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NOVEMBRO 2005. Provar a existência dos átomos Química: lei de Dalton Termodinâmica: Clausius 2º princípio: entropia aumenta irreversibilidade Teoria.

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1 NOVEMBRO 2005

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3 Provar a existência dos átomos Química: lei de Dalton Termodinâmica: Clausius 2º princípio: entropia aumenta irreversibilidade Teoria cinética dos gases: Maxwell e Boltzmann temperatura absoluta interpretação estatística teorema H Opositores: Mach, Ostwald Radioactividade Motivação de Einstein

4 Movimento Browniano Leeuwenhoek sec. XV Brown 1827, grãos de pólen: movimento incessante processo não biológico ( …, fragmento da Esfinge, … ) universalidade insensível a campos externos dependência: tamanho das partículas, temperatura Ingenhousz 1785

5 Sobre o movimento de pequenas partículas suspensas em líquidos em repouso exigido pela teoria cinético-molecular do calor Simulação teoria cinética prediz movimentos aleatórios observáveis suspeita que o movimento é Browniano teste poderoso à teoria cinética Número de Avogadro neste domínio termodinâmica clássica não é válida

6 Número de Avogadro tese de doutoramento: dimensões moleculares outros métodos de medir o número de Avogadro-Loschmidt Smoluchowski 1906 Perrin Prémio Nobel 1926 Física Atómica e Nanotecnologias Número de Avogadro-Loschmidt

7 Einstein termodinâmica, pressão osmótica equilíbrio de duas correntes: difusão, deriva lei de Stokes (hidrodinâmica) Relação de Einstein dois coeficientes de transporte: constante de difusão viscosidade Teorema da flutuação-dissipação

8 velocidade posiçãodesvio quadrático médio escala de tempo (de Smoluchowski) equação da continuidade corrente de difusão lei de Fick equação de difusão grandes tempos sobreamortecido

9 solução condição inicial coeficiente de difusão trajectórias: 1908 sem memória não diferenciáveis não balísticas

10 média, desvio padrão Teorema do limite central Lei dos grandes números Distribuição Normal Gaussiana

11 Constante de Boltzmann quantidades microscópicas entropia teoria da informação factor de Boltzmann

12 Constantes Fundamentais três constantes fundamentais: velocidade da luz constante de Boltzmann constante de Planck diferentes domínios de flutuações: térmicas, quânticas

13 Valores das Constantes temperatura ambiente Sistema de unidades de Planck

14 Equação de Langevin Langevin 1908 velocidade coeficiente de atrito força aleatória ou estocástica equação de Newton r lei de Stokes (hidrodinâmica)

15 Langevin:...demonstração que é infinitamente mais simples... teorema da equipartição da energia assimptoticamente relação de Einstein hipótese de Langevinirregularidade de

16 Ornstein e Uhlenbeck ruído branco, gaussiano equipartição da energia Teorema da flutuação-dissipação irreversibilidade equação fenomenológica

17 correlação não nula: potencial não nulo Argumento de Langevin difusão no tempo balístico, difusivo

18 Processos Estocásticos Processo de Ornstein-Uhlenbeck ruído branco Processo de Wiener

19 Movimento Browniano e fractais escala expoente de Hurst transições de fase, grupo de renormalização fractais 3ª lei de Kepler Auto-semelhante dimensão fraccionáriaMandelbrot

20 Limite sobre amortecido Wiener equação de Smoluchowski

21 derivadifusão Equação de Kramers espaço de fase Equações de Liouville Brinkman 1956 Fokker-Planck

22 Uso da Equação de Langevin Inconveniente: média sobre as trajectórias computação paralela Vantagem: correlações com tempos diferentes Problema da primeira passagem Trajectória a 2d

23 Passeio do Bêbado Probabilidade

24 Equação Mestra Ausência de memóriaprocesso Markoviana Equação de Chapman-Kolmogorov modelos discretos e contínuos

25 Integral de Caminho processo de Wiener propriedade Markoviana Iterando Integral de Wiener

26 Modelo microscópico Reversibilidade microscópica, Irreversibilidade termodinâmica Sistema acoplado a um banho térmico macroscópico, equilíbrio à temperatura resposta do banho ao sistema ruídocondições iniciais do sistemacorrelações do ruído macroscópicotempo de Poincaré flutuação-dissipação

27 em equilíbrio termodinâmico: resposta do sistema a uma pequena perturbação resposta a uma flutuação espontânea Teoria da resposta linear pequeno desvio do equilíbrio termodinâmico coeficientes de resposta e correlações no equilíbrio Fórmula de Kubo extensão a sistemas fortemente desviados do equilíbrio Teorema Flutuação-Dissipação

28 Ruído de Johnson-Nyquist Schotty1918 Johnson1928 Nyquist1928 correlações no tempo ruído branco

29 Aplicações Biografia (Pais 1982 ): o artigo da tese era o mais citado Difusão poluição Semicondutores: transporte de electrões e lacunas Polímeros, problema do volume excluído Sistemas desordenados: teorema do limite central não é válido Reacções químicas Sistemas predador-presa

30 Sistemas fora do equilíbrio variáveis lentas Transições de fase bi-estabilidade, meta-estabilidade Economia e finanças Bachelier, Théorie de la Spéculation, 1900 Difusão das moedas de euro (condições iniciais perfeitas) Biologia(motor perpétuo é impossível) motor Browniano ressonância na presença de ruído

31 Einstein e as Mecânicas Estatística e Quântica rederivou os trabalhos de Gibbs e de Boltzmann flutuação da energia aplicou a mecânica estatística à radiação electromagnética efeito fotoeléctrico 1905, 1909 energia regime de Wien e gás clássico 1917 momentum (eq. estocástica para o momentum)

32 estatística de Bose-Einstein condensação B-E opalescência crítica calor específico 1907 flutuações da energia modelo de Einstein, modelo de Debye Lei de Dulong-Petit

33 Flutuações Física do sec. XIX determinista: condições iniciais Dois tipos de flutuações: estatísticas quânticas (radioactividade?) Sistemas caóticos efeito borboleta

34 Sobre a Mecânica Quântica God does not play dice with the universe. God is subtle, but he is not malicious. I like to think that the moon is there even if I am not looking at it.

35 Mecânica Quântica Equação de Schrödinger Tempo imaginário Fórmula de Feynman-Kac medida Formalismo da Mecânica Estatística Quântica Integral de caminho de Feynman: tempo real, acção flutuações em torno da trajectória clássica

36 Processos Estocásticos Quânticos Baixas temperaturas: efeitos quânticos Óptica quântica Meso e Nano tecnologias Informação e Computação Quânticas movimento aleatório quântico(moeda quântica) ruído colorido

37 Duas abordagens: equação de Schrödinger estocástica equação de Liouville quântica termos adicionais sistemas Markofianos: equação de Lindblad

38 Conclusões História, importância e aplicações do movimento Browniano Ideias em Mecânica Estatística Mesmo problema: várias abordagens Evolução das ideias: passagem do testemunho … nos ombros de gigantes … As ideias tornam-se autónomas

39 Aplicações e utilidade da Física Impacto na vida do dia a dia Beleza e elegância da Física e das Teorias Físicas A música e a pintura permitem emoções estéticas directas Física: ciência experimental, usa a linguagem da Matemática Física: história que perdura e continua…

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