderando a rugosidade superficial. Formulação do problema por grandezas controladas e medidas em laboratório. Depois de construída a estrutura experimental, iniciamos os ensaios. Faremos 10 ensaios para cada variável: Curva Δp1 vs. V com parâmetros D, ρ, μ 5 ensaios Curva Δp1 vs. D com parâmetros V, ρ, μ 5 ensaios Curva Δp1 vs. com parâmetros D, V, 5 ensaios TOTAL : 10 4 ensaios.

7 v Δp1 μ ρ D

8 Podemos agrupar as variáveis em duas combinações adimensionais (denominados grupos adimensionais) de modo que: Assim nós podemos trabalhar com dois grupos adimensionais em vez de trabalhar com 5 variáveis.

9

10 Instrumentos da Análise Dimensional Para prever as relações entre grandezas em um dado fenômeno, temos: o teorema de Bridgman o teorema de Buckingham Teorema de Bridgman O teorema de Bridgman estabelece que toda grandeza secundária ou dependente pode ser expressa por um produto de grandezas primárias. Exemplo: E = f(m, V) E = C m V 2, onde C = cte. Teorema de Buckingham O teorema dos de Buckingham fornece as relações entre os parâmetros dimensionais, para obter os parâmetros adimensionais.

11 Teorema dos de Buckingham Dado um problema físico onde a variável dependente é função de n-1 variáveis independentes, para o qual sabemos que existe uma relação do tipo : q 1 = f(q 2, q 3,... q n ) ou também: g (q 1, q 2, q 3,... q n ) = 0. O teorema estabelece que : variáveis independentes variável dependente relação funcional (desconhecida) Dada uma relação entre n variáveis da forma g (q 1, q 2, q 3,... q n ) = 0 estas n variáveis podem ser agrupadas em n-m razões adimensionais independentes, ou parâmetros expressados sob a forma funcional : G ( 1, n-m ) = 0 ou n-m ) O número m é usualmente igual ao menor número de grandezas independentes (M, L, t, etc.) necessárias para especificar as dimensões das variáveis q 1, q 2, q 3,... q n. NOTA : O teorema não prevê a forma funcional de G ou H. Ela pode ser determinada experimentalmente.

12 Determinação dos grupos passos 1º Passo – Liste todos os parâmetros envolvidos –Se nem todos os parâmetros pertinentes forem incluídos, uma relação será obtidas, mas não fornecerá a história completa. 2º Passo – Selecione um conjunto de dimensões fundamentais (primárias) –P.ex. M, L, t 3º Passo – Liste as dimensões de todos os parâmetros os parâmetros em termos das dimensões primárias 4º Passo – Selecione da lista um número de parâmetros que se repetem, igual ao número de dimensões primárias, e incluindo todas as dimensões primárias 5º Passo – Estabeleça equações dimensionais combinando os parâmetros selecionados no passo 4 com cada um dos outros parâmetros a fim de formar grupos adimensionais (Haverá n-m equações) 6º Passo – Verifique, a fim de assegurar que cada grupo obtido é adimensional.

13 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. QuantidadeSímboloDimensões ComprimentolL TempotT MassamM ForçaFML/T 2 VelocidadeVL/T AceleraçãoaL/T 2 Freqüência T -1 GravidadegL/T 2 ÁreaAL2L2

14 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. QuantidadeSímboloDimensões VazãoQL 3 /T Fluxo de massaM/T PressãopM/LT 2 Tensão M/LT 2 Massa específica M/L 3 Peso específico M/L 2 T 2 Viscosidade M/LT Viscosidade cinemática L 2 /T

15 Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. QuantidadeSímboloDimensões TrabalhoWML 2 /T 2 Potencia, fluxo de calorML 2 /T 3 Tensão superficial M/T 2 Módulo da elasticidade volumétrica M/LT 2

16 Força de arrasto Força de arrasto é a força que faz resistência ao movimento de um objeto sólido através de um fluido (um líquido ou gás). O arrasto é feito de forças de fricção (atrito), que agem em direção paralela à superfície do objeto (primariamente pelos seus lados, já que as forças de fricção da frente e de trás se anulam), e de forças de pressão, que atuam em uma direção perpendicular à superfície do objeto (primariamente na frente e atrás, já que as forças de pressão se cancelam nas laterais do objeto).

17 A força de arrasto velocidade Varrasto F a = densidade do meio A = área frontal C a = coeficiente de arrasto

18 O coeficiente de arrasto AV 2 tem dimensão de força C a = F a / ( ½ AV 2 ) é adimensional C a só pode depender de quantidades sem dimensão Em um fluido incompressível (V<

19 Como foi obtido o Coeficiente de Arrasto? Análise dimensional

20 Usando a análise dimensional, chegamos à relação : onde f 1 pode ser determinada experimentalmente e Re é um parâmetro chamado número de Reynolds. Variando o número de Reynolds Re = VD/ N vezes, obtemos N pontos da relação anterior, variando só, por exemplo, a velocidade. As outras variáveis não são alteradas (, D e constantes).

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22 Parâmetros Adimensionais Comuns

23 Significado Físico Escoamento nos quais a queda pressão é significativa Escoamento influenciados por efeitos viscosos Escoamento influenciados pela gravidade:escoamento de superfície livre

24 Significado Físico Compressibilidade importante V >0,3c Componente não permanente se repete periodicamente A tensão superficial influencia o escoamento

25 Escoamentos Semelhantes Estudos em Modelos Para que haja similaridade entre o protótipo e o modelo devem ser atendidas as seguintes condições Semelhança geométrica Semelhança cinemática Semelhança dinâmica

26 Semelhança Semelhança geométrica

27 Semelhança Semelhança cinemática

28 Semelhança dinâmica Semelhança


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