NOVEMBRO 2005.

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1 NOVEMBRO 2005

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3 Motivação de Einstein Provar a existência dos átomos
Química: lei de Dalton Termodinâmica: Clausius 2º princípio: entropia aumenta irreversibilidade Teoria cinética dos gases: Maxwell e Boltzmann temperatura absoluta interpretação estatística teorema H Opositores: Mach, Ostwald Radioactividade

4 Movimento Browniano Leeuwenhoek sec. XV
Brown 1827, grãos de pólen: movimento incessante processo não biológico (…, fragmento da Esfinge, …) universalidade insensível a campos externos dependência: tamanho das partículas, temperatura Ingenhousz 1785

5 Simulação Sobre o movimento de pequenas partículas suspensas em líquidos em repouso exigido pela teoria cinético-molecular do calor teoria cinética prediz movimentos aleatórios observáveis suspeita que o movimento é Browniano teste poderoso à teoria cinética Número de Avogadro neste domínio termodinâmica clássica não é válida

6 Número de Avogadro-Loschmidt
tese de doutoramento: dimensões moleculares outros métodos de medir o número de Avogadro-Loschmidt Smoluchowski 1906 Perrin Prémio Nobel 1926 Física Atómica e Nanotecnologias Número de Avogadro-Loschmidt

7 Einstein termodinâmica, pressão osmótica
equilíbrio de duas correntes: difusão, deriva lei de Stokes (hidrodinâmica) Relação de Einstein dois coeficientes de transporte: constante de difusão viscosidade Teorema da flutuação-dissipação

8 velocidade posição desvio quadrático médio escala de tempo (de Smoluchowski) equação da continuidade corrente de difusão lei de Fick equação de difusão grandes tempos sobreamortecido

9 solução condição inicial coeficiente de difusão trajectórias: sem memória não diferenciáveis não balísticas

10 Distribuição Normal Gaussiana
média, desvio padrão Teorema do limite central Lei dos grandes números

11 Constante de Boltzmann
quantidades microscópicas entropia teoria da informação factor de Boltzmann

12 Constantes Fundamentais
três constantes fundamentais: velocidade da luz constante de Boltzmann constante de Planck diferentes domínios de flutuações: térmicas, quânticas

13 Valores das Constantes
temperatura ambiente Sistema de unidades de Planck

14 Equação de Langevin r Langevin 1908 velocidade equação de Newton
coeficiente de atrito lei de Stokes (hidrodinâmica) força aleatória ou estocástica r

15 Langevin: ...demonstração que é infinitamente mais simples...
hipótese de Langevin irregularidade de teorema da equipartição da energia assimptoticamente relação de Einstein

16 Ornstein e Uhlenbeck ruído branco, gaussiano equipartição da energia
Teorema da flutuação-dissipação irreversibilidade equação fenomenológica

17 Argumento de Langevin correlação não nula: potencial não nulo
difusão no tempo balístico, difusivo

18 Processos Estocásticos
Processo de Ornstein-Uhlenbeck ruído branco Processo de Wiener

19 Movimento Browniano e fractais
escala expoente de Hurst transições de fase, grupo de renormalização fractais 3ª lei de Kepler Auto-semelhante dimensão fraccionária Mandelbrot

20 Limite sobre amortecido
Wiener equação de Smoluchowski

21 Equação de Kramers espaço de fase deriva difusão Liouville
Equações de Liouville Fokker-Planck Brinkman 1956

22 Uso da Equação de Langevin
Inconveniente: média sobre as trajectórias computação paralela Vantagem: correlações com tempos diferentes Problema da primeira passagem Trajectória a 2d

23 Passeio do Bêbado Probabilidade

24 Equação Mestra Ausência de memória processo Markoviana
Equação de Chapman-Kolmogorov modelos discretos e contínuos

25 Integral de Caminho processo de Wiener propriedade Markoviana Iterando
Integral de Wiener

26 Modelo microscópico Reversibilidade microscópica, Irreversibilidade termodinâmica Sistema acoplado a um banho térmico macroscópico, equilíbrio à temperatura resposta do banho ao sistema ruído condições iniciais do sistema correlações do ruído macroscópico tempo de Poincaré flutuação-dissipação

27 Teorema Flutuação-Dissipação
em equilíbrio termodinâmico: resposta do sistema a uma pequena perturbação resposta a uma flutuação espontânea Teoria da resposta linear pequeno desvio do equilíbrio termodinâmico coeficientes de resposta e correlações no equilíbrio Fórmula de Kubo extensão a sistemas fortemente desviados do equilíbrio

28 Ruído de Johnson-Nyquist
Schotty 1918 Johnson 1928 Nyquist 1928 correlações no tempo ruído branco

29 Aplicações Biografia (Pais 1982): o artigo da tese era o mais citado
Difusão poluição Semicondutores: transporte de electrões e lacunas Polímeros, problema do volume excluído Sistemas desordenados: teorema do limite central não é válido Reacções químicas Sistemas predador-presa

30 Sistemas fora do equilíbrio
variáveis lentas Transições de fase bi-estabilidade, meta-estabilidade Economia e finanças Bachelier, “Théorie de la Spéculation”, 1900 Difusão das moedas de euro (condições iniciais perfeitas) Biologia (motor perpétuo é impossível) motor Browniano ressonância na presença de ruído

31 Einstein e as Mecânicas Estatística e Quântica
rederivou os trabalhos de Gibbs e de Boltzmann flutuação da energia aplicou a mecânica estatística à radiação electromagnética efeito fotoeléctrico 1905, energia regime de Wien e gás clássico 1917 momentum (eq. estocástica para o momentum)

32 estatística de Bose-Einstein condensação B-E opalescência crítica
calor específico 1907 flutuações da energia modelo de Einstein, modelo de Debye Lei de Dulong-Petit

33 Flutuações efeito borboleta Física do sec. XIX determinista:
condições iniciais Dois tipos de flutuações: estatísticas quânticas (radioactividade?) Sistemas caóticos efeito borboleta

34 Sobre a Mecânica Quântica
“God does not play dice with the universe.” “God is subtle, but he is not malicious.” “I like to think that the moon is there even if I am not looking at it.”

35 Mecâ nica Quântica Equação de Schrödinger Tempo imaginário
Fórmula de Feynman-Kac medida Formalismo da Mecânica Estatística Quântica Integral de caminho de Feynman: tempo real, acção flutuações em torno da trajectória clássica

36 Processos Estocásticos Quânticos
Baixas temperaturas: efeitos quânticos Óptica quântica Meso e Nano tecnologias Informação e Computação Quânticas movimento aleatório quântico (moeda quântica) ruído colorido

37 Duas abordagens: equação de Schrödinger estocástica equação de Liouville quântica termos adicionais sistemas Markofianos: equação de Lindblad

38 Conclusões História, importância e aplicações do movimento Browniano
Ideias em Mecânica Estatística Mesmo problema: várias abordagens Evolução das ideias: passagem do testemunho … nos ombros de gigantes … As ideias tornam-se autónomas

39 Aplicações e utilidade da Física
Impacto na vida do dia a dia Beleza e elegância da Física e das Teorias Físicas A música e a pintura permitem emoções estéticas directas Física: ciência experimental, usa a linguagem da Matemática Física: história que perdura e continua…

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